2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练6+函数的奇偶性与周期性

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练6+函数的奇偶性与周期性

课时分层训练(六)　函数的奇偶性与周期性 ‎ (对应学生用书第177页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2016·广东肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是(　　)‎ ‎ A．3 B．2　　　　　‎ ‎ C．1　　　　　 D．0‎ ‎ B　[y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，故选B.]‎ ‎2．函数y＝log2的图像(　　)‎ ‎ A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称 ‎ C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 ‎ A　[由＞0得－1＜x＜1，即函数定义域为(－1,1)，‎ ‎ 又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，‎ ‎ ∴函数y＝log2为奇函数，故选A.]‎ ‎3．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝(　　)‎ ‎ A．－2 B．－1 ‎ ‎ C．0 D．2‎ ‎ D　[由题意知当x>时，f＝f，‎ ‎ 则f(x＋1)＝f(x)．‎ ‎ 又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]‎ ‎4．(2018·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上是减少的，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　　)‎ ‎ A．f(2)＞f(3) B．f(2)＞f(5)‎ ‎ C．f(3)＞f(5) D．f(3)＞f(6)‎ ‎ D　[由题意知函数f(x)的图像关于直线x＝4对称，又函数f(x)在(4，＋∞)上是减少的，从而f(3)＞f(6)．]‎ ‎5．(2018·深圳模拟)已知f(x)＝，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是(　　)‎ ‎ A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数 ‎ B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数 ‎ C．h(x)＝是偶函数 ‎ D．h(x)＝是奇函数 ‎ D　[A.h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋|x－2|＝＋2－x，x∈[－2,2]．‎ ‎ h(－x)＝＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．‎ ‎ B．h(x)＝f(x)·g(x)＝|x－2|＝(2－x)，x∈[－2,2]．‎ ‎ h(－x)＝(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．‎ ‎ C．h(x)＝＝，x∈[－2,2)，不关于原点对称，是非奇非偶函数．‎ ‎ D．h(x)＝＝，x∈[－2,0)∪(0,2]，是奇函数．故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·成都模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________.‎ ‎ －2　[由题意得f＝f＝－f＝－4＝－2，f(2)＝f(0)＝0，所以f＋f(2)＝－2.]‎ ‎7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝________. ‎ ‎【导学号：00090023】‎ ‎ －2　[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.]‎ ‎8．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．‎ ‎ 1　[由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.‎ ‎ ∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x ‎)＝，求f(x)的表达式．‎ ‎ [解]　在f(x)＋g(x)＝中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，‎ ‎ 又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，‎ ‎ 所以－f(x)＋g(x)＝，‎ ‎ 联立方程 ‎ 两式相减得f(x)＝＝.‎ ‎10．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.‎ ‎ (1)求f(1)和f(－1)的值；‎ ‎ (2)求f(x)在[－1,1]上的解析式. 【导学号：00090024】‎ ‎ [解]　(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，‎ ‎ ∴f(1)＝f(2－1)＝f(－1)＝－f(1)，‎ ‎ ∴f(1)＝0，f(－1)＝0.‎ ‎ (2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．‎ ‎ 由f(x)是奇函数，‎ ‎ ∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－，‎ ‎ 综上，在[－1,1]上，f(x)＝ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·石家庄模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(－8)＝(　　)‎ ‎ A．－2 B．－3‎ ‎ C．2 D．3‎ ‎ A　[当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log3(1－x)，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－log3(1－x)，即g(x)＝－log3(1－x)，x＜0.‎ ‎ 故g(－8)＝－log3[1－(－8)]＝－log39＝－2.故选A.]‎ ‎2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．‎ ‎ －10　[因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，‎ ‎ 所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①‎ ‎ 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②‎ ‎ 由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝是奇函数，‎ ‎ (1)求实数m的值；‎ ‎ (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．‎ ‎ [解]　(1)设x＜0，则－x＞0，‎ ‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ ‎ 又f(x)为奇函数，‎ ‎ 所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ ‎ 所以m＝2.‎ ‎ (2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增加的，‎ ‎ 要使f(x)在[－1，a－2]上是增加的．‎ ‎ 结合f(x)的图像知 ‎ 所以1＜a≤3，‎ ‎ 故实数a的取值范围是(1,3]．‎