【数学】2020届一轮复习人教版等差数列及其前n项和学案

【数学】2020届一轮复习人教版等差数列及其前n项和学案

第2节　等差数列及其前n项和 考试要求　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.‎ 知 识 梳 理 ‎1.等差数列的概念 ‎(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.‎ 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).‎ ‎(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.‎ ‎2.等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.‎ ‎3.等差数列的性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.‎ ‎(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.‎ ‎(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.‎ ‎2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn 存在最小值.‎ ‎3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.‎ ‎4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)‎ ‎(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)‎ ‎(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)‎ 解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.‎ ‎(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)‎ A.31 B.32 C.33 D.34‎ 解析　由已知可得 解得∴S8＝8a1＋d＝32.‎ 答案　B ‎3.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.‎ 解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.‎ 答案　180‎ ‎4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)‎ A.－12 B.－10 C.10 D.12‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－a1.又a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.‎ 答案　B ‎5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)‎ A.－3 B.－ C.－2 D.－4‎ 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 因为所以 解得d＝－4.‎ 答案　D ‎6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是______.‎ 解析　在等差数列{an}中，‎ ‎∵a3＋a8>0，S9<0，‎ ‎∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝＝9a5<0，‎ ‎∴a5<0，a6>0，‎ ‎∴S1，S2，…，S9中最小的是S5.‎ 答案　S5‎ 考点一　等差数列基本量的运算 ‎【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am ‎＝30，则m＝(　　)‎ A.9 B.10 C.11 D.15‎ 解析　(1)法一　设等差数列{an}的公差为d，‎ 依题意得所以d＝4.‎ 法二　等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，‎ 又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，则d＝4.‎ ‎(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意得 解得 ‎∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.‎ ‎2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.‎ ‎【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于(　　)‎ A.3 B.4 C.log318 D.log324‎ ‎(2)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.‎ 解析　(1)∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，‎ ‎∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，‎ ‎∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，则2x(4x＋2)＝9x2，‎ 解之得x＝4，x＝0(舍去).‎ ‎∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，‎ ‎∴公差d＝log312－log38＝log3，‎ ‎∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3.‎ ‎(2)法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由S3＝6，S4＝12，可得解得 所以S6＝6a1＋15d＝30.‎ 法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，‎ 由S3＝6，S4＝12可得 解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.‎ 答案　(1)A　(2)30‎ 考点二　等差数列的判定与证明　典例迁移 ‎【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，‎ 故是首项为2，公差为2的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式.‎ 故an＝ ‎【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.‎ 解　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，‎ 所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2).‎ 所以－＝2(n≥2).‎ 又＝＝2，‎ 所以是以2为首项，2为公差的等差数列.‎ 所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，‎ 所以an＋1＝，又an＋1－an＝－＝＝.‎ 所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列.‎ ‎【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.‎ 解　由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，‎ ‎∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴an＝n2－n.‎ 规律方法　1.证明数列是等差数列的主要方法：‎ ‎(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.‎ ‎(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.‎ ‎2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：‎ ‎(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.‎ ‎【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.‎ 解　(1)设{an}的公比为q，由题设可得 解得 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.‎ ‎(2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n.‎ 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n.‎ ‎＝2＝2Sn，‎ 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.‎ 考点三　等差数列的性质及应用　多维探究 角度1　等差数列项的性质 ‎【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为(　　)‎ A.6 B.12 C.24 D.48‎ 解析　∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，‎ 由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，‎ ‎∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.‎ 答案　D 角度2　等差数列和的性质 ‎【例3－2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A.63 B.45 C.36 D.27‎ 解析　由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，‎ 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，‎ 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，‎ 所以a7＋a8＋a9＝45.‎ 答案　B 规律方法　1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.‎ ‎2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；‎ ‎(2)S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎【训练3】 (1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 015，－＝6，则S2 019＝________.‎ ‎(2)(2019·荆州一模)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　　)‎ A.15 B.30 C.31 D.64‎ ‎(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)由等差数列的性质可得也为等差数列.‎ 设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.