【数学】2019届一轮复习人教B版不等式选讲学案

【数学】2019届一轮复习人教B版不等式选讲学案

不等式选讲 不等式选讲为高考选考内容之一。一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目，主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。‎ 一、存在的问题及原因分析 ‎（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位 ‎【例题1】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，等价于 ①.‎ 当时，①等价于，此时不等式无解；‎ 当时，①等价于，从而；‎ 当时，①等价于，从而.‎ 所以解集.‎ ‎【评析】本题主要的易错点在于分类后的“整合”.其一是“整合”错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集.另一是没有进行“整合”，认为解集为三种情况 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式的基本原理认识不到位所致.‎ ‎（二）不能对条件进行正确的等价转化 ‎【例题2】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数，．‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎ 【解析】（Ⅱ）不等式的解集包含等价于在上恒成立，‎ 即在恒成立，即在恒成立，‎ 所以，解得，故取值范围是．‎ ‎ 【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主 要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件“不等式的解集包含”等价转化为“不等式在上恒成立”的问题来处理，反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对“解集包含”的含义不理解.‎ ‎【例题3】（2017高考全国Ⅲ卷23）已知函数.‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集非空，求m的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅱ）原式等价于存在，使成立，即 ‎ 设 由已知得 ‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 综上述得，故的取值范围为.‎ ‎【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式的解集非空”等价转化为解集非空，忽略了右边的代数式也是随着的变化而变化，左右两边的表示的是同一个数；错点二，将“不等式的解集非空”等价转化为“”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，等价于即可.‎ ‎（三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法.‎ ‎【例题3】（2017高考全国Ⅱ卷23）已知，证明 ‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）因为 所以，因此a+b≤2.‎ ‎【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路.‎ ‎（四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程 ‎【例题4】（2014高考全国Ⅱ卷24）设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明 2；‎ ‎【解析】法一 因为，所以 当时，为增函数，所以，‎ 当时，，‎ 当时，为减函数，所以 综上述得成立.‎ 法二 因为，又 所以.‎ ‎【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.‎ 二、解决问题的思考与对策 ‎（一）强化绝对值不等式的求解训练 高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.‎ ‎【例题5】（2007年高考全国课标卷24）设函数．‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是；‎ 当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是；‎ 当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是；‎ 综上可知，原不等式的解集为 ‎（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力.‎ 不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.‎ ‎【例题6】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数，．‎ ‎（II）若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎ 【解析】（II）不等式的解集包含等价于在上恒成立，‎ 即在恒成立．即在恒成立．‎ 则只须，解得．故取值范围是．‎ ‎【变式一】已知函数，．若存在使得不等式成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】存在使得不等式成立，等价于存在使得不等式成立，即存在使得，等价于时.‎ 所以或或 解得或或 所以满足条件的的取值范围是.‎ ‎【变式二】已知函数，．是否存在实数 的值，使得不等式的解集为，若存在，求的取值范围；若不存在说明理由．‎ ‎【解析】由的解集为，即的解集为，得的两根为-1,1，即方程无解，所以不存在实数的值，使得不等式的解集为.‎ ‎（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用 均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.‎ ‎【例题7】（2014高考全国课标Ⅰ卷24)若且 ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在,使得？并说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由,得,且当时等号成立,‎ 故,且当时等号成立,‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎（Ⅱ）由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，‎ 所以不存在,使得成立.‎ ‎ 【例题8】已知函数，.‎ ‎ （Ⅰ）解不等式；‎ ‎ （Ⅱ）若对于，，有，求证 .