2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§8-2 空间点、线、面的位置关系（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§8-2 空间点、线、面的位置关系（讲解部分）

专题八　立体几何 §8.2 　空间点、线、面的位置关系 高考文数 考点　点、线、面的位置关系 考点清单 考向基础 1.平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 用途 公理1   如果一条直线 上的两点在一 个平面内,那么 这条直线在这 个平面内 A ∈ l , B ∈ l , A ∈ α , B ∈ α ⇒ l ⊂ α 证明“点在面 内”或“线在 面内” 公理2   过不在一条直 线上的三点,有 且只有一个平 面 A 、 B 、 C 不共 线 ⇒ A 、 B 、 C ∈平面 α ,且 α 是 唯一的 证明两个平面 重合,用来确定 一个平面或证 明“点线共 面”       经过一条直线 和直线外的一 点,有且只有一 个平面 若点 A ∉ 直 线 a ,则 A 和 a 确 定一个平面 α     经过两条相交 直线,有且只有 一个平面 a ∩ b = P ⇒ 有且 只有一个平面 α ,使 a ⊂ α , b ⊂ α     经过两条平行 直线,有且只有 一个平面 a ∥ b ⇒ 有且只 有一个平面 α , 使 a ⊂ α , b ⊂ α 公理3   如果两个不重 合的平面有一 个公共点,那么 它们有且只有 一条过这个点 的公共直线 若 P ∈ α , P ∈ β , 则 α ∩ β = a , P ∈ a ,且 a 是唯一的 确定两个平面 的交线,尤其是 画截面图或补 体时用到,证明 “三点共线” “三线共点” 2.点、线、面的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系 (2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个 角 相等或互补 . (4)两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所 位置关系 公共点的个数 共面 直线 相交直线 在同一个平面内,有且仅有一个 公共点 平行直线 在同一个平面内,没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内,没有公 共点 成的 锐角或直角 叫做这两条异面直线所成的角,若记这个角为 θ ,则 θ ∈   . 当两条异面直线所成的角为   时,这两条异面直线互相垂直. (5)直线与平面的位置关系 位置关系 公共点个数 直线在平面内 直线上的所有点都在平面内 直线在平面外 直线和平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点 直线和平面平行 直线与平面没有公共点 考向一　点、线、面位置关系的判断 考向突破 例1    (2019四川高三一诊,10)已知直线 l 和平面 α ,若 l ∥ α , P ∈ α ,则过点 P 且平 行于 l 的直线   (　　) A.只有一条,不在平面 α 内 B.只有一条,且在平面 α 内 C.有无数条,一定在平面 α 内 D.有无数条,不一定在平面 α 内 解析　过直线 l 和点 P 作一个平面 β 与 α 相交于 m ,∵ l ∥ α ,∴ l ∥ m ,又 m ⊂ α ,则 m 是过点 P 且平行于 l 的直线,若 n 也是过点 P 且平行于 l 的直线,由平行公理得 m ∥ n ,这是不可能的,故过点 P 且平行于 l 的直线只有一条,且在平面 α 内.故选 B.   答案    B 考向二　求异面直线所成的角 例2    (2020届湖北部分重点中学9月摸底考试,15)在正四面体 ABCD 中, M 是棱 BD 的中点,则异面直线 AB 与 CM 所成角的余弦值为 　　　     . 解析　取 AD 的中点 N ,连接 MN , CN ,又因为 M 是 BD 的中点,所以 MN ∥ AB ,故 ∠ CMN 或其补角为异面直线 AB 与 CM 所成的角. 设 AB =2,则 MN =1,在△ BCD 中,易求 CM =   ,同理可求 CN =   ,则在△ CMN 中,cos∠ CMN =   =   =   .又异面直线所成角的 取值范围为   ,所以异面直线 AB 与 CM 所成角的余弦值为   .   答案       例3　如图所示, O 1 是正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的上底面 A 1 B 1 C 1 D 1 的中心, M 是 对角线 A 1 C 和截面 B 1 D 1 A 的交点. 