【推荐】专题4-3 三角函数的图像和性质-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题4-3 三角函数的图像和性质-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

‎【真题回放】‎ ‎1.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【考点】正弦函数周期 ‎【名师点睛】函数的性质 ‎(1).‎ ‎(2)周期 ‎(3)由求对称轴 ‎(4)由求增区间; 由求减区间;‎ ‎2.【2017课标3，文6】函数的最大值为（）‎ A． B．1 C． D． ‎【答案】A ‎【考点】三角函数性质 ‎【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ ‎3.【2017天津，文7】设函数，其中.若且的最小正周期大于，则 ‎（A）（B）（C）（D） ‎【答案】 ‎【考点】三角函数的性质 ‎【名师点睛】本题考查了的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当时，，满足题意，，不合题意，B选项错误；，不合题意，C选项错误；‎ ，满足题意；当时，，满足题意；，不合题意，D选项错误.本题选择A选项. ‎ ‎4.【2017山东，文7】函数最小正周期为 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【考点】三角变换及三角函数的性质 ‎【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.③对于形如的函数,一般先把其化为的形式再求周期.‎ ‎5.【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示，则（）‎ ‎（A） （B） ‎（C） （D） ‎【答案】A 考点：三角函数图像的性质 ‎【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值． ‎ ‎6.【2016高考新课标1文数】若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为（）‎ ‎（A）y=2sin(2x+) （B）y=2sin(2x+) （C）y=2sin(2x–) （D）y=2sin(2x–)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：函数的周期为,将函数的图像向右平移个周期即个单位,所得函数为,故选D.‎ 考点：三角函数图像的平移 ‎【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x而言的,不用忘记乘以系数.‎ ‎7.【2015高考山东，文4】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）‎ ‎（A）向左平移个单位  （B）向右平移个单位 ‎（C）向左平移个单位   （D）向右平移个单位 ‎【答案】 ‎【考点定位】三角函数图象的变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于加或减的数据.‎ 本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混. ‎ ‎8.【2016高考新课标Ⅲ文数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．‎ ‎【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．‎ ‎【考纲解读】‎ ‎1．能画出y＝sin x, y＝cos x, y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．‎ ‎2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ ‎3.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响．‎ ‎4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.‎ ‎【命题规律】 ‎ 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：‎ ‎1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；‎ ‎2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.‎ ‎【知识链接】‎ ‎1．“五点法”作图原理 在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、、(π，0)、、(2π，0).‎ ‎2．三角函数的图像和性质 ‎　函数 性质　‎ y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 ‎{x|x≠kπ＋(k∈Z)}‎ 图像 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ ‎ R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；‎ 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)　‎ 对称轴：x＝kπ(k∈Z)；‎ 对称中心：‎ 周期 ‎2π ‎2π　‎ π 单调性 增区间 ；‎ 减区间 增区间 减区间 增区间 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数_‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 A T＝　‎ f＝ ‎＝ ‎4．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤如下 ‎【融会贯通】‎ 题型1 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎【知识链接】‎ 根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：‎ ‎(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；‎ ‎(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；‎ ‎(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；‎ ‎(4)φ的确定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，则或，求值．‎ 法二：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ．‎ 典例1. 【上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试】函数的部分图像如图所示，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A 典例2．【宁夏银川一中2017届高三第二次模拟数学（文）试题】已知的图象如图所示， 为得到的图象,可以将的图象 ‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】D 典例3．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则该函数的周期为 ‎ ‎【答案】 π ‎ ‎【解析】由图象可知,A=2.