【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版6-2等差数列及其前n项和学案
§6.2 等差数列及其前n项和
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考情考向分析
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.难度中低档.
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3.等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列.那么A叫做x与y的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列.
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.
(7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d.
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
概念方法微思考
1.“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？
提示 充要条件.
2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定.当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数.
3.如何推导等差数列的前n项和公式？
提示 利用倒序相加法.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ )
(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.( √ )
题组二 教材改编
2.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A.31 B.32 C.33 D.34
答案 B
解析 由已知可得
解得 ∴S8＝8a1＋d＝32.
3.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
答案 180
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
题组三 易错自纠
4.一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A.d> B.d<
C.
0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.
答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，
所以a9<0.
故当n＝8时，其前n项和最大.
6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面.
答案 20
解析 设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.
所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
题型一 等差数列基本量的运算
1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A.－12 B.－10
C.10 D.12
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
故选B.
2.(2018·阜新模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7等于( )
A.28 B.21 C.14 D.7
答案 D
解析 由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝＝＝7a4＝7.故选D.
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个.
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型二 等差数列的判定与证明
例1 在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项.
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
解 (1)∵an是1与anan＋1的等差中项，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，
∴＝＝1＋，
∵＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
(2)由(1)得＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
思维升华 等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
跟踪训练1 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.
(1)证明 ∵an＋1＝，
∴＝，
化简得＝2＋，
即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2，＝>＝－.
证明：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－
＝.
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例2 (2018·本溪模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于( )
A.9 B.17 C.72 D.81
答案 D
解析 由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝＝9×＝81.故选D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例3 (1)(2019·锦州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于( )
A.35 B.42 C.49 D.63
答案 B
解析 在等差数列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，
解得S15＝42.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.
答案 2 020
解析 由等差数列的性质可得也为等差数列.
设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，
∴S2 020＝1×2 020＝2 020.
思维升华 等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练2 (1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于( )
A.0 B.1 C.－1 D.2
答案 B
解析 ∵a3＋a5＋a7 ＝3a5＝15，
∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，
可得d＝1，故选B.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.13
答案 B
解析 根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
1.若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A.－2 B.－ C. D.2
答案 B
解析 由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.
故选B.
2.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于( )
A.38 B.39 C.41 D.42
答案 D
解析 由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，
可得，3a1＋6d＝24，解得d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.故选D.
3.已知等差数列{an}中，a1 012＝3，S2 017＝2 017，则S2 020等于( )
A.2 020 B.－2 020 C.－4 040 D.4 040
答案 D
解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，
S2 017＝×2 017＝×2 017＝2 017a1 009＝2 017，
则a1 009＝1，据此可得，
S2 020＝×2 020＝1 010＝1 010×4＝4 040.
4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )
A.65 B.176 C.183 D.184
答案 D
解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
5.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是( )
A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④
答案 C
解析 a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，
所以a1＝－9d，
a10＝a1＋9d＝0，正确；
由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误；
S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，
所以S7＝S12，正确；
S20＝20a1＋190d＝10d，错误.
所以正确的是①③，故选C.
6.在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
答案 C
解析 ∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，
∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列.
∵<－1，
∴a8·a9<0，a8＋a9>0，
由等差数列的性质知，
2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
∵Sn＝，
∴当Sn>0时，n的最小值为16.
7.(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为____________.
答案 an＝6n－3(n∈N＋)
解析 方法一 设公差为d.
∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，
∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，
∴通项公式an＝a1＋(n－1)d＝6n－3(n∈N＋).
方法二 设公差为d，
∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，
∴a6＝33，∴d＝＝6.
∵a1＝3，∴通项公式an＝6n－3(n∈N＋).
8.(2019·包头质检)在等差数列{an}中，若a7＝，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝________.
答案 0
解析 根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，
2a1＋2a13＝4a7＝2π，
所以有sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13
＝sin 2a1＋sin(2π－2a1)＋cos a1＋cos(π－a1)＝0.
9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
答案
解析 在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，
因此＝＝＝.
10.已知数列{－}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则an＝________.
答案 (n2－3n＋3)2
解析 数列{－}是公差为2的等差数列，
且a1＝1，a3＝9，
∴－＝(－1)＋2(n－1)，
－＝(－1)＋2，
∴3－＝(－1)＋2，∴a2＝1.
∴－＝2n－2，
∴＝2(n－1)－2＋2(n－2)－2＋…＋2－2＋1
＝2×－2(n－1)＋1＝n2－3n＋3.
∴an＝(n2－3n＋3)2，n＝1时也成立.
∴an＝(n2－3n＋3)2.
11.已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，
∴{bn}是等差数列.
(2)解 由(1)及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝.
12.(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
解 (1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9(n∈N＋).
(2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，bn＝且b1＋b3＝17，b2＋b4＝68，则S10等于( )
A.90 B.100 C.110 D.120
答案 A
解析 设{an}公差为d，
＝＝＝2d＝＝4，
∴d＝2，b1＋b3＝＋＝＋＝17，
＝1，a1＝0，
∴S10＝10a1＋d＝×2＝90，故选A.
14.设等差数列{an}的公差为，前8项和为6π，记tan ＝k，则数列的前7项和是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 等差数列{an}的公差d为，前8项和为6π，
可得8a1＋×8×7×＝6π，解得a1＝π，
tan antan an＋1＝－1
＝－1，
则数列{tan antan an＋1}的前7项和为(tan a8－tan a7＋tan a7－tan a6＋…＋tan a2－tan a1)－7
＝(tan a8－tan a1)－7＝－7
＝－7
＝－7
＝－7＝.故选C.
15.已知数列{an}与均为等差数列(n∈N＋)，且a1＝2，则a20＝________.
答案 40
解析 设an＝2＋(n－1)d，所以＝
＝，
由于为等差数列，
所以其通项是一个关于n的一次函数，
所以(d－2)2＝0，∴d＝2.
所以a20＝2＋(20－1)×2＝40.
16.记m＝，若是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”.已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围.
解 由题意得2＝，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1
＝2n－2(n≥2，n∈N＋)，
两式相减得an＝(n≥2，n∈N＋).
当n＝1时，a1＝2，符合上式，
所以an＝(n∈N＋).
又由题意得3＝，
所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，
所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N＋)，
两式相减得bn＝32－n(n≥2，n∈N＋).
当n＝1时，b1＝3，符合上式，
所以bn＝32－n(n∈N＋).
所以cn＝(2－k)n＋2k－1.
因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，
所以解得≤k≤.
