高考数学一轮复习精品题集之导数
导数
选修 1-1 第 3 章 导数及其运用
§3.1 导数概念及其几何意义
重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
考纲要求：①了解导数概念的实际背景．
②理解导数的几何意义．
经典例题：利用导数的定义求函数 y=|x|(x≠0)的导数．
当堂练习：
1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量 x 满足（ ）
A x >0 B x <0 C x 0 D x =0
2、设函数 )(xfy ，当自变量 x 由 0x
改变到
xx 0 时，函数值的改变量是（ ）
A
)( 0 xxf
B
xxf )( 0 C
xxf )( 0 D
)()( 00 xfxxf
3、已知函数 12 xy 的图像上一点（1，2）及邻近一点 )2,1( yx ，则 x
y
等于（ ）
A 2 B 2 x C x2 D 2+
2)( x
4、质点运动规律 32 ts ，则在时间 )3,3( t 中，相应的平均速度是（ ）
A t6 B t
t
9
6
C t3 D t9
5．函数 y=f(x)在 x=x0 处可导是它在 x=x0 处连续的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在曲线 y=2x2－1 的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δ x,1+Δ y）,则 x
y
等于
A．4Δ x+2Δ x2 B．4+2Δ x C．4Δ x+Δ x2 D．4+Δ x
7．若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x+y－1=0，则
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在
8．已知命题 p：函数 y=f(x)的导函数是常数函数；命题 q：函数 y=f(x)是一次函数，则命题
p 是命题 q 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设函数 f(x)在 x0 处可导，则 0
lim
h h
hxfhx )()( 00
等于
A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0)
10．设 f(x)=x(1+|x|),则 f′(0)等于
A．0 B．1 C．－1 D．不存在
11．若曲线上每一点处的切线都平行于 x 轴，则此曲线的函数必是___．
12．两曲线 y=x2+1 与 y=3－x2 在交点处的两切线的夹角为___________．
13．设 f(x)在点 x 处可导，a、b 为常数，则 0
lim
x x
xbxfxaxf
)()(
=_____．
14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球
在 t=5 时的瞬时速度________．
15.已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，
(1)当 t=2，Δ t=0.01 时，求 t
s
．
(2)当 t=2，Δ t=0.001 时，求 t
s
．
(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度．
16．已知曲线 y=2x2 上一点 A(1，2)，求(1)点 A 处的切线的斜率．(2)点 A 处的切线方程．
17．已知函数 f(x)=
2 1 0
0
x x x
ax b x
，试确定 a、b 的值，使 f(x)在 x=0 处可导．
18．设 f(x)= )()2)(1(
)()2)(1(
nxxx
nxxx
,求 f′(1)．
[来源:学§科§网]
选修 1-1 第 3 章 导数及其运用
§3.2 导数的运算
重难点：能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简
单函数的导数．
考纲要求：①能根据导数定义，求函数
2 1
, , ,y c y x y x y
x
的导数．
能利用表 1 给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
表 1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：
1
0( , ; sin cos ; cos sin ;
n n
c c x nx n N x x x x
为常数）；
; ln ; log ;
1 1
ln ; logx xx x
a ae a xe a a x e
x x
法则 1
( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x
法则 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x
法则 3
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) 0)
( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x
v x v x
经典例题：求曲线 y=
21 x
x
在原点处切线的倾斜角.
当堂练习：
1.函数 f（x）=a4+5a2x2－x6 的导数为 ( )
A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x－6x5
C.10a2x－6x5 D.以上都不对
2.函数 y=3x（x2+2）的导数是( )
A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6
3.函数 y=（2+x3）2 的导数是( )
A.6x5+12x2 B.4+2x3 C.2（2+x3）3 D.2（2+x3）· 3x
4.函数 y=x－（2x－1）2 的导数是( )[来源:Z,xx,k.Com]
A.3－4x B.3+4x C.5+8x D.5－8x
5.设函数 f（x）=ax3+3x2+2,若 f'（－1）=4，则 a 的值为( )
A. 3
19
B. 3
16
C. 3
13
D. 3
10
6.函数 y=
21
2
x
x
的导数是( )
A.
2
2
1
)1(2
x
x
B.
2
2
1
31
x
x
C.
22
2
)1(
4)1(2
x
xx
D.
22
2
)1(
)1(2
x
x
7.函数 y= 83
5
4 xx 的导数是 ( )
A. 34
5
3 x B.0 C.