‎ f(0)=,所以2sinφ=,即sinφ=,‎ 因为|φ|<,所以φ=,‎ 此时f(x)=2sin (ωx+).‎ 又f =2,‎ 所以2sin =2,即sin=1.‎ 所以=+2kπ(k∈Z),即ω=24k+3(k∈Z).‎ 由图知,即T>,故.‎ 所以0<ω<6,所以ω=3,T=.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜) 的部分图象如图所示，则f(x)的函数解析式为________．‎ ‎【答案】 据此可得函数的解析式为.‎ ‎2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像如图所示，则f(x)的解析式为_________________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得 ,‎ 又 ‎ ‎3．如图，将绘有函数 (， )部分图象的纸片沿轴折成平面平面，若之间的空间距离为，则（ ）‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎【答案】B ‎【方法总结】‎ 根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：‎ ‎(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；‎ ‎(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；‎ ‎(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；‎ ‎(4)φ的确定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，则或，求值．‎ 法二：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ．‎ 题型2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的变换 典例1. 【2017届山东省济宁市高三3月模拟考试数学文试卷】要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】C 典例2．【2017届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考数学（文）试卷】已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）‎ A. 可由函数的图象向左平移个单位而得 B. 可由函数的图象向右平移个单位而得 C. 可由函数的图象向左平移个单位而得 D. 可由函数的图象向右平移个单位而得 ‎【答案】D 典例3．【2016高考新课标3】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．‎ ‎【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则 A. B. 的图象关于对称 C. D. 的图象关于对称 ‎【答案】B ‎【解析】 ，所以 ， 的图象关于对称； ， ，因此选B.‎ ‎2. 【山西省三区八校2017届高三第二次模拟考试数学（文）】为了得到y=sin(2x+π‎3‎)‎的图象，只需将y=sin2x的图象（ ）‎ A. 向右平移π‎3‎个长度单位 B. 向右平移π‎6‎个长度单位 C. 向左平移π‎6‎个长度单位 D. 向左平移π‎3‎个长度单位 ‎【答案】C ‎【解析】y=sin2x向左平移π‎6‎个长度单位得y=sin2x+‎π‎6‎=sin(2x+π‎3‎)‎，故选C.‎ ‎3．已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是（ ）.‎ A. 图象关于点中心对称 B. 图象关于轴对称 C. 在单调递减 D. 在区间单调递增 ‎【答案】D 题型3 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的周期性与对称性 典例1．【湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试文数】已知函数fx=cos‎3x+φ‎0<φ<π，将fx的图象向右平移π‎6‎个单位所得图象关于点π‎4‎‎,0‎对称，将fx的图象向左平移θθ>0‎个单位所得图象关于y轴对称，则θ的值不可能是 A. π‎4‎ B. ‎5π‎12‎ C. ‎7π‎12‎ D. ‎‎11π‎12‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意集合对称中心可得：‎3×π‎4‎‎-‎π‎6‎+φ=k‎1‎π+‎π‎2‎k‎1‎‎∈Z，‎ 据此有：φ=k‎1‎π+‎π‎4‎k‎1‎‎∈Z，‎ 结合对称轴有：‎3×‎0+θ+φ=k‎2‎πk‎2‎‎∈Z，‎ 据此有：θ=‎1‎‎3‎k‎2‎‎-‎k‎1‎π-‎π‎12‎，‎ 据此可得：θ的值不可能是‎5π‎12‎.‎ 本题选择B选项. ‎ 典例2．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)‎的部分图像如图所示，则函数g(x)=Acos(φx+ω)‎ 图像的一个对称中心可能为（ ）‎ A. ‎(-‎5‎‎2‎,0)‎ B. ‎(‎1‎‎6‎,0)‎ C. ‎(-‎1‎‎2‎,0)‎ D. ‎‎(-‎11‎‎6‎,0)‎ ‎【答案】C ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出φ，正确求ω，φ使解题的关键.求解析时求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 时ωx+φ=0‎；“第二点”(即图象的“峰点”) 时ωx+φ=‎π‎2‎；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点) 时ωx+φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”) 时ωx+φ=‎‎3π‎2‎；“第五点”时ωx+φ=2π.‎ 典例3．如果函数y=2sin(2x-φ)‎的图像关于点‎(‎4π‎3‎,0)‎ 中心对称，那么‎|φ|‎ 的最小值为 A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【变式训练】‎ ‎1．已知函数在处取得最大值，则函数的图象 （ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得, ,所以选A.‎ ‎2．函数的（，）图象关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为，若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 的图象两个相邻最高点的距离为 ， ‎ ,由图象关于直线对称，, ， 时， ， ， ，故选A. ‎ ‎3.在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ）‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎【答案】A 题型4 数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调性问题 典例1．【四川省遂宁市2017届高三三诊考试数学（文）试题】函数 的部分图象如图所示，则其在区间上的单调递减区间是 A. 和 B. 和 ‎ C. 和 D. 和 ‎【答案】B 典例2．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由，即，由，得，故，令，解得.