安徽省蚌埠田家炳中学2019-2020学年高二下学期开学学业检测数学（理）试题

安徽省蚌埠田家炳中学2019-2020学年高二下学期开学学业检测数学（理）试题

蚌埠田家炳中学2020年春季学期开学学业检测 高二数学理科 满分：150分 ；考试时间：120分钟；‎ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知等于 A. 1 B. C. 3 D. ‎ 2. 曲线在点处切线的斜率等于 A. 2e B. e C. 2 D. 1‎ 3. 若，则等于     ‎ A. 5 B. 25 C. D. ‎ 4. 下列求导运算正确的是 A. B. C. D. ‎ 5. 若函数在上是单调函数，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 6. 已知函数的定义域为，且满足是的导函数，则不等式的解集为    ‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知函数在处有极值10，则等于     ‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ 8. 如图是函数的导函数的图象，下列关于函数的极值和单调性的说法中，正确的个数是 ‎ ‎ ，，都是函数的极值点； ，都是函数的极值点； 函数在区间上是单调的； 函数在区间上是单调的．‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 1. A. B. C. D. ‎ 2. 复数的虚部为 A. B. C. 1 D. 2‎ 3. 极坐标方程表示的曲线是 A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 4. 若直线为参数被圆为参数所截的弦长为，则a的值为 A. 1或5 B. 或5 C. 1或 D. 或 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 直线为参数的倾斜角是________．‎ 6. 已知直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为，则点A到直线的l距离为____________．‎ 7. 若复数，则 的虚部为__________．‎ 8. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 9. 选修：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． Ⅰ把的参数方程化为极坐标方程； Ⅱ求与交点的极坐标 ‎ 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是． 求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； 设点若直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值． ‎ 2. 已知复数是z的共轭复数，求的值；计算是虚数单位． ‎ 3. 已知函数为自然对数的底数 Ⅰ当时，试求的单调区间； Ⅱ若函数在上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围． ‎ 1. 已知函数． Ⅰ求曲线在点处的切线方程； Ⅱ求的单调区间； Ⅲ若对于任意，都有，求实数a的取值范围． ‎ 2. 求曲线 x与直线，，所围成图形的面积如图． ‎ ‎ ‎ 蚌埠田家炳中学2020年春季学期开学学业检测 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. C 2. C 3. B 4. D 5. B 6. D 7. B 8. C 9. D 10. B 11. D 12. A ‎ ‎13.   ‎ ‎14. 1  ‎ ‎15.   ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：Ⅰ曲线的参数方程式为参数， 得即为圆的普通方程， 即． 将，代入上式，得． ，此即为的极坐标方程； Ⅱ曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程为：， 由，解得或． 与交点的极坐标分别为，  ‎ ‎18. 解：已知直线l的参数方程为为参数． 转换为直角坐标方程为：． 曲线C的极坐标方程是， 即， 转换为直角坐标方程为：， 整理得：， 将直线l的参数方程为为参数， 代入． 得到：， 化简得：， 所以：，，和为A、B对应的参数． 故：．  ‎ ‎19. 解：因为， 所以． 解：原式 ．  ‎ ‎20. 解：Ⅰ易知，函数的定义域为， ‎ ‎ ， 当时，对于，恒成立， 所以若，，若，， 所以单调增区间为，单调减区间为； Ⅱ由条件可知在上有三个不同的根， 即在有不为1的两个不同的根，且， 令，， 则时单调递增，时单调递减， ，，， ， ．  ‎ ‎21. 解：Ⅰ因为函数， 所以， ，又因为，则所求切线斜率为1，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为； Ⅱ函数的定义域为， 由Ⅰ可知，， 由，解得， 由，解得， 所以的单调递增区间是， 的单调递减区间是； Ⅲ当时，恒成立， 等价于恒成立， 令，， ，． 当时，， 所以在区间单调递减； 当时，， 所以在区间单调递增． 而， ． 所以在区间上的最大值为， 所以当时，对于任意，都有． 实数a的取值范围为．  ‎ ‎22. 解：     xdx     ．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 【分析】 考查导数的定义，属于基础题． 根据导数的定义可将原式变成：，根据的值求解即可． 【解答】 解： 故选C．‎ ‎2. 【分析】 本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．‎ ‎【解答】 解：函数的导数为， 当时，， 即曲线在点处切线的斜率． 故选C．‎ ‎3. 【分析】 本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题． 把所给的等式两边对x求导，可得，再令，可得 的值． 【解答】 解：对于， 两边对x求导，可得， 再令，可得． 故选：B．‎ ‎4. 【分析】 本题考查了导数的运算法则，掌握基本导数公式是关键，属于基础题． 解题时根据导数的运算法则求导即可判断． 【解答】 解：对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选D．