24
3
)83(
)34(5
xx
x
D.
24
3
)83(
)34(5
xx
x
8.函数 y= x
x
cos1 的导数是( )
A. x
xxx
cos1
sincos1
B.
2)cos1(
sincos1
x
xxx
C.
2)cos1(
sincos1
x
xx
D.
2)cos1(
sincos1
x
xxx
9.函数 f（x）= 12
1
3 xx 的导数是 ( )
A.
23 )12(
1
xx
B.
23
2
)12(
23
xx
x
C.
23
2
)12(
23
xx
x
D.
23
2
)12(
3
xx
x
106.曲线 y=－ 4
1
x3+2x2－6 在 x=2 处的导数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.曲线 y=x2（x2－1）2+1 在点（－1，1）处的切线方程为_________.
12.函数 y=xsinx－cosx 的导数为_________.
13.若 f（x）=xcosx+ x
x
sin ,则 f'（x）=_________.
14.若 f（x）=cotx,则 f'（x）=_________.
15.求曲线 y=2x3－3x2+6x－1 在 x=1 及 x=－1 处两切线的夹角.
[来源:学§科§网]
16.已知函数 f（x）=x2（x－1）,若 f'（x0）=f（x0）,求 x0 的值.
17.已知函数 y= x
x
21
32 2
,求在 x=1 时的导数.
18.求函数 y= xx
1
2
1
2
的导数.
选修 1-1 第 3 章 导数及其运用
§3.3 导数在研究函数中的应用
重难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区
间，对多项式函数一般不超过三次；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用
导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、
最小值，对多项式函数一般不超过三次．
考纲要求：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单
调区间，对多项式函数一般不超过三次．
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对
多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超
过三次．
经典例题：已知函数 axx2)x(f 3 与 cbx)x(g 2 的图象都过点 P
)0,2( 且在点 P 处
有相
同的切线.
(1) 求实数 c,b,a 的值;
(2) 设函数 )x(g)x(f)x(F
, 求 )x(F 的单调区间, 并指出 )x(F 在该区间上的单调性.
当堂练习：
1. 函数 1x3x)x(f 23 是减函数的区间为 ( )
A.
(2, )
B .
( ,2)
C.
( ,0)
D.
(0,2)
2. 函数 9x3axx)x(f 23
, 已知 )x(f 在 3x 时取得极值, 则 a ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 在函数 x8xy 3 的图象上, 其切线的倾斜角小于 4
的点中, 坐标为整数的点的个数是
( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
4. 函数 1axy 2 的图象与直线 xy 相切, 则 a ( )
A.
1
8 B. 4
1
C. 2
1
D. 1
5. 已知函数
mx
2
1
x3)x(f 23
(m 为常数) 图象上点 A 处的切线与直线 03yx
的夹角为45
, 则点 A 的横坐标为 ( )
A. 0 B. 1 C. 0 或 6
1
D. 1 或 6
1
6. 曲线 y xx 32 在 2x 处的切线的斜率为 ( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7. 已 知 某 物 体 的 运 动 方 程 是 tS 9
1
3t , 则 当 s3t 时 的 瞬 时 速 度 是
( )
A. 10m /s B. 9m /s C. 4m /s D. 3m /s
8. 函 数 )(xf ＝ 52 24 xx 在 区 间 ] ,[ 32 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 是
( )
A. 5, 4 B. 13, 4 C. 68, 4 D. 68, 5
9. 已知函数 y ＝－ x 2 － 2x ＋ 3 在区间 ] ,[ 2a 上的最大值为 4
3
3
, 则 a 等于
( )
A. － 2
3
B. 2
1
C. － 2
1
D. － 2
1
或－ 2
3
10. 若函数 y＝x 3－2x 2＋mx, 当 x＝ 3
1
时, 函数取得极大值, 则 m 的值为
( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 3
2
11. 曲线
3xy 在点 )1,1( 处的切线与 x 轴、直线 2x 所围成的三角形的面积为 .
12. 曲线 1xxy 3 在点 )3,1( 处的切线方程是 .
13. 与 直 线 1 yx ＝ 0 平 行 , 且 与 曲 线 y ＝
1
3
2
x
相 切 的 直 线 方 程
为 .
14. 曲 线 y ＝ 122 xax 在 点 M
) ,(
4
3
2
1
处 的 切 线 的 斜 率 为 － 1, 则 a
＝ .