‎ 典例3.已知函数，将的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象．‎ ‎（1）试求的单调减区间；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）单调减区间是（2） ‎【解析】【试题分析】（1）借助题设条件先求出平移后的函数的解析式；（2）依据题设条件，运用同角三角函数的关系及诱导公式求解：‎ 解：(1) 由题意， ‎ ‎ 由，得 ‎ ‎ 所以的单调减区间是 ‎ 点睛：解答本题的关键是先求函数的解析式，再借助正弦函数的单调区间建立不等式求出其单调递减区间使得问题获解；求解第二问时，先借助题设条件三角函数的诱导公式分别求出，再依据题设条件及同角三角函数的关系及诱导公式求，继而使得问题获解。‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.下列函数中，周期为，且在上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎ 2．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)‎在区间‎[π‎6‎,π‎2‎]‎上单调递增，且函数值从‎-2‎增大到0.若x‎1‎‎、x‎2‎∈[-π‎6‎，π‎2‎]，‎且f(x‎1‎)=f(x‎2‎),‎则f(x‎1‎+x‎2‎)=‎ ‎ A. ‎-‎‎2‎ B. ‎2‎ C. ‎-‎‎3‎ D. ‎‎3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可得，fπ‎6‎=-2，f‎0‎=0‎,故x=‎π‎6‎为f(x)‎的对称轴，且函数周期为‎4×(π‎2‎-π‎6‎)=‎4π‎3‎=‎2πω,ω=‎3‎‎2‎,f(π‎2‎)=2sin(‎3‎‎2‎×π‎2‎+φ)=0,φ=-‎‎3π‎4‎，‎ f(x)=2sin(‎3‎‎2‎x-‎3π‎4‎)‎‎.‎ 当f(x‎1‎)=f(x‎2‎),‎时，x‎1‎‎+x‎2‎=2×π‎6‎=‎π‎3‎.‎ f(x‎1‎+x‎2‎)=f(π‎3‎)=2sin(‎3‎‎2‎×π‎3‎-‎3π‎4‎)=2sin(-π‎4‎)=-‎‎2‎‎，故选A. ‎ ‎3．【江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次模拟】若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．‎ ‎【答案】 (或)‎ 题型5 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最值与综合应用 ‎【知识链接】‎ 求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：‎ ‎(1)利用sin x、cos x的有界性；‎ ‎(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；‎ ‎(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.‎ 典例1．【2017届山西省高三3月高考考前适应性测试（一模）数学（文）试卷】已知函数 的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数在区间上的最大值是__________．‎ ‎【答案】 典例2.给出下列四个命题：‎ ‎①的对称轴为；‎ ‎②函数的最大值为2；‎ ‎③函数的周期为2π；‎ ‎④函数在上是增函数．‎ 其中正确命题是_________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】的对称轴满足：‎ ‎2x﹣=kπ+，即；故①正确．‎ 函数，其最大值为2，故②正确．‎ 函数= sin2x﹣1，其周期为π，故③错误．‎ 函数在上是增函数，在上是减函数．‎ 故④错．‎ 故只有①②正确．‎ 典例3. 【山东省师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文）试题】若正弦型函数fx=Asinωx+‎π‎6‎+bA>0,ω>0‎有如下性质：最大值为‎4‎,最小值为‎-2‎；相邻两条对称轴间的距离为π‎2‎.‎ ‎（I）求函数y=fx解析式;‎ ‎（II）当x∈‎π‎12‎‎,‎‎5π‎12‎时,求函数y=fx的值域.‎ ‎（III）若方程fx=m在区间π‎12‎‎,‎‎5π‎12‎上有两个不同的实根,求实数m的取值范 ‎【答案】（I）f(x)=3sin(2x+π‎6‎)+1‎；（II）‎[1,4]‎；（III）‎3‎‎3‎‎2‎‎+1≤m<4‎.‎ ‎（II）当x∈[π‎12‎,‎5π‎12‎]‎时,‎(2x+π‎6‎)∈[π‎3‎,π]‎,‎ ‎ 此时sin(2x+π‎6‎)∈[0,1]‎,故f(x)=3sin(2x+π‎6‎)+1∈[1,4]‎ 于是所求函数 y=f(x)‎的值域为‎[1,4]‎;‎ ‎（III）由y=sinx在‎[π‎3‎,π]‎先增再减可知f(x)=3sin(2x+π‎6‎)+1‎在区间‎[π‎12‎,‎5π‎12‎]‎上先增再减，‎ 而f(π‎12‎)=‎3‎‎3‎‎2‎+1‎，f(‎5π‎12‎)=1‎，于是实数m的取值范围是‎3‎‎3‎‎2‎‎+1≤m<4‎.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．已知函数的最小正周期为，则 A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D. 函数在区间上单调递增 ‎【答案】C ‎ 2．【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟考试数学（文）】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间 和上均为单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】 ，其单调增区间为 ‎ 即 ，选A.‎ ‎3．【江苏省南京市南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟】】设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则在区间上的最大值为______________‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎4. 知函数 ，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】，当时， ，依题意， ，由，可得时， ，当时， ，所以的取值范围是，故选D. ‎ ‎【知识交汇】‎ 与平面向量的交汇 ‎【2017黔东南州高考第一次模拟考试文科数学试题】函数 ()的部分图象如上图所示， 其中两点之间的距离为， 则___________。‎ ‎【答案】 点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题． 为振幅，有其控制最大、最小值， 控制周期，即，通常通过图象我们可得和, 称为初象，通常解出， 之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.三角函数的图像与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图像的平移和伸缩、周期、最值、奇偶性、单调性、对称性及角的取值范围，同时往往注重考查对三角函数“化一”恒等变换.高考中对三角函数考查时，注重考查方程思想、整体思想、数形结合思想在解题中运用.