2017-2018学年甘肃省武威第十八中学高二下学期第二次月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年甘肃省武威第十八中学高二下学期第二次月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 甘肃省武威第十八中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再求其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 由题得，所以其共轭复数为2-i.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查复数的计算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 复数的共轭复数 ‎2．已知函数，则（　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的导函数，再求.‎ ‎【详解】‎ ‎，故，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察导数的运算，属于基础题.注意与的差别，前者表示函数在的导数，后者表示的导数，它是.‎ ‎3．下列结论中正确的是（ ）‎ A． 导数为零的点一定是极值点 B． 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 C． 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值 D． 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极值点的判断方法进行判断.‎ ‎【详解】‎ 若，则，，‎ 但是上的增函数，故不是函数的极值点.‎ 因为在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，‎ 故的左侧附近，有为增函数，在的右侧附近，有为减函数，‎ 故是极大值.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（高）”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点，具体如下．‎ ‎（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；‎ ‎（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；‎ ‎4．圆的圆心坐标是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先化为直角坐标方程，再根据方程确定圆心.‎ 详解：因为，所以 所以，圆心坐标为，即，‎ 选A.‎ 点睛：研究极坐标方程的性质，往往先化直角坐标方程，再根据直角坐标方程研究对应曲线性质.‎ ‎5．函数的导数是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式进行计算．‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，函数的导数的计算须根据基本初等函数的导数公式和四则运算公式来进行．如果函数是，我们可以把函数变形为，利用函数积的导数简化计算．又如函数，我们可以把函数变形为然后再求导数．解题中注意归纳总结这些代数变形手段．‎ ‎6．函数的定义域为，导函数在内的图象如下图所示，则函数在内有（　　）极大值点.‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 极大值点是导函数的零点，且在其左侧附近，导数大于零，在其右侧附近，导数小于零，据此及导函数的图像可得极大值点的个数．‎ ‎【详解】‎ 若在内可导，，若在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为的极大值点，‎ 根据导函数的图像可知，这样的点有两个（与轴交点中的最左端和最右端对于的数），‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 函数的极大值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最高”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有” ．注意如果在附近可导（含）且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点且．‎ ‎7．函数，的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间．‎ ‎【详解】‎ ‎，令，则，‎ 故在上的减区间为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调减函数；反之，若在区间上可导且为减函数，则，注意若，那么在区间上不一定是减函数，比如．‎ ‎8．复数，其中，若是纯虚数，则的取值是（ ）‎ A． B． 2 C． 3 D． 2或3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是纯虚数，故其实部为零，虚部不为零，从而求出的值．‎ ‎【详解】‎ 因为是纯虚数，故 ，故，选B．‎ ‎【点睛】‎ 复数，‎ ‎（1）若，则为实数；‎ ‎（2）若，则为虚数，特别地，如果，则为纯虚数．‎ ‎9．表示的图形是 （ ）‎ A． 一条射线 B． 一条直线 C． 一条线段 D． 圆 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在极坐标系中，极角为定值，且过极点的图形为直线，注意到，故为射线．‎ ‎【详解】‎ 表示过极点的直线，因，故其表示的图形是一条射线（如图）‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，表示过极点的直线，表示圆心为极点半径为的圆．‎ ‎10．在的展开式中的系数为（ ）‎ A． 10 B． 20 C． 30 D． 40‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项计算的系数．‎ ‎【详解】‎ 二项展开式的通项为 ，‎ 令，故，的系数为，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 二项展开式中项的系数的讨论需利用通项公式，注意项的系数与项的二项式系数的差别．‎ ‎11．椭圆为参数）的离心率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消去参数得到椭圆的标准方程后求出可得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 利用平方消元有，故，所以，‎ ‎，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 椭圆的参数方程为（为参数），注意此处不是与轴正向所成的角，另外我们需利用来消元．‎ ‎12．函数在处有极值10, 则点为 （　　）‎ A． B． C． 或 D． 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，则，解得或，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,,为极小值点,符合,故选A.‎ 考点：1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当 时，，此时在定义域上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A，认为两组解都符合，一定要注意检验.‎ ‎13．直线（为参数）被曲线所截得的弦长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将原极坐标方程曲线中的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程，再利用直角坐标方程求出圆心到直线的距离，最后根据半径，圆心距，弦长的一半三者之间的关系即可求出弦长．‎ ‎【详解】‎ 将方程，分别化为普通方程：3x+4y+1=0，x2+y2﹣x+y=0，‎ 所以圆心坐标为（），半径为．‎ 所以圆心到直线的距离为．‎ 所以弦长=2=2=.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化、直线的参数方程，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．函数的单调减区间是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间．‎ ‎【详解】‎ ‎，其中，‎ 令，则，故函数的单调减区间为，填．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调减函数；反之，若在区间上可导且为减函数，则．注意求单调区间前先确定函数的定义域．‎ ‎15．物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】， 物体在时的瞬间时速度为，故答案为.‎ ‎16．若复数，其中是虚数单位，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数的除法算出后再求其模.‎ ‎【详解】‎ ‎，故，故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察复数的除法及复数的概念（模），属于基础题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求下列函数的导数.‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的四则运算和复合函数的求导法则求导.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎.‎ ‎（2） .‎ ‎【点睛】‎ 一般地，函数的商的导数公式是，注意求导后分子的结构特点（求导次序与中间的符号）.而函数的导数则是，注意系数是来自.‎ ‎18．实数取怎样的值时，复数是：‎ ‎（1）实数？‎ ‎（2）虚数？‎ ‎（3）纯虚数？‎ ‎【答案】（1）或；（2）且；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则为实数，此时或者.‎ ‎（2）若，则为虚数，此时且.‎ ‎（3）若 ，则为纯虚数，此时.‎ ‎【点睛】‎ 对于复数，（1）若，则为实数；（2）若，则为虚数，特别地，如果，则为纯虚数，解题中注意合理分类．‎ ‎19．设函数，其中.已知在处取得极值.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在点处的切线方程.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】分析：求出原函数的导数，根据在处取得极值，得到，由此求得的值值，则函数的解析式可求；‎ ‎（2）由（1）得到，求得，所以在点处的切线方程可求.‎ 详解：（1）.‎ 因为在处取得极值，所以，‎ 解得，所以.‎ ‎（2）点在上，由（1）可知，‎ ‎，所以切线方程为.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题需要注意的是函数的极值点处的导数等于零，但导数为零的点不一定是极值点，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.‎ ‎20．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程：‎ ‎（2）设直线与曲线交于点,若点的坐标为,求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数可得直线的普通方程．把写成，再利用得到直角方程.‎ ‎（2）直线的参数方程为，将其代入圆的方程得到关于的方程，其解为，而，利用韦达定理可求此值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）消去参数，得到直线的普通方程为：；‎ 曲线的极坐标方程为：，‎ ‎∴，化为普通方程是：，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为； ‎ ‎（2）把直线的参数方程代入，得， ‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 因为，所以，，（其中同号）‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 如果直线的参数方程是 （是参数且，是直线的倾斜角），那么表示与之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．‎