15. 已知函数 ,ax9x3x)x(f 23
(1) 求 )x(f 的单调递减区间;
(2) 若 )x(f 在区间 ]2,2[ 上的最大值为 20, 求它在该区间上的最小值.
16. 已知函数 daxbxx)x(f 23 的图象过点 P
)2,0(
, 且在点 M
))1(f,1( 处的切线
方程为 07yx6
.
(1) 求函数 )x(fy 的解析式; (2) 求函数 )x(fy 的单调区间.
17. 已知函数 ,bxaxy 23 当 1x 时, y 的极值为 3.
求: (1) a, b 的值; (2) 该函数单调区间.
18. 设函数
,5x2x
2
1
x)x(f 23
若对于任意 ]2,1[x 都有 m)x(f 成立, 求实数
m的
取值范围.
选修 1-1 第 3 章 导数及其运用
§3.4 生活中的优化问题
重难点：会利用导数解决某些实际问题．
考纲要求：①会利用导数解决某些实际问题．
经典例题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8π r2 分(其中 r
是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售 1 mL的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的
瓶子的最大半径为 6 cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
当堂练习：
1.函数 y=x3+x 的单调增区间为( )
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.不存在
2.若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f′(x)的图象是（ ）
3.右上图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是 （ ）
A.在区间(-2,1)内 f(x)是增函数 B.在(1,3)内 f(x)是减函数
C.在(4,5)内 f(x)是增函数 D.在 x=2 时 f(x)取到极小值
4.下列说法正确的是（ ）
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C.对于 f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|< 6 ,则 f(x)无极值 D.函数 f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
5.若函数 f(x)=x3-ax2+1 在(0,2)内单调递减，则实数 a 的取值范围是( )
A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0
0)在 R 上是增函数,则( )
A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0
C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0
7.已知函数 f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若 x=-1 是 y=f(x)的一个极值点,则 a 的值为( )
A.2 B.-2 C. 7
2
D.4
8.在区间(0,+∞)内，函数 y=ex-x 是( )[来源:学科网 ZXXK]
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增
9.函数 y=f(x)=lnx-x 在区间(0,e］上的最大值为( )
A.1-e B.-1 C.-e D.0
10.函数 y=x5-x3-2x，则下列判断正确的是( )
A.在区间（-1，1）内函数为增函数 B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数
C.在区间(-∞,1)内函数为减函数 D.在区间(1,+∞)内函数为增函数
11.函数 f(x)=x3-3x2+7 的极大值是 .
12.函数 y=4x2+ x
1
的单调增区间为 .
13.函数 y=3x2-2lnx 的单调减区间为 .
14.函数 y=x4-8x2+2 在［-1，3］上的最大值为 .
15.已知函数 y=ax 与 y=- x
b
在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数 y=ax3+bx2+5 的单
调区间.
16.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增
加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂 t
小时后的细菌数量为 b(t)=105+104t-103t2.
(1)求细菌在 t=5 与 t=10 时的瞬时速度;
(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?
17.已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)求导数 f′(x);(2)若 f′(-1)=0,求 f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.
18.某产品按质量分为 10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,
利润每件增加 2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60
件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?
选修 1-1 第 3 章 导数及其运用
§3.5 导数及其运用单元测试
1、设 )(xf 是可导函数，且
)(,2
)()2(
lim 0
00
0
xf
x
xfxxf
x
则
（ ）
A． 2
1
B．－1 C．0 D．－2
2、f/（x）是 f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、下列函数中,在 ),0( 上为增函数的是 （ ）
A.
xy 2sin
B.
xxey
C.
xxy 3
D.
xxy )1ln(
4、已知
3)2(
3
1 23 xbbxxy
是 R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 （ ）
A. 21 bb ，或 B. 21 bb ，或
C. 21 b D. 21 b
5、已知函数 1)( 23 xaxxxf 在 ),( 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是
（ ）
A.
),3[]3,(
B.
]3,3[
C.
),3()3,(
D.
)3,3(
6、下列说法正确的是 （ ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;
B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;
C. 对于 12)( 23 xpxxxf
,若 6|| p
,则 )(xf 无极值;
D.函数 )(xf 在区间 ),( ba 上一定存在最值.
7、函数
223)( abxaxxxf 在 1x 处有极值 10, 则点 ),( ba 为 （ ）
A.
)3,3(
B.
