2018-2019学年浙江省温州九校联盟高一第一学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省温州九校联盟高一第一学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省温州九校联盟高一第一学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用诱导公式，化简所求的表达式，由此求得正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据诱导公式得.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数诱导公式，考查特殊角的三角函数值.属于基础题.‎ ‎2．下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，，故函数为偶函数.对于C选项，，故为奇函数.对于D选项，正切函数是奇函数，排除A,C,D三个选项，则B选项符合题意.对于B选项由，解得，定义域不关于原点对称，即不是奇函数也不是偶函数.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性的定义以及函数奇偶性的判断，属于基础题.‎ ‎3．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】的图象沿轴向右平移个单位，即，化简后求得的表达式.‎ ‎【详解】‎ 依题意的图象沿轴向右平移个单位，得到，即，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题.变换过程中要注意的系数的影响.‎ ‎4．已知点，，向量，则向量（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求得的坐标，然后利用减法求得的坐标.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5．若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正切值判断所在的象限，然后对逐一分析，得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于，故为第二或者第四象限角.为第二象限时，.当为第四象限时， .故A,B 选项错误，C选项正确.不妨设，，，故D选项错误.综上所述，本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数在各个象限的正负，考查二倍角公式，属于基础题.‎ ‎6．已知向量，，为实数，则的最小值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得的坐标，利用模的运算列出表达式，用二次函数求最值的方法求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故 ，当时，取得最小值为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量模的坐标表示，考查二次函数最值的求法，属于中档题.‎ ‎7．若是函数的零点，则在以下哪个区间（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】计算的值，利用零点的存在性定理判断所在的区间.‎ ‎【详解】‎ 由于，，根据零点的存在性定理可知，在区间，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查零点存在性定理的应用，考查函数零点区间的判断，属于基础题.‎ ‎8．已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则的值为（ ）‎ A．-1或 B．或 C．1或 D．1或 ‎【答案】A ‎【解析】注意到为上的增函数，按，两类，求得的最大值并由此列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 令，为上的增函数.当，即时，，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得.当时，符合题意.当时，不符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故或.所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性，考查含有绝对值的函数的最值有关的问题，考查分类讨论的数学思想方法.由于函数是含有绝对值的，对于绝对值内的函数的符号就是解题的关键.而绝对值内的函数是单调递增函数，加了绝对值后，最大值会在区间的端点取得，由此分类讨论求得的的值.‎ ‎9．在中，，若，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用向量数量积模的表示化简，利用余弦定理求得的表达式，求得的最小值，由此求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由得，故为钝角，且，.由余弦定理得，即，所以的最大值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量数量积的表示，考查余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最小值，考查余弦函数的性质，综合性较强，属于中档题.向量在本题中是一个工具的作用，由此得到三角形的边角关系.要求角的最大值，则要求得其余弦值的最小值，利用基本不等式可以求得这个最小值.‎ ‎10．已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是 （ ）‎ A．函数的最小正周期是10‎ B．对任意的，都有 C．函数的图像关于直线对称 D．函数的图像关于中心对称 ‎【答案】A ‎【解析】根据的为偶函数以及，可得到函数是周期为的周期函数，假设出符合题意的函数.对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.‎ ‎【详解】‎ 由于是偶函数，且，所以函数是周期为的周期函数，不妨设.对于选项，由于 ‎，所以函数的最小正周期为，故A选项说法错误.对于B选项，函数，由于是的周期，故是的周期，故，故B选项说法正确.对于C选项，由于，结合前面分析可知，故C选项判断正确.对于D选项.， ，故函数关于对称，D选项说法正确.综上所述，本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性等知识，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎11．已知向量，，则______；与的夹角为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】利用数量积的坐标运算取得，利用夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个限量的夹角.‎ ‎【详解】‎ 依题意，而，所以，所以两个向量的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式，属于基础题.‎ ‎12．已知，且，则______；______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先求得的范围，然后利用同角三角函数关系求得的值，利用，展开后求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由得，所以. .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.‎ ‎13．