‎ ‎【解析】（Ⅰ）等价于，即或 求得，故不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎∴‎ 三、典型问题剖析 ‎（一）含绝对值不等式的求解 ‎【例题9】【2013课标全国Ⅰ，文24】 已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设，且当x∈时，，求a的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）法一 当时，等价于 ①.‎ 当时，①等价于，从而；‎ 当时，①等价于，从而；‎ 当时，①等价于，从而；‎ 综上述知，原不等式的解集为 法二 当时，不等式化为 设函数，‎ 则 其图像如图所示．从图像可知，当且仅当时，.‎ 所以原不等式的解集是 ‎（Ⅱ）当时，.‎ 不等式化为.‎ 所以对x∈都成立．‎ 故，即，从而的取值范围是.‎ ‎ 【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为 ①求零点；②分区间、去绝对值号；③分别解各区间上所得不等式；④取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值．也可以采用图像法，通过作出函数图像，利用数形结合的思想求解.‎ ‎【例题10】2016课标1卷已知函数.‎ ‎（Ⅰ）在右图中画出的图像；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 的图像如图所示.‎ ‎ （Ⅱ）由的表达式及图像，当时，可得x=1或x=3；‎ 当时，可得或，故的解集为；的解集为 所以的解集为.‎ ‎【评析】本题的关键在于能准确作出函数的图像才能通过图像判断不等式的解集.‎ ‎（二）给定条件，求参数的取值范围 ‎【例题11】(2012高考全国课标卷24)已知函数 ‎（Ⅰ）当时,求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的解集包含,求的取值范围。‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时,‎ ‎ 或或 ‎ 或 所以原不等式的解集为 ‎ （Ⅱ）原命题在上恒成立 在上恒成立，‎ 在上恒成立 所以所求的取值范围是 ‎【评析】本题解题的关键在于能将“的解集包含”等价转换为“在上恒成立”的问题求解. 关于不等式恒成立问题均可转化为函数最值问题来处理 若不等式在区间上恒成立, 等价于在区间上；若不等式在区间上恒成立, 则等价于在区间上，.‎ ‎【例题12】已知函数 ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值 ；‎ ‎（Ⅱ）若在（Ⅰ）的条件下，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 不等式的解集为，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由已知得 ‎，即成立，‎ ‎，‎ 即，解得 求实数的取值范围是 ‎【评析】本题属于“能成立”问题，解题的关键还是转化 将“使得”等价转化为“”，最终转化为求函数最值问题. 关于“能成立”问题有 ①不等式在区间上能成立，即存在,使得，等价于在区间上；②不等式在区间上能成立，即存在,使得，等价于在区间上.‎ ‎【例题13】（2011高考全国课标卷24）设函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，可化为 由此可得或，故不等式的解集为或. ‎ ‎（Ⅱ）由得，此不等式化为如下不等式组 ‎ 或即或. ‎ 由于，所以不等式组的解集为，由题设可得，故. ‎ ‎【评析】本题属于“恰成立”问题，对于“恰成立”问题，解决此类问题只需按照正常解不等式进行，再根据集合相等的条件即可求解.‎ ‎（三）不等式的证明 ‎【例题14】(2017课标II，理23)已知.‎ 求证 （Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【证明】（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）证法一 ‎ ‎，因此.‎ 证法二 假设则所以 所以，‎ 因为，所以这是不可能的.‎ 故假设错误，原不等式正确.‎ ‎ 【评析】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.‎ 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。‎ 四、过关练习 ‎1. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设，且存在，使得，求的取值范围.‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）当时，不等式即，等价于 或或 解得或或 即不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，，不等式可化为，‎ 若存在，使得，所以，所以，‎ 故的取值范围为.‎ ‎2. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设，证明 ．‎ ‎【解析】（Ⅰ）（ⅰ） 当时，原不等式可化为，解得，‎ 此时原不等式的解是；‎ ‎（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，‎ 此时原不等式无解；‎ ‎（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，‎ 此时原不等式的解是；‎ 综上，．‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎．‎ 因为，所以，，‎ 所以，即．‎ ‎3.已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得,‎ 即或, ‎ 或.故原不等式的解集为 ‎（Ⅱ）由，得对任意恒成立,‎ 当时，不等式成立,‎ 当时，问题等价于对任意非零实数恒成立,‎ ‎，‎ 即的取值范围是.‎ ‎4. 设函数 ‎（Ⅰ）画出函数的图像 ‎（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由于 则函数的图像如图所示.‎ ‎（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，‎ 当且仅当或时，函数与函数 的图像有交点.故不等式的解集非空时，的取值范围为 ‎.‎ ‎5.已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明 当时，．‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 当时，由得，解得；‎ 当时，；‎ 当时，由得，解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而 ‎，因此当时，.‎