)11,4(
C.
)3,3( 或 )11,4(
D.不存在
8、定义在闭区间 ],[ ba 上的连续函数 )(xfy 有唯一的极值点 0xx
,且
)( 0xfy 极小值 ,
则下列说法正确的是 （ ）
A.函数 )(xf 有最小值
)( 0xf
B. 函数 )(xf 有最小值,但不一定是
)( 0xf
C.函数 )(xf 的最大值也可能是
)( 0xf
D. 函数 )(xf 不一定有最小值
9、函数 51232 23 xxxy 在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）
A. 5，15 B. 5， 4 C. 5， 15 D. 5， 16
10、函数 xxxxf cossincos)( 23 上最大值等于 （ ）
A． 27
4
B． 27
8
C． 27
16
D． 27
32
11、设函数
5( ) ln(2 3 )f x x ，则 f ′
1
( )
3 ＝____________________
12、函数 1032)( 23 xxxf 的单调递减区间为
13、函数 )0(3)( 3 abaxxxf 的极大值为 6,极小值为 2,则 )(xf 的减区间是
14、点 P 是曲线 xxy ln2 上任意一点, 则点P 到直线 2 xy 的距离的最小值是
15、已知直线 1l 为曲线 22 xxy 在点 (0, 2) 处的切线， 2l 为该曲线的另一条切线，且
21 ll
奎屯
王新敞
新疆 （Ⅰ）求直线 2l 的方程；（Ⅱ）求由直线 1l 奎屯
王新敞
新疆 2l 和 x轴所围成的三角形的面积
16、设函数
.;
1
1
)( Ra
x
ax
xf
其中
（Ⅰ）当 时，1a 求函数满足 1)( xf 时的 x 的集合；
（Ⅱ）求 a 的取值范围，使 f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数 奎屯
王新敞
新疆
17、设函数 f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1)
(Ⅰ)求导数 f (x);
(Ⅱ)若不等式 f(x1)+ f(x2)0 成立，求 a 的取值范围 奎屯
王新敞
新疆
18、已知 cxbxaxxf 2)( 23
在 2x 时有极大值 6，在 1x 时有极小值，求 cba ,,
的值；并求 )(xf 在区间[－3，3]上的最大值和最小值.
19、设函数 Rxxxxf ,56)( 3
（Ⅰ）求 )(xf 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于 x 的方程 axf )( 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围.
（Ⅲ）已知当 )1()(,),1( xkxfx 时 恒成立，求实数 k 的取值范围.
选修 1-1 选修 1-1 综合测试
1．已知命题甲：
0)( 0 xf
，命题乙：点 0x
是可导函数 )(xf 的极值点，则甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分而不必要条件
2、已知椭圆的焦点为
1 1,0F
和
2 1,0F
，点 P 在椭圆上的一点，且 1 2F F
是 1 2PF PF和
的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）
A、
2 2
1
16 9
x y
B、
2 2
1
16 12
x y
C、
2 2
1
4 3
x y
D、
2 2
1
3 4
x y
3、已知 4|| AB ，点 P 在 A、B 所在的平面内运动且保持 6|||| PBPA ，则 || PA
的最大
值和最小值分别是 ( )
A． 5 、3 B．10、2 C．5、1 D．6、4
4、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A、
3
2 B、
3
4 C、
2
2 D、
1
2
5．双曲线 x2－ay2＝1 的焦点坐标是 （ ）
A．( a1 , 0) , (－ a1 , 0) B．( a1 , 0), (－ a1 , 0)
C．（－ a
a 1
, 0）,（ a
a 1
, 0） D．(－ a
a 1
, 0), ( a
a 1
, 0)
6、若双曲线
2 2
2 2
1
x y
a b
与
2 2
2 2
1 0
x y
a b
a b
的离心率分别为 1 2,e e
，则当 ,a b变化
时，
2 2
1 2e e
的最小值是（ ）
A．4 2 B．4 C．2 2 D．3
7.曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 的坐标可能是( )
A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)
8. 函数 x
ax
xf
1
)(
2
在区间 ),0( 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是（ ）
A． 0a B． 0a C． 0a D． 0a
9、方程 x3－6x2+9x－10=0 的实根个数是 （ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
10．已知函数 f(x)的导函数
)(' xf
的图像如左图所示，那么函数 f(x)的图像最有可能的是( )
11．命题
2
, 3 0x R x x
的否命题是 .
