2019-2020学年湖北省十堰市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省十堰市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省十堰市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合,,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由可求出，再结合即可求得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 所以, ‎ 又，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.‎ ‎2．已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( )‎ A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．平行四边形 ‎【答案】D ‎【解析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由,得,‎ 即,‎ 故,得四边形ABCD是平行四边形，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.‎ ‎3．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,则函数的最小正周期是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,‎ 则,‎ 即函数的最小正周期是，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.‎ ‎4．函数的零点所在的区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数单调递增和,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 是单调递增函数,且,,‎ 所以的零点所在的区间为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.‎ ‎5．我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由，‎ 有，‎ 即是偶函数，‎ 则的图像关于轴对称， ‎ 结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.‎ ‎6．若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数是幂函数,‎ 所以,解得或.‎ 又因为在上单调递增,所以,‎ 所以,‎ 即,‎ 从而，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.‎ ‎7．设,,,则a,b,c的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为,,,所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.‎ ‎8．已知函数是定义在上的奇函数,则( )‎ A． B． C．2 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由函数是定义在上的奇函数,‎ 则其定义域关于原点对称且，‎ 得,‎ 所以,‎ 即,‎ 则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.‎ ‎9．在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可 ‎【详解】‎ 若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题 ‎10．函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由函数在R上单调递增,‎ 则,得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.‎ ‎11．在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，将用向量表示，再由 ‎，把向量用向量表示，根据E，F，M三点共线的关系式特征，即可求得结论.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 ‎.‎ 因为，所以.‎ 因为E，F，M三点共线，所以，‎ 所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.‎ ‎12．已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为,,‎ 所以.‎ 因为在区间内没有零点,‎ 所以.‎ 解得.‎ 因为,所以,‎ 因为.所以或.‎ 当时;‎ 当时,，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数,则______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】先将代入解析式可得,再求即可 ‎【详解】‎ 由题,,‎ 所以 故答案为：5‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算 ‎14．已知角的终边经过点,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合三角函数的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 则,‎ 所以,‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义，属基础题.‎ ‎15．已知为第三象限角,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 又为第三象限角,则，‎ 故原式 ，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.‎ ‎16．定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由于定义在R上的偶函数满足,‎ 所以的图象关于直线对称,‎ 画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,‎ 由图可知：当时,有5个交点,‎ 又和都是偶函数,‎ 所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，‎ 故答案为：10.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合或,.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】（1）计算，或，再计算得到答案.‎ ‎（2）根据得到，故或，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,所以,即,‎ 当时,或,所以或.‎ ‎(2)因为,所以, ,‎ 则或,即或,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.‎ ‎18．已知角的终边经过点,求下列各式的值.‎ ‎（1）;‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）-2 （2）‎ ‎【解析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.‎ ‎（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）由角的终边经过点,可知,‎ 则.‎ ‎（2）由已知有，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎19．已知函数（且）.‎ ‎（1）判断并证明的奇偶性;‎ ‎（2）求使的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）奇函数,证明见解析 （2）当时,;当时,‎ ‎【解析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.‎ ‎（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）由,‎ 得,解得,‎ 即函数的定义域为,显然关于原点对称.‎ 又,‎ 所以是定义域上的奇函数.‎ ‎（2）由,得,‎ 即,‎ 当时,不等式等价于,解得,‎ 当时,不等式等价于,解得,‎ 综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.‎ ‎20．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.‎ ‎（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;‎ ‎（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.‎ ‎（参考数据:取）‎ ‎【答案】（1） （2）6次 ‎【解析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；‎ ‎（2）结合题意解指数不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）由题意得,,‎ 所以当时,,‎ 即,解得,‎ 所以,‎ 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.‎ ‎（2）由题意可得,,‎ 整理得,,即,‎ 两边同时取常用对数,得,‎ 整理得,‎ 将代入,得,‎ 又因为,所以.‎ 综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.‎ ‎21．已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.‎ ‎（1）求的解析式;‎ ‎（2）已知B是锐角,且,求.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可； ‎ ‎（2）由B是锐角，结合求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）设的最小正周期为T,‎ ‎∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ 图象的一条对称轴是,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,.‎ 又∵的最大值是2,‎ ‎∴,从而.‎ ‎（2）∵,∴,‎ 又，‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题.‎ ‎22．已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:在上单调递增；‎ ‎(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）用增函数定义证明；‎ ‎（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 则 ‎，‎ ‎∵，∴，，∴，即，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎（2）总存在，对任意都成立，即，‎ 的最大值为，‎ 是偶函数，在是增函数，∴当时，，‎ ‎∴，整理得，，‎ ‎∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，‎ 如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于 ‎，‎ 如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．‎