‎ ‎5. 【分析】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 求出，由题意可得：或在上恒成立，分类讨论进行求解即可． 【解答】 解：由题意得，‎ ‎， 因为在上是单调函数， 所以或在上恒成立， 当时，则在上恒成立， 即：当时，恒成立， 设，， 因为，所以， 当时，取到最大值， 所以； 当时，则在上恒成立， 即：当时，恒成立， 设， 因为，所以， 当时，取到最小值， 所以， 综上可得，或， 所以实数a的取值范围是， 故选B．‎ ‎6. 【分析】 本题主要考查不等式的求解，考查利用导数判断函数的单调性，属于中档题． 根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可． 【解答】 解：设，则， ， ，即在上为增函数， ， 不等式等价于， 即， 即， 在上为增函数， ，解得，即， 故不等式的解集为． 故选D．‎ ‎7. 【分析】 本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题． 由函数在处有极值为10，列出方程组可求出a和b，由此能求出． 【解答】 解：， ， ‎ 函数在处有极值为10， 解得，，经检验满足条件， ， ． 故选B．‎ ‎8. 【分析】 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，数形结合思想，是一道基础题． 结合函数的图象，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点． 【解答】 解：由图象得： 在递增，在递减，在递增， 故，都是函数的极值点， 故正确， 故选C．‎ ‎9. 【分析】‎ 本题考查定积分的几何意义及性质，同时考查定积分的几何意义和微积分基本定理，利用定积分的几何意义及微积分基本定理即可求解．‎ ‎【解答】‎ 解： ， ， 由定积分的几何意义可知表示圆心在原点半径为2的圆与x轴围成的半圆的面积，  ，  ．‎ 故选D．‎ ‎10. 【分析】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 按照复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 解： ， 复数的虚部为． 故选B．‎ ‎11. 【分析】 本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程，属基础题． 将极坐标方程化为直角坐标方程，研究直角坐标方程为双曲线方程，进而求得答案． 【解答】 解：极坐标方程可化为：， ‎ ‎，即，它表示中心在的双曲线． 极坐标方程表示的曲线是双曲线． 故选D．‎ ‎12. 【分析】 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题． 把参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式、弦长公式求得a的值． 【解答】 解：直线为参数， 即， 圆为参数， 即， 表示以为圆心、半径等于2的圆． 圆心到直线的距离为， 再根据弦长公式可得， 求得或， 故选A．‎ ‎13. 【分析】  本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化、直线的倾斜角和斜率之间的关系等知识，掌握三角函数的诱导公式是解题的关键．本题属于中档题． 首先，将所给的直线的参数方程化为普通方法，然后，求解其斜率，再确定其倾斜角即可． 【解答】 解：根据直线为参数， 得， ， 该直线的斜率， 该直线的倾斜角为， 故答案为．‎ ‎14. 【分析】‎ 本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．利用两角差的正弦函数展开方程，把极坐标方程化为普通方程，求出A的直角坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】‎ 解：因为可化为：‎ ‎，‎ 直线z的直角坐标方程为：，‎ 点A的极坐标为，它的直角坐标，‎ 则A到直线的距离为：‎ 故答案为1．‎ ‎15. ‎ ‎【分析】 本题主要考查复数的四则运算，共轭复数，属于基础题． 【解答】 解：， 则， 则， 故的虚部为． 故答案为．‎ ‎16. 【分析】 本题考查导数与函数单调性的关系，考查函数的图象，属于中档题． 由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得出不等式的解集． 【解答】 解：由的图象特征可得， 在和上大于或等于0，在上小于0， 或或， 的解集为． 故答案为．‎ ‎17. 本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键． Ⅰ对于曲线利用三角函数的平方关系式即可得到圆的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到的极坐标方程； Ⅱ先求出曲线的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出与交点的极坐标．‎ ‎18. 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． 利用一元二次方程的应用求出结果．‎ ‎19. 本题考查复数的相关概念和四则运算，属于基础题． 先化简复数z，求其共轭复数，利用乘法运算即可求解； 结合的周期性特点，运算即可求解．‎ ‎20. 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题． Ⅰ求出函数的导数，再求出函数的单调区间即可； Ⅱ转化为在有不为1的两个不同的根，且，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎21. 本题考查了利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及利用导数研究恒成立问题，考查转化思想，属于中档题． Ⅰ求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可； Ⅱ求出函数的导数，根据导数和函数单调的关系，求出函数的单调区间即可； Ⅲ问题等价于“”构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出a的范围即可．‎ ‎22. 利用定积分，即可得出结论． 本题考查了定积分的几何意义及其求法，属于基础题．‎