12．已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立
的 条件。（填“充分不必要”“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要” ）
13．若方程
1
14
22
t
y
t
x
所表示的曲线为 C，给出下列四个命题：
①若 C 为椭圆，则 14 或 t<1；
③曲线 C 不可能是圆； ④若 C 表是椭圆，且长轴在 x 轴上，则 2
3
1 t
.其中真命
题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）
14．函数 y= xx ln23 2 的单调增区间是 ，减区间是 .
15．求与椭圆
2 2
1
144 169
x y
有共同焦点，且过点
0,2
的双曲线方程，并且求出这条双曲
线的实轴长、焦距、离心率。
16．设椭圆方程为 4
2
2 y
x
=1，过点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 为坐标原
点，点 P 满足
)(
2
1
OBOAOP
，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程.
17．设 f(x)=x3- 2
1
x2-2x+5
（1）求函数 f(x)的单调区间。（2）求极值点与极值。
18．已知椭圆
2 2
2 2
1 0
x y
a b
a b
的离心率
6
3
e
，过点
0,A b
和
,0B a
的直线与原点的距离为
3
2 。
⑴求椭圆的方程；
⑵已知定点
1,0E
，若直线
2 0y kx k
与椭圆交于C D、 两点，问：是否存在
k 的值，使以CD为直径的圆过 E 点？请说明理由。
参考答案
第 3 章 导数及其运用
§3.1 导数概念及其几何意义
经典例题：解：∵y=|x|，∴x>0 时，y=x，则
1
)(
x
xxx
x
y
奎屯
王新敞
新疆∴ 0
lim
x x
y
=1．
当 x<0 时，y=－x，
1
)()(
x
xxx
x
y
，∴ 0
lim
x
1
x
y
．
∴y′=
0 1-
0 1
x
x
．
当堂练习：
1.C; 2.D; 3.C; 4.A; 5.A; 6.B; 7.B; 8.B; 9.C; 10.B; 11.常数函数; 12.arctan 3
4
; 13.(a+b)f′(x);
14. 10 m/s;
15. 分析：Δ s 即位移的改变量，Δ t 即时间的改变量， t
s
即平均速度，当Δ t 越小，求出
的 t
s
越接近某时刻的速度．
解：∵ t
ttt
t
tstts
t
s
)32(3)(2)()( 22
=4t+2Δ t
∴(1)当 t=2，Δ t=0.01 时， t
s
=4×2+2×0.01=8.02 cm/s
(2)当 t=2，Δ t=0.001 时， t
s
=4×2+2×0.001=8.002 cm/s
(3)v=
00
limlim
tt t
s
(4t+2Δ t)=4t=4×2=8 cm/s．
16. 解：(1)k= x
x
x
fxf
xx
22
00
12)1(2
lim
)1()1(
lim
4)24(lim
)(24
lim
0
2
0
x
x
xx
xx
．∴点 A 处的切线的斜率为 4．
(2)点 A 处的切线方程是 y－2=4(x－1)即 y=4x－2
17. 解：
0
lim
x x
fxf
)0()0(
=
0
lim
x x
xx
2)(
=
0
lim
x (Δ x+1)=1
0
lim
x x
fxf
)0()0(
=
0
lim
x
a
x
bxa 1
0
lim
x x
b
1
若 b≠1,则
0
lim
x x
fxf
)0()0(
不存在
∴b=1 且 a=1 时，才有 f(x)在 x=0 处可导
∴a=1,b=1．
18．解：f′(1)= 1
lim
x 1
)1()(
x
fxf
= 1
lim
x )()2)(1(
)()3)(2(
nxxx
nxxx
= )1()21)(11(
)1()31)(21(
n
n
= )1(
)1( 1
nn
n
．
§3.2 导数的运算
经典例题：解:∵y'=
22
2
22
22
)1(
1
)1(
21
x
x
x
xx
, y'|x=0=1,∴tanθ=1,θ= 4
π
为所求倾斜角.
当堂练习：
1.C; 2.C; 3.A; 4.D; 5.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.C; 10.C; 11. y=1; 12. 2sinx+xcosx; 13. cosx－
xsinx+ x
xxx
2sin
cossin
;14. x
xx
2
22
sin
cossin
;
15. 解:∵y'=6x2－6x+6,∴y'|x=1=6, y'|x=－1=18. 设夹角为 α, 则 tanα=| 21
21
1 kk
kk
|= 109
12
,
∴α=arctan109
12
.
