数学理卷·2019届安徽省淮北市一中高二上学期第四次月考（2017-12）

数学理卷·2019届安徽省淮北市一中高二上学期第四次月考（2017-12）

淮北一中学2017-2018学年高二上学期第四次月考 数学（理）试题 一. 选择题(本题共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1. 设全集U=R，集合，，则等于（ ）‎ A. B. {0, 1} C. {1, 2} D. {l, 2, 3}‎ ‎2. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则（ ）‎ A. B. 3 C. 2 D. ‎ ‎3. 下列命题错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. 对于命题，使得，则，则 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若为假命题，则均为假命题 ‎4. 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯。‎ A. 14 B. 12 C. 10 D. 8‎ ‎5. 已知点P是抛物线上的-个动点，则点P到点A(0, 1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎6. 已知，则下列三个数 （ ）‎ A. 都大于6 B. 至少有一个不大于6‎ C. 都小于6 D. 至少有一个不小于6‎ ‎7. 动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 程序框图如下图所示，当时，输出的k的值为（ ）‎ 开始 否 是 结束 k=1，s=0‎ s≥A 输出k k=k+1‎ A. 26 B. 25 C. 24 D. 23‎ ‎9. 淮北一中艺术节对摄影类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；‎ 乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是C作品获得一等奖”. ‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）. ‎ A. A作品 B. B作品 C. C作品 D. D作品 ‎10. 设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎11. 将正整数排成下表:‎ ‎1‎ ‎2 3 4‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16‎ ‎……………………………………‎ 则在表中数字2017出现在（ ） ‎ A. 第44行第80列 B. 第45行第80列 C. 第44行第81列 D. 第45行第81列 ‎12. 抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足. 设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ 二. 填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13. 抛物线的焦点坐标 . ‎ ‎14. 点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(0，1，3)到平面的距离为 . ‎ ‎15. 与双曲线有相同渐近线，且过(2, 0)的双曲线方程是 . ‎ ‎16. 已知椭圆的离心率是，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB倾角分别为、，则 . ‎ 三. 解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17（本题满分10分）‎ 已知m＞0，，. ‎ ‎(1) 若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；‎ ‎(2) 若m=5，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围.‎ ‎18（本题满分12分）‎ 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且有.‎ ‎(1) 求C；‎ ‎(2) 若c=3，求△ABC面积的最大值.‎ ‎19（本题满分12分） ‎ 数列满足 ‎ ‎(1) 证明：数列是等差数列；‎ ‎(2) 设，求数列的前n项和. ‎ ‎20（本题满分12分）‎ 已知是数列的前n项和，并且，对任意正整数n，；设 ‎. ‎ ‎(Ⅰ) 证明：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 设，求证: 数列不可能为等比数列。‎ ‎21（本题满分12分）‎ 已知抛物线，点M(m, 0)在x轴的正半轴上，过M点的直线与抛物线 C相交于A，B两点，O为坐标原点. ‎ ‎(1) 若m=l，且直线的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；‎ ‎(2) 是否存在定点M，使得不论直线绕点M如何转动，恒为定值？‎ ‎22（本题满分12分）‎ 已知圆，圆心为，定点，P为圆上一点，线段上一点N满足，直线上一点Q，满足.‎ ‎(Ⅰ) 求点Q的轨迹C的方程；‎ ‎(Ⅱ) O为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹C交于不同的两点A，B. 当且满足时，求△OAB面积S的取值范围.‎ 淮北一中2017—2018学年度第一学期高二年级第四次月考 理科数学试题参考答案 ‎1-5. CBDBC 6-10. DBCBA 11-12. DD ‎13. 14. 15. ‎ ‎16. 7‎ ‎17. ‎ 解：记命题p的解集为A=[-2，4]，…………1分 ‎ 命题q的解集为B=[2-m，2+m]，………… 2分 ‎∵是的充分不必要条件 ∴p是q的充分不必要条件，∴，…………3分 ‎∴，解得：.…………4分 ‎(2)∵“”为真命题，“”为假命题，‎ ‎∴命题p与q一真一假，…………5分 ‎ ‎①若p真q假，则，无解，…………7分 ‎②若p假q真，则，解得：. ………… 9分 综上得：.…………10分 ‎18解 ‎∵在△ABC中，，∴‎ 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC， ‎ 整理得：2cosCsin(A+B)=sinC，‎ 即 2cosCsin(π-(A+B))=sinC ‎2cosCsinC=sinC ‎∴，…………5 分 ‎∵‎ ‎∴.…………6分 ‎(2)由余弦定理可得：，‎ 可得，………… 9分.‎ ‎，当且仅当a=b=3时取等号，‎ ‎∴△ABC面积的最大值为. …………12分 ‎19. 解 证明（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；…………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ‎ ‎∴‎ ‎，…………7分 ‎∴ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得 …………10分 ‎∴. …………12分 ‎20. ‎ 解（Ⅰ）∵，∴，‎ 两式相减：，∴，…………2分 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴数列是是以2为公比的等比数列，…………5分 ‎∵，而，∴，，‎ ‎∴. …………7分 ‎（Ⅱ），假设为等比数列，则有 ‎，，…………9 分 ‎ 则有 …………11分 与矛盾，所以假设不成立，则原结论成立，‎ 即: 数列不可能为等比数列. …………12分 ‎21. 解（1）当m=1时，M(1，0)，此时，点M为抛物线C的焦点，‎ 直线的方程为y=x-1，设，联立，‎ 消去y得，，∴，，‎ ‎∴圆心坐标为(3, 2). …………3分 又，∴圆的半径为4，‎ ‎∴圆的方程为. …………5分 ‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为，则直线的方程与抛物线联立，‎ 消去x得：，则，，…………7 分 ‎ …………10分 对任意恒为定值，‎ 于是m=2，此时. ‎ ‎∴存在定点M(2, 0)，满足题意. …………12分 ‎22. 解（Ⅰ）∵‎ ‎∴ N为的中点 ‎∵‎ ‎∴ QN为线段的中垂线 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴由椭圆的定义可知Q的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 设椭圆的标准方程为，‎ 则，‎ ‎∴. ‎ ‎∴点Q的轨迹C的方程为. …………4分 ‎（Ⅱ）∵圆O与直线相切，‎ ‎∴，即，…………5分 由，消去y整理得. …………6分 ‎∵直线与椭圆交于两个不同点，‎ ‎∴，‎ 将代入上式，可得，‎ 设，‎ 则，…………7分 ‎∴，‎ ‎∴，…………8分 ‎∴，‎ ‎∵，解得. …………9分 满足. ‎ 又， …………10分 设，则. ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴‎ 故△OAB面积S的取值范围为. …………12分