‎ 故＝＋2 018d＝－2 015＋2 018＝3，‎ ‎∴S2 019＝3×2 019＝6 057.‎ ‎(2)由a3＋a4＋a5＝3及等差数列的性质，‎ ‎∴3a4＝3，则a4＝1.‎ 又a4＋a12＝2a8，得1＋a12＝2×8.‎ ‎∴a12＝16－1＝15.‎ ‎(3)＝＝＝＝ ‎＝＝.‎ 答案　(1)6 057　(2)A　(3)A 考点四　等差数列的前n项和及其最值 ‎【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列的前n项和最大？‎ 解　(1)令n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0，‎ 因为a1≠0，所以a1＝，‎ 当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，‎ 两式相减得2an－2an－1＝an(n≥2).‎ 所以an＝2an－1(n≥2)，‎ 从而数列{an}为等比数列，an＝a1·2n－1＝.‎ ‎(2)当a1>0，λ＝100时，由(1)知，an＝，‎ 则bn＝lg ＝lg ＝lg 100－lg 2n＝2－nlg 2，‎ 所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，‎ 所以b1>b2>…>b6＝lg ＝lg >lg 1＝0，‎ 当n≥7时，bn≤b7＝lg 0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)；‎ ‎②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值).‎ ‎【训练4】 (1)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为(　　)‎ A.3 B.3或4‎ C.4或5 D.5‎ ‎(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________.‎ 解析　(1)由题意知 由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，‎ ‎∴＝＝－3＋n－1＝n－4，‎ 则n－4≥0，得n≥4，‎ ‎∴数列的前n项和取最小值时的n为3或4.‎ ‎(2)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，‎ Sn＝na1＋d＝20n－×2‎ ‎＝－n2＋21n＝－＋，‎ 又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.‎ 答案　(1)B　(2)110‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和Sn＝An2＋Bn及通项an＝pn＋q来判断一个数列是否为等差数列.‎ ‎2.等差数列基本量思想 ‎(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.‎ ‎(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.‎ 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d ‎，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.‎ ‎(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.‎ ‎2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，由已知，‎ 得所以 所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.‎ 答案　C ‎2.(2019·淄博调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)‎ A.1 B.－1 C.2 D. 解析　由于＝＝×＝1.‎ 答案　A ‎3.(2019·中原名校联考)若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝(　　)‎ A.10 B.20 C.30 D.40‎ 解析　依题意，－＝xn＋1－xn＝d，‎ ‎∴{xn}是等差数列.‎ 又x1＋x2＋…＋x20＝＝200.‎ ‎∴x1＋x20＝20，从而x5＋x16＝x1＋x20＝20.‎ 答案　B ‎4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　)‎ A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 解析　用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，‎ 由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，‎ ‎∴8a1＋×17＝996，解之得a1＝65.‎ ‎∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.‎ 答案　B ‎5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时的n为(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.4或5‎ 解析　由{an}为等差数列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，‎ 即d＝－2，‎ 由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，‎ 所以Sn取最大值时的n为5.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6.已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.‎ 解析　设项数为2n ，则由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n解得n＝5，故这个数列的项数为10.‎ 答案　10‎ ‎7.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________.‎ 解析　将an－an＋1＝2anan＋1两边同时除以anan＋1，－＝2.‎ 所以是以＝1为首项，2为公差的等差数列，‎ 所以＝1＋5×2＝11，即a6＝.‎ 答案　 ‎8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.‎ 解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.‎ 答案　200‎ 三、解答题 ‎9.等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.‎ 解　(1)设数列{an}首项为a1，公差为d，‎ 由题意得解得 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝.‎ 当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；‎ 当n＝4，5时，2≤<3，bn＝2；‎ 当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；‎ 当n＝9，10时，4≤<5，bn＝4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.‎ ‎10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.‎ ‎(1)求a及k的值；‎ ‎(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.‎ ‎(1)解　设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，‎ 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，‎ 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，‎ 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，‎ 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.‎ ‎(2)证明　由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，‎ 则bn＝＝n＋1，‎ 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，‎ 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以Tn＝＝.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2019·济宁模拟)设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)‎ A. B. C.3 D. 解析　令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，‎ 所以{bn}为等差数列，‎ 因为b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，则bn＝3n－2，‎ 所以b18＝52，‎ 则18a18＝52，所以a18＝.‎ 答案　B ‎12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn(n∈N*)，若 ＝，则＝(　　)‎ A. B. C. D.3‎ 解析　由题意不妨设Sn＝n(2n－1)，Tn＝n(n＋1)，‎ 所以a12＝S12－S11＝12×23－11×21＝45，‎ b6＝T6－T5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，‎ 所以＝＝.‎ 答案　A ‎13.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.‎ 解析　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，‎ ‎∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.‎ 答案　130‎ ‎14.(2019·长沙雅礼中学模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a13＝26，S9＝81.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，若30Tn－m≤0对一切n∈N*成立，求实数m的最小值.‎ 解　(1)∵等差数列{an}中，a1＋a13＝26，S9＝81，‎ ‎∴解得 ‎∴d＝＝＝2，‎ ‎∴an＝a5＋(n－5)d＝9＋2(n－5)＝2n－1.‎ ‎(2)∵bn＝＝ ‎＝，‎ ‎∴Tn＝ ‎＝，‎ ‎∵随着n的增大而增大，知{Tn}单调递增.‎ 又>0，∴Tn<，∴m≥5，‎ ‎∴实数m的最小值为5.‎ 新高考创新预测 ‎15.(多填题)设Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S2＝S6，－＝2，则a1＝________，公差d＝________.‎ 解析　由{an}为等差数列，得数列是首项为a1，公差为的等差数列，∵－＝2，∴＝2⇒d＝4，又S2＝S6⇒2a1＋4＝6a1＋×4⇒a1＝－14.‎ 答案　－14　4‎