16. 解:∵f（x）=x3－x2,∴f'（x0）=3x02－2x0. 由 f'（x0）=f（x0）,得 3x02－2x0=x03－
x02,
即 x03－4x02+2x0=0. 所以 x0=0 或 x0=2± 2 .
17. 解:∵y'=（ x
x
21
32 2
）'=
2
2
)21(
2)32()21(6
x
xxx
=
2
2
)21(
466
x
xx
,∴y'|x=1=－ 9
16
.
18. 解:∵y= xx
1
2
1
2
= x
x
x
x
1
)1(2
1
)1(2
= x1
4
, ∴y'=
2)1(
4
x
.
§3.3 导数在研究函数中的应用
经典例题：解：(1)
.bx2)x(g,ax6)x(f 2
由题意得:
.16c
,4b
,8a
,0cb4
,0a216
,b4a24
,0)2(g
,0)2(f
),2(g)2(f
(2) 由(1)得 16x4)x(g,x8x2)x(f 23 16x8x4x2)x(F 23
．8x8x6)x(F 2 由 ,08x8x6 2 得: 2x 或
．
3
2
x
)x(F 的递增区间是
),
3
2
(),2,(
;
)x(F 的递减区间是
)
3
2
,2(
.
当堂练习：
1.D; 2.B; 3.D; 4.B; 5.C; 6.A; 7.C; 8.C; 9.D; 10.C; 11.
8
3 ; 12.
4 1y x
; 13.
4 4 7 0x y
;14.-3;
15. 解: (1)
.9x6x3)x(f 2
令 1x0)x(f
或 ,3x
所以函数 )x(f 的单调递减区间为 )1,(
,
),3(
.
(2) 因为 ,a2a18128)2(f
,a22a18128)2(f
所以 )2(f)2(f
. 因为在 )3,1( 上 0)x(f
, 所以 )x(f 在 ]2,1[ 上单调递增, 又由于
)x(f 在 ]1,2[ 上单调递减, 因此 )2(f 和 )1(f 分别是 )x(f 在区间 ]2,2[ 上的最大值
和
最小值, 于是有 2a20a22 . 故 ,2x9x3x)x(f 23
因此 72931)1(f
, 即函数 )x(f 在区间 ]2,2[ 上的最小值为 7 .
16. 解: (1) 由 )x(f 的图象经过 P
)2,0(
,知 2d , 所以 ,2cxbxx)x(f 23
cbx2x3)x(f 2
.即 .6)1(f,1)1(f
由在 ))1(f,1(M 处的切线方程是 07yx6
, 知
07)1(f6
,
3c
3b
12cb1
6cb23
故所求的解析式是
.2x3x3x)x(f 23
(2)
.3x6x3)x(f 2
令 ,03x6x3 2 即 .01x2x 2
解得
.21x,21x 21
当 ;0)x(f,21x,21x 时或
当 .0)x(f,21x21 时
故 2x3x3x)x(f 23 在 )2,( 内是增函数, 在 )21,21( 内是减函数,
在 ),21( 内是增函数.
17. 解: (1)
bx2ax3y 2
当 1x 时, y 的极值为 3.
23 x9x6y
9b
6a
3ba
0b2a3
.
(2) 令 1x00x18x18y 2
令 1x0x18x18y 2 或 0x
y 在 )1,0( 上为单调增函数;
y 在 ),1(),0,( 上为单调减函数.
18. 解:
,2xx3)x(f 2
令 ,0)x(f
得 3
2
x
或 1x .
∵当 3
2
x
或 1x 时,
,0)x(f
∴ )x(fy 在
)
3
2
,(
和 ),1( 上为增函数,
在
)1,
3
2
(
上为减函数, ∴ )x(f 在 3
2
x
处有极大值, 在 1x 处有极小值.
极大值为 27
22
5)
3
2
(f
, 而 7)2(f
, ∴ )x(f 在 ]2,1[ 上的最大值为 7.
若对于任意 x
]2,1[ 都有 m)x(f 成立, 得 m 的范围 7m .
§3.4 生活中的优化问题
经典例题： 分析 本题考查导数的应用及利用导数知识解决实际问题的能力.
解 由于瓶子的半径为 r,所以每瓶饮料的利润是
y=f(r)=0.2× 3
4
π r3-0.8π r2=0.8π ( 3
2r
-r2),00.
