高考数学 17-18版 第9章 第48课 课时分层训练48

高考数学 17-18版 第9章 第48课 课时分层训练48

课时分层训练(四十八)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．如图485，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点A(2,1)，离心率为.‎ 图485‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程. 【导学号：62172267】‎ ‎[解]　(1)由条件知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝＝，‎ 所以b2＝a2－c2＝a2.‎ 又点A(2,1)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，‎ 所以＋＝1，‎ 解得 所以，所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，得x2＋4(kx＋m)2－8＝0，‎ 整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0.　①‎ 由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－＝0，‎ 因为k≠0，所以m＝0.‎ 因为当m＝0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(－x，－kx)，‎ 由方程①，得x2＝，‎ 又因为AB⊥AC，A(2,1)，‎ 所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，‎ 所以k＝±.‎ 由于k＝时，直线y＝x过点A(2,1)，故k＝不符合题设．‎ 所以，此时直线l的方程为y＝－x. ‎ ‎2．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由条件可得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程＋x2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，‎ 故x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ 设△OAB的面积为S，由x1x2＝－<0，‎ 知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|‎ ‎＝＝2，‎ 令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2，‎ 对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，‎ ‎∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴t＋≥，∴0<≤，∴S∈.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；‎ ‎②若直线l的斜率为，试探究OA2＋OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由. 【导学号：62172268】‎ ‎[解]　(1)＋＝1，＝，得a2＝4，b2＝3.‎ 所以椭圆C：＋＝1.‎ ‎(2)①设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0，‎ 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，‎ 所以kAP·kBP＝·＝·＝· ‎＝－－，‎ 所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－2＋，‎ 所以当m＝－时，t有最大值.‎ ‎②设直线l的方程为y＝x＋n，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x2＋2nx＋2n2－6＝0，‎ Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)>0，即－

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