数学理卷·2018届云南省玉溪一中高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届云南省玉溪一中高二上学期期末考试（2017-01）

保密★启用 ‎ 玉溪一中2016——2017学年上学期高二年级期末考 理科数学试卷 ‎ 命题：吴志华 本试卷分共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题：总分：60分，共12题(每小题5分) .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（　　）‎ A． B． C． D. 不确定 ‎ ‎3. 圆的圆心到直线的距离为1，则=（ ）‎ ‎ A. B. C. D. 2 ‎ ‎4. 已知函数在区间上有零点，‎ 则实数的取值范围为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C. D． ‎ ‎5. 执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n= （　　）‎ A．3 B．4 ‎ C．5 D．6‎ ‎6. 已知，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 函数在区间上的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎8. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β； ②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；‎ ‎③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n 其中正确的命题是（　　）‎ A．①② B．①③ C．①④ D．③④‎ ‎9. 下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ B．“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件 C．命题“，使得”的否定是：“，均有”‎ D．命题“已知为一个三角形两内角，若，则”的否命题为真命题 ‎10. 如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A．4 B． ‎ C． D．8‎ ‎11. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 椭圆与直线交于P、Q两点，且，其中为坐标原点．若，则取值范围是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：总分：20分，共4题(每小题5分)‎ ‎13. 已知满足约束条件则 的最小值为__________.‎ ‎14. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则__________.‎ ‎15. 若正数，满足，则的最小值为_________.‎ ‎16. 已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则此三棱柱的体积为 。‎ 三、解答题：总分：70分，共6题(第17题，为10分; 第18、19、20、21、22题，为12分)‎ ‎17. （本题满分10分）‎ 在直角坐标系xOy中, 直线过点P, 且倾斜角为, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 半径为4的圆C的圆心的极坐标为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的参数方程和圆C的极坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）试判定直线和圆C的位置关系．‎ ‎18. （本题满分12分）‎ 已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间； ‎ ‎（Ⅱ）内角、、的对边长分别为、、，若 且，试求和．‎ ‎19. （本题满分12分）‎ 已知数列是公差不为零的等差数列，其前n项和为．满足，且恰为等比数列的前三项．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式 ‎（Ⅱ）设是数列的前n项和．是否存在，使得等式成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；‎ ‎（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M，N两名学生的考试成绩在区间 ‎[60,70)内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；‎ ‎（Ⅲ）试估计样本的中位数与平均数。‎ ‎（注：将频率视为相应的概率）‎ ‎21. （本题满分12分）‎ 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点，AP=1，AD=。‎ ‎（I）证明：PB// 平面AEC;‎ ‎(II)求二面角P—CD—B的大小;‎ ‎(Ⅲ)设三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离。‎ ‎22. （本题满分12分）‎ 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）已知点的坐标为，若过和两点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线与 轴交于一定点．‎ 玉溪一中2016——2017学年上学期期末考试高二理科数学试题 一、选择题：总分：60分，共12题(每小题5分)‎ ‎1. 解析：，故选A.‎ ‎2. 解析：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率．故选B ‎3. 解析：圆心为，由解得=，故选A.‎ ‎4. 解析：由图象知，只需，解得，故选D.‎ ‎5. 解析：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．则输出的n=4故选B．‎ ‎6. ‎ ‎7. 解析：, .当时，，，所以当时，函数的最小值为，选B．‎ ‎8. 解析：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，故正确；‎ ‎②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m⊂β，故错误；‎ ‎③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；‎ ‎④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n，故正确 故选：C ‎9. 解析：三角形中，故选D.‎ ‎10. 解析：将几何体补成一个放倒的直三棱柱求解。选C.‎ ‎11. 解析：因为函数为偶函数，所以，即，所以 所以，故选C.‎ ‎12. 解析：设，联立，‎ 化为：，，化为：．∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．化为．‎ ‎∴．∵，得 ∴，‎ 化为．解得：．满足△＞0．∴取值范围是．故选C．‎ 二、填空题：总分：20分，共4题(每小题5分)‎ ‎13. 2‎ ‎14. 解析：由得，又，故答案为.‎ ‎15. 解析：，当且仅当时取等号。‎ 所以的最小值为3.‎ ‎16. 解析：球的半径为，三棱柱棱长为，体积为.‎ 三、解答题：总分：70分，共6题(第17题，为10分; 第18、19、20、21、22题，为12分)‎ ‎17. （1）由已知得, 直线l的参数方程是 （t为参数）‎ 圆心C的直角坐标为（0, 4）.∴圆C的直角坐标方程为x2+（y-4） 2=16‎ 由得圆C的极坐标方程是ρ=8sin θ ‎（2）∵圆心的直角坐标是（0, 4） , 直线l的普通方程是x-y-5-=0‎ ‎∴圆心到直线l的距离∴直线l和圆C相离 ‎18. 解：（Ⅰ）∵‎ ‎ ∴故函数的递增区间为 ‎ （Ⅱ），∴‎ ‎ ∵，∴，∴，即 　‎ 由正弦定理得：，∴， ∵，‎ ‎∴或． 当时，；当时，．（不合题意，舍）‎ ‎ 所以,． ‎ ‎19. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，所以，‎ ‎ 解得， 所以 ． ．‎ ‎（Ⅱ）,‎ 所以，‎ 所以,单调递减，得，而，‎ 所以不存在，使得等式成立．‎ ‎20. 解（I）估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为0.85‎ ‎ (Ⅱ)从这5名学生代表中任选两人的所有选法共有10种,分别为:AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN,代表M,N至少有一人被选中的选法共7种,分别为:AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN 设”学生代表M,N至少一人被选中”为事件D,P(D)=‎ ‎∴学生代表M,N至少一人被选中的概率为 ‎ ‎(Ⅲ)样本的中位数为，平均数为76.5. ‎ ‎21. （I）设AC的中点为G, 连接EG。在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC.‎ ‎(II) 是二面角P—CD—B的平面角，为.‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎22. 【解析】（1）抛物线的焦点为，故可设直线的方程为，由，得，设，则，∴，由，可得．∴抛物线的方程为．‎ ‎（2）依题意，直线与轴不垂直，∴．∴直线的方程可表示为，① ∵抛物线的准线方程为，②‎ 由①，②联立方程组可求得的坐标为，由（1）可得，‎ ‎∴的坐标可化为，∴，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 令，可得，∴直线与轴交于定点．‎