因此,当半径 r>2 时,f′(r)>0,它表示 f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径 r<2 时,f′(r)<0,
它表示 f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为 6 cm 时,利润最大.
(2)半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利
润是负值.
当堂练习：
1.A; 2.A; 3.C; 4.C; 5.A; 6.D; 7.A; 8.A; 9.B; 10.D; 11. 7; 12. ( 2
1
,+∞); 13. (0, 3
3
);14. 11;
15. 解 ∵函数 y=ax 与 y=- x
b
在区间（0，+∞)上是减函数，
∴a<0,b<0.
由 y=ax3+bx2+5,得 y′=3ax2+2bx .
令 y′>0，即 3ax2+2bx>0,∴ a
b
3
2
0.
因此当 x∈(-∞, a
b
3
2
)时，函数为减函数;
x∈(0,+∞)时，函数也为减函数.
16. 分析 本题考查导数的几何意义及利用导数知识解决实际问题的能力.
解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,
b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0,
b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,
即细菌在 t=5 与 t=10 时的瞬时速度分别为 0 和-10 000.
(2)由-2 000t+10 000>0,得 t<5,
由-2 000t+10 000<0,得 t>5,
即细菌在 t∈(0,5)时间段数量增加,在 t∈(5,+∞)时间段数量减少.
17. 分析 本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能
力.求函数在闭区间的最值,只需比较导数为零的点与区间端点处的函数值的大小即可.
解 (1)由原式得 f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴f′(x)=3x2-2ax-4.
(2)由 f′(-1)=0,得 a= 2
1
.
此时有 f(x)=(x2-4)(x- 2
1
),
∴f′(x)=3x2-x-4.
由 f′(x)=0,得 x= 3
4
或 x=-1.
又 f( 3
4
)=- 27
50
,f(-1)= 2
9
,f(-2)=0,f(2)=0,
∴f(x)在［-2,2］上的最大值为 2
9
,最小值为 27
50
.
18. 分析 在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等
问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的
求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内
进行.
解法一 设相同的时间内,生产第 x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润 y 最大.
依题意,得 y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］
=-6x2+108x+378
=-6(x-9)2+864(1≤x≤10),
显然,当 x=9 时,ymax=864(元),
即在相同的时间内,生产第 9 档次的产品的总利润最大,最大利润为 864 元.
解法二 由上面解法得到 y=-6x2+108x+378.
求导数,得 y′=-12x+108.
令 y′=-12x+108=0,
解得 x=9.因为 x=9∈［1,10］,y 只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第
9 档次的产品利润最大,最大利润为 864 元.
§3.5 导数及其运用单元测试
1.B; 2.D; 3.B; 4.D; 5.B; 6.C; 7.B; 8.A; 9.C; 10.D; 11. 5 ; 12.
)1,0(
; 13. e2
1
;14. 2
1
;
15、(I)解：
3 2( ) 3 , '( ) 3 3 3( 1)( 1).f x x x f x x x x
令
'( ) 0,f x 得 1, 1.x x
若
( , 1) (1, ) ,x 则 '( ) 0f x ，
故 ( )f x 在 ( , 1) 上是增函数， ( )f x 在 (1, ) 上是增函数 奎屯
王新敞
新疆
若
( 1, 1) ,x 则 '( ) 0f x ，故 ( )f x 在 ( 1,1) 上是减函数 奎屯
王新敞
新疆
(II)
( 3) 18, ( 1) 2, (1) 2, (2) 2f f f f
3 ( ) 18.x f x 当 时， 在区间[-3,2]取到最小值为
1 2 ( ) 2.x f x 当 或 时， 在区间[-3,2]取到最大值为
奎屯
王新敞
新疆
16、解：（Ⅰ）当 时，1a 1)( xf 1
1
1
x
x
,化为
0
1
2
x ,01 x 1x即：
故，满足（Ⅰ）条件的集合为
1xx
奎屯
王新敞
新疆
（Ⅱ）
22
'
)1(
1
)1(
)1()1(
)(
x
a
x
axxa
xf
要使 f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，必须 0)(' xf ，
即 1a ，但 1a 时， )(xf 为常函数，所以 1a
17、.解:（I） .)1(23)( 2 axaxxf
（II）因 故得不等式,0)()( 21 xfxf
.0)(]2))[(1(]3))[((
.0)())(1(
2121
2
2121
2
2121
21
2
2
2
1
3
2
3
1
xxaxxxxaxxxxxx
xxaxxaxx
即
又由（I）知
.