尤其注重两种“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种变换的差异：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．‎ ‎2.(1)图像变换与函数性质的综合问题可根据两种图像变换的规则，也可先通过图像变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质。‎ ‎(2)函数图像与性质的综合问题，常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质。‎ ‎(3)三角函数模型的应用 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题。‎ ‎3. 1个区别——两种图像变换的区别 由y＝sin x的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度。原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值。‎ ‎4. 3种方法——由函数图像求解析式的方法 ‎(1)如果从图像可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ。‎ ‎(2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，依据是五点法。‎ ‎(3)运用逆向思维的方法，根据图像变换可以确定相关的参数。‎ ‎5.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 ‎(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝ ‎(3)求φ，常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω， b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)。‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口。具体如下：‎ ‎“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π。‎ ‎6. 解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m个位时，用x+m(或x-m)代替x,向下（或上）平移n个单位时，用y+n(或y-n)代替y ，横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k倍，用代替x(或代替y),即可获得解决.‎ ‎7. 解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦(余弦)型函数 y＝asinωx＋bcosωx型引入辅助角化为一角一函．(2)化为关于sinx(或cosx)的二次函数．(3)利用数形结合法.‎ ‎【练习检测】‎ ‎1．【甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试】已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）‎ A. 函数的最小周期为 B. 函数的图象关于中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的最小值为 ‎【答案】D ‎ 2．【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第三次模拟考试数学（文）】已知角φ的终边经过点P(1.1)，函数 图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,则= （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎ 3．【2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学（文）试卷】已知函数（）的周期为，若，则（ ）‎ A. -2 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得， 所以，选B.‎ ‎4．【湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷（二）文科数学】如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若之间的空间距离为，则（ ）‎ A. -1 B. 1 C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由题设并结合图形可知，即，所以，应选答案D。‎ ‎5．【贵州省遵义市第四中学2016届高三上学期第四次月考数学（文）】将函数的图象向左平移个单位，得到新函数的一条对称轴为 ，则 的值不可能是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到新函数的解析式为 ，再根据所得函数的图象的一条对称轴为 ，则，即，故，故选C. ‎ ‎6．【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟（期中）数学（文）试题】已知函数（， ）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）‎ A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎ 7．【河南省新乡市2017届高三第三次模拟测试数学（文）试题】若函数（）的图象关于点对称，则__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】根据题意可得 又，故 ‎ ‎8．【天津市静海县第一中学2017届高三4月阶段性检测数学试题】已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 最大值为3，最小值为．‎ 故f（x）=2sin（4x+）+1；‎ ‎（Ⅱ）x∈[0，]时，4x+∈[0，]．‎ 当4x+=时，函数f（x）取得最小值为=1．‎ 当4x+=时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3‎ ‎∴f（x）在[0，]上的最大值为3，最小值为1．‎ ‎9．【陕西省西安市长安区第一中学2017届高三4月模拟考试数学（文）试题】已知函数 的部分图像如图所示，若，且．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) ；(2)最大值，最小值．‎ 试题解析：（1）由可得， ，即．又因为，所以．由题意可知， ，则 ‎，所以．故，所以，由， ，解得， ，‎ 所以函数的单调递增区间为．‎ ‎ ‎ ‎10．【西藏日喀则区第一高级中学2017届高三下学期期中考试数学（文）试题】已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)求函数的单调递减区间.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)化简函数的解析式可得函数的周期为；‎ ‎(2)由函数的解析式结合正弦函数的性质可得函数的单调递减区间为.‎ 试题解析：‎ 解： ‎（1） （2） ‎11．【安徽省淮北市第一中学2017届高三最后一卷数学（文）试题】设函数.‎ ‎（1）若，求的最大值及相应的的取值范围；‎ ‎（2）若是的一个零点，且，求的值和的最小正周期.‎ ‎【答案】（1）的最大值为，相应x的取值集合为；（2）最小正周期是π.‎ ‎（1）当时， 所以的最大值为，相应x的取值集合为 ‎（2）因为 整理得 又 所以 最小正周期是π.‎