已知函数，则的最小正周期是______；的对称中心是______.‎ ‎【答案】 ， ‎ ‎【解析】根据取得函数的最小正周期，利用求得的对称中心.‎ ‎【详解】‎ 依题意的，即函数的最小正周期为.令，解得，所以函数的对称中心是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的最小正周期，考查三角函数零点的求法，属于基础题.对于函数以及函数，最小正周期的计算公式为.对于，最小正周期的计算公式为.对称中心的求法是类比的对称中心来求解.‎ ‎14．已知二次函数的两个零点为1和，则______；若，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】-3 ‎ ‎【解析】利用求得，进而求得另一个零点.解一元二次不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，即，，所以另一个零点为即.由得，即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二次函数零点问题，考查 十字相乘法，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.已知二次函数的一个零点，可以将零点代入函数的表达式，求出里面未知参数的值，从而求得另一个零点.解一元二次不等式主要步骤是先求零点，然后根据开口方向写出不等式的解集.‎ ‎15．已知对数函数的图像过点，则不等式的解集为 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，利用点求得的值，利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 设，代入点得，故，即.故原不等式可化为，即，解得，故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数函数解析式的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.‎ ‎16．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出函数的图像，根据图像与有三个不同的交点，判断出的位置，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 画出函数的图像如下图所示，由图可知，由于，关于，即.所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查指数函数和三角函数图像的画法，考查三角函数的对称性，属于中档题.‎ ‎17．如图，已知正方形的边长为1，点，分别为边，上动点，则的取值范围是 _______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出两点的坐标，利用坐标表示，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，设故.由于，故当时，取得最大值为.令，则，由于关于的一元二次方程有解，故，即，而，故.综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量数量积的坐标表示，考查最大最小值的求法，考查分析和截距问题的能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎18．已知，‎ ‎（Ⅰ）当时，求；‎ ‎（Ⅱ） 若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）当是，解一元二次不等式求得，解对数不等式求得，求得在求得.（II）构造函数，根据是集合的子集，可知，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）‎ 当时，由得：则 所以 ‎（Ⅱ）若，则当时，恒成立 令 则 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集和交集的概念，考查子集的概念，属于中档题.‎ ‎19．已知向量，.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）将两边平方后，利用辅助角公式，化简合并，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.（II）利用求得的值，进而求得的值，利用两角和的正弦公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）‎ 则 ‎∴‎ ‎（Ⅱ）若 由得 则 ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量模的运算，考查三角函数辅助角公式，考查两角和的正弦公式，属于中档题.‎ ‎20．已知函数为偶函数 ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得当时，函数的值域为？若存在请求出实数，的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）不存在 ‎【解析】（I）利用偶函数的定义，通过列方程，由此求得的值.（II）由（I）求得的解析式，并判断出函数在上为增函数，根据函数的值域列方程组，求得的值，由此判断出不存在符合题意的的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）函数为偶函数，‎ ‎∴，∴‎ ‎（Ⅱ），∴在上是增函数 若的值域为 则 解得 又∵，所以不存在满足要求的实数，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性以及函数的值域，属于中档题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的值域；‎ ‎（Ⅱ）若方程有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】（I）当时，利用降次公式化简，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得的值域.（II）解法一：同（I）将函数转化为二次函数的形式.对分成三类，讨论函数的是否有解，由此求得的取值范围.解法二：化简的表达式，换元后分离常数，再由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 令，令，‎ 则，所以的值域为 ‎（Ⅱ）法一：‎ 令，令，‎ ‎①当，即时，，解得 ‎②，即时，，无解 ‎③当，即时，，解得 综上所述或 法二：‎ 令，‎ 当，不合题意，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵在，递减 ‎∴或 ‎∴或 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.‎ ‎22．已知函数在上是减函数，在上是增函数.若函数，利用上述性质 ‎（Ⅰ）当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；‎ ‎（Ⅱ）设在区间上最大值为，求的解析式；‎ ‎（Ⅲ）若方程恰有四解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ 的单调递增区间为，‎ ‎（Ⅱ）∵‎ ‎①当时，，‎ ‎②当时，，，‎ ‎③当时，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 当，即时，‎ 当，即时，‎ 综上所述 ‎（Ⅲ）时，方程为，且 ‎；‎ 所以对任意实数，方程有且只有两正解 时，方程为或 所以时，恰有四解 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解.‎