3
),1(
3
2
21
21
a
xx
axx
代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得
.0)()(,2,
)(
2
1
2
.0252
21
2
成立不等式时当因此
舍去或解不等式得
xfxfa
aa
aa
18、.解：（1） ,223)( 2 bxaxxf 由条件知
.
3
8
,
2
1
,
3
1
.6448)2(
,0223)1(
,02412)2(
cba
cbaf
baf
baf
解得
（2）
,2)(,
3
8
2
2
1
3
1
)( 223 xxxfxxxxf
x －3 (－3,－2) －2 (－2,1) 1[来源:学#科#网 Z#X#X#K] (1,3) 3
)(xf
＋ 0 － 0 ＋
)(xf
6
1
4
↗ 6 ↘
2
3
↗
6
1
10
由上表知，在区间[－3，3]上，当 3x 时，
,
6
1
10max f
1x 时，
.
2
3
min f
19、解:（Ⅰ） 2,2,0)(),2(3)( 21
2 xxxfxxf 得令
∴当 0)(,22,0)(22 xfxxfxx 时当时或 ，
∴ )(xf 的单调递增区间是 ),2()2,( 及 ，单调递减区间是 )2,2(
当 245)(,2 有极大值xfx ；当 245)(,2 有极小值xfx
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知 )(xfy 图象的大致形状及走向（图略）
∴当 )(,245245 xfyaya 与直线时 的图象有 3 个不同交点，
即方程 )(xf 有三解（
（Ⅲ） )1()5)(1()1()( 2 xkxxxxkxf 即
∵ ),1(5,1 2 在xxkx 上恒成立
令 5)( 2 xxxg ，由二次函数的性质， ),1()( 在xg 上是增函数，
∴ ,3)1()( gxg ∴所求 k 的取值范围是 3k
选修 1-1 综合测试
1.B; 2.C; 3.D; 4.A; 5.C; 6.B; 7.C; 8.A; 9.C; 10.A; 11.
03, 2 xxRx
; 12. 充分不必
要; 13. （2）;14.
,
3
3
3
3
,0
;
15.
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
1 0 5
144 169
1 0,
25 4 21
1
4 21
4 10
x y
y x
a b o
a b
a
b
y x
椭圆 的焦点是 ，- 、0，5 ，焦点在y轴上
设双曲线的方程为
又因为双曲线过点 0，2 ，把这个点代入方程可得 ＝4
＝ ＝
所以双曲线的方程为
双曲线的实轴长为 ，焦距为 ，离心率为2.5
16(1)在
3
2
,
,1 上为单调递增区间,在
1,
3
2
上为单调递减区间.
(2)x=1 时,y= 2
7
,x= 3
2
时,y= 27
157
17．解：设 P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线 l 的方程为 y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
1
044 22
kxy
yx
得：（4+k2）x2+2kx－3=0， x1+x2=－
,
4
2
2k
k
y1+y2=
24
8
k ，
由
)(
2
1
OBOAOP
得：（x，y）= 2
1
（x1+x2，y1+y2），
即：
2
21
2
21
4
4
2
42
k
yy
y
k
kxx
x
消去 k 得：4x2+y2－y=0
当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程所以动点 P 的轨迹方程为：4x2+y2－
y= 0。
18.
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
1 2 2
1 1 2 2
1 2 2
0
6
3
3, 1
3
2
1
3
2
2
1 3 12 9 0
3 3 0
12 36 1 3 0 1
12
1 3
, , , ,
9
1 3
AB bx ay ab
c
a
a b
ab
a b
x
y
y kx
k x kx
x y
k k
k
x x
k
C x y D x y
x x
k
1 直线 方程为
依题意可得：
解得：
椭圆的方程为
假设存在这样的值。
由 得
设 则
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
2 2 2 4
1
1 1
1 1 0
1 2 1 5 0 3
y y kx kx k x x k x x
CE DE
y y
x x
y y x x
k x x k x x
k
k
k
而 ＝ ＝
要使以CD为直径的圆过点E －1，0 ，当且仅当 时
则
即 ＝
7
将 2 代入 3 整理得 ＝
6
7
经验证 ＝ 使得 1 成立
6
7
综上可知，存在 ＝ 使得以CD为直径的圆过点E
6