求证: O 1 、 M 、 A 三点共线.   考向三　点共线、线共点以及点线共面的证明 证明　连接 AC . ∵ A 1 C 1 ∩ B 1 D 1 = O 1 , 又 B 1 D 1 ⊂ 平面 B 1 D 1 A , A 1 C 1 ⊂ 平面 AA 1 C 1 C , ∴ O 1 ∈平面 B 1 D 1 A , O 1 ∈平面 AA 1 C 1 C . ∵ A 1 C ∩ 平面 B 1 D 1 A = M , A 1 C ⊂ 平面 AA 1 C 1 C , ∴ M ∈平面 B 1 D 1 A , M ∈平面 AA 1 C 1 C . 又∵ A ∈平面 B 1 D 1 A , A ∈平面 AA 1 C 1 C , ∴ O 1 、 M 、 A 在平面 B 1 D 1 A 和平面 AA 1 C 1 C 的交线上, 即 O 1 、 M 、 A 三点共线. 方法1 　证明点共线、线共点及点线共面的方法 1.证明点线共面问题的两种方法:(1)归一法:首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)重合法:将 所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都 在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上. 3.证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线 经过该点. 方法技巧 例1　已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E , F 分别为 D 1 C 1 , C 1 B 1 的中点, AC ∩ BD = P , A 1 C 1 ∩ EF = Q . 求证:(1) D , B , F , E 四点共面; (2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P , Q , R 三点共线.   证明　如图.   (1)连接 B 1 D 1 , 由已知得 EF 是△ D 1 B 1 C 1 的中位线, ∴ EF ∥ B 1 D 1 .在正方体 AC 1 中, B 1 D 1 ∥ BD ,∴ EF ∥ BD . ∴ EF , BD 确定一个平面,即 D , B , F , E 四点共面. (2)正方体 AC 1 中,设平面 A 1 ACC 1 确定的平面为 α ,平面 BDEF 确定的平面为 β . ∵ Q ∈ A 1 C 1 ,∴ Q ∈ α .又 Q ∈ EF ,∴ Q ∈ β , 故 Q 是 α 与 β 的公共点. 同理 P 是 α 与 β 的公共点, ∴ α ∩ β = PQ . 又 A 1 C ∩ β = R ,∴ R ∈ A 1 C . ∴ R ∈ α ,且 R ∈ β ,则 R ∈ PQ . 故 P , Q , R 三点共线. 方法2 　异面直线所成角的求解方法 求异面直线所成的角常采用 “平移法” ,用“平移法”求异面直线所成的 角的步骤: 1.平移找角(作角); 2.证明:推出所找(作)的角(或其补角)为异面直线所成的角; 3.求解:利用解三角形求出角的大小,注意异面直线所成的角的范围. 平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线 段的端点或中点)作平行线平移;利用异面直线所在几何体的特点,补形平 移.(注:计算异面直线所成的角通常在三角形中进行) 例2    (2020届皖南八校第一次联考,15)在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, BC = CC 1 =1,∠ AD 1 B =   ,则直线 AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值为 　　　     . 解析　如图,∵ ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 为长方体, ∴ BC 1 ∥ AD 1 ,∴∠ D 1 AB 1 (或其补角)为异面直线 AB 1 与 BC 1 所成的角. ∵ AB ⊥平面 ADD 1 A 1 , AD 1 ⊂ 平面 ADD 1 A 1 ,∴ AB ⊥ AD 1 , 在Rt△ BAD 1 中, AD 1 =   =   ,∠ AD 1 B =   , ∴tan∠ AD 1 B =   =   =   ,∴ AB =   . 在△ AB 1 D 1 中, AB 1 =   =   , AD 1 =   , B 1 D 1 =   =   , ∴cos∠ D 1 AB 1 =   =   =   . ∴异面直线 AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值为   .   答案