陕西省延安市黄陵中学高新部2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题
高新部高二数学（文）中期试题
一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)
1.命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是()
A. 若x2>1，则－1≤x≤1 B. 若－1≤x≤1，则x2≤1
C. 若－1
1 D. 若x<－1或x>1，则x2>1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据逆否命题的改写原则进行改写，先逆后否即可
【详解】命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是“若－1≤x≤1，则x2≤1”，要注意两点，一是否定时的双否，二是逻辑连接词“或”要改成“且”
答案选B
【点睛】本题考查原命题改成逆否命题的方法，相对基础，逆否命题关键在于同时否定条件和结论
2.已知,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．
【详解】x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；
∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；
但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”必要条件．
故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
3.命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是()
A. (0，－3) B. (1,2) C. (1，－1) D. (－1,1)
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可知，联立直线与曲线方程，解点坐标即可
【详解】联立，可得或
答案选C
【点睛】本题考查求解直线与曲线交点的一般方法，联立求解即可
4.已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是()
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
结合椭圆第一定义列出|MF1|+|MF2|＝4，联立求解|MF1|和|MF2|，再判断△MF1F2三边关系即可
【详解】由题可知，解得，又因，，所以△MF1F2为直角三角形
答案选B
【点睛】本题考查椭圆的基本性质，结合第一定义解题往往是圆锥曲线解题优先考虑的步骤
5. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+=4,
∴xP=3,yP==2,
因此S△POF=×2×=2.故选C.
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6.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为()
A. (－，0) B. (－，0) C. (－，0) D. (－，0)
【答案】C
【解析】
【分析】
将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解
【详解】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(－，0)
答案选C
【点睛】本题考查双曲线的标准式的化简和双曲线系数的关系式，
7.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为 ( )．
A. 4 B. 16
C. 8 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由切点坐标，令，即可得到切线的斜率.
【详解】由可得，
根据导数的几何意义可得，
在点处的切线斜率为，故选C.
【点睛】本题主要考查幂函数的求导公式以及利用导数的几何意义求切线斜率，属于简单题.
8.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有
也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，
对于B 存在使，对于C 对任意的a＜x1＜x2＜b，都有
，对于D 对任意的x∈[a，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A．
考点：单调性与导函数的关系.
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9.设则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由，得.
故选D.
10.若函数在时取得极值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又函数时取得极值，
所以，解得.
故选D
【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
11.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( )
A. (－∞，－1]和[0,1] B. [－1,0]和[1，＋∞)
C. [－1,1] D. (－∞，－1]和[1，＋∞)
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，研究导函数的正负,求使得导函数小于零的自变量的范围，进而得到单调区间.
【详解】y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1).
故答案为：A.
【点睛】这个题目考查了利用导数求函数的单调区间，对函数求导，导函数大于0，解得函数单调增区间；导函数小于0得到函数的减区间；注意函数的单调区间一定要写成区间的形式.
12.函数在区间[－1，1]上的最大值是（ ）
A. 4 B. 2 C. 0 D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.
【详解】令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.
【点睛】本小题主要考查函数在闭区间上的最大值和最小值问题，考查导数的运算，属于基础题.
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.下列特称命题是真命题的序号是__________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0，使＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①面积相等三角形不一定相似，①对；②判断判别式，命题错误；③a为斜率，大于0即可
④都可以
【详解】三角形面积相等，只需满足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①对
＋x0＋1对应的判别式为，则＋x0＋1>0恒成立，②错
要使函数y＝ax＋b为增函数，即可，③对
设实数为，则，④对
答案选①③④
【点睛】本题考查特称命题真假的判断，特称命题的特点为，只要有一个符合命题的形式出现，则命题就成立
14.曲线在点处的切线方程为________.
【答案】或.
【解析】
试题分析：，，故所求的切线的斜率为，
故所求的切线的方程为，即或.
考点：本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于中等题.
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15.已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是____________。
【答案】（4，2）
【解析】
设，由得到也就是，所以 ，故，因此中点坐标为.
点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，通常联立方程，通过韦达定理去处理与两根之和、两根之积相关的代数式或相关问题.
16.有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，画出图形，列出对应表达式，用求导法求解即可
【详解】
如图所示，则折叠后的长方体长为，宽为，高为，体积，，则，
令解得，舍去，则当时，，单调递增
当时，，单调递减，所以体积在处取到最大值
要使容积最大，则
【点睛】本题考查利用导数求解函数最值问题，属于基础题型，函数的最值一般是在极值点或函数的端点处取到，如果只有一个极值点，则该极值点一定是最值点
三、解答题(共6小题,第17题10分，其余每小题12.0分,共70分)
17.已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】[3，＋∞)
【解析】
【分析】
先将命题转化，p是q的一个充分不必要条件，分别化简命题p和命题q
，在根据包含关系求解
【详解】由3x＋m<0得，x<－.∴p：A＝.
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p⇒q而qp，∴A是B的真子集，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
【点睛】本题考查根据充分不必要条件求解参数问题，当两命题是以集合形式出现，都跟范围有关，则可简记为：p是q的一个充分不必要条件，可帮助我们快速解题
18.如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程．
【答案】x2－＝1(x≤－1)
【解析】
【分析】
根据题意，设圆P的半径为R，分别表示出|PF|与|PE|的长，通过分析两条线段的代数关系，再结合圆锥曲线的基本定义，进而求得圆心P的轨迹方程
【详解】由已知，圆E半径为r＝2，设圆P的半径为R，
则|PF|＝|PM|＝R，|ME|＝r＝2，|PE|＝|PM|－|ME|＝R－2，
所以|PF|－|PE|＝2.
由双曲线的定义知，P的轨迹为双曲线的左支，
因为a＝1，c＝2，所以b＝，
所以，所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
【点睛】本题考查圆锥曲线轨迹方程的求法，以圆为载体，内切为切入点，结合大圆与小圆的半径关系，同时结合了圆锥曲线第一定义，从几何的角度求出了轨迹方程，相比于纯代数运算降低了解题难度
19.已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)．
(1)求这个椭圆的标准方程；
(2)如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．
【答案】（1）＋＝1.（2）(－，)
【解析】
【分析】
（1）根据短轴长求出，由焦点坐标求出，根据a2＝b2＋c2算出，即可求得椭圆的标准方程
（2）要使椭圆与直线有两不同交点等价于联立求解后，关于的一元二次方程判别式大于0，联立求解参数即可
【详解】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵2b＝2，c＝1，∴b＝，a2＝b2＋c2＝4.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)联立方程组消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0.
若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m2－12)＞0，
即m2＜7，解得－＜m＜.
即m的取值范围是(－，)．
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的交点个数求参问题，相对比较基础，直线与椭圆的交点个数常化为求判别式问题，这也是解析几何中最基础也最为传统的方法，必须掌握
20.求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
【答案】f(x)有极大值10,f(x)有极小值－22
【解析】
【分析】
先求导，列出三联表，根据导数正负区间来判断原函数增减性，确定极值点，求出极值即可
详解】f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可知：当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝10.
当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22
所以f(x)极大值f(－1)＝10.f(x)极小值f(3)＝－22
【点睛】本题考查函数极值的求法，常规步骤为：先求导，再令导数为0，分别判断导数为零左右两侧导数的正负情况，根据正负情况表示出原函数的上升和下降趋势，列出三联表，分析表格数据，判断导数为0的点哪些是极大值，哪些是极小值，算出对应数值即可
21.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
【答案】解：设版心的高为，则版心的宽为，此时四周空白面积为：
可求得当版心高为，宽为，海报四周空白面积最小.
【解析】
试题分析：
首先设出高,根据面积可用高将宽表示出来,然后设出空白面积,用高和宽将其表示出来,同时注意高的范围.而后利用导数法判断单调性,可得最值.
试题解析:
设版心的高为，则版心的宽为.
此时四周空白面积为
求导数得：
令，解得(舍去)
于是宽为
当时，；当时，
因此，x＝16是函数极小值点，也是最小值点。
所以当版心高为，宽为时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为，宽为时，海报四周空白面积最小。
考点：导数法求最值;实际应用问题.
22.过点(0,4)，斜率为－1直线与拋物线y2＝2px(p＞0)交于两点A，B，如果OA⊥OB(O为原点)，求拋物线的标准方程及焦点坐标．
【答案】拋物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)
【解析】
【分析】
根据题设条件求出直线的点斜式方程，再联立直线与抛物线方程，求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再根据OA⊥OB，可先设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据向量垂直的坐标运算可得x1x2＋y1y2＝0，结合所求韦达定理，整体代换，即可求解参数p，进而求得抛物线标准方程
【详解】直线方程为y＝－x＋4.
由消去y得x2－2(p＋4)x＋16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，Δ＝4(p＋4)2－64＞0.
所以y1y2＝(－x1＋4)(－x2＋4)＝－8p.
由已知OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，从而16－8p＝0，解得p＝2.
所以拋物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．
【点睛】本题考查的是由直线与抛物线的位置关系反求抛物线标准方程，点斜式求直线，由两线段垂直表示出x1x2＋y1y2＝0，由抛物线的韦达定理求解参数，解题思路非常明亮，对直线与圆锥曲线的基本求法也做了核心考查，这些都是我们在学习圆锥曲线中必须要掌握的方法
