数学理卷·山西省榆社中学高二4月月考（2018-04）

数学理卷·山西省榆社中学高二4月月考（2018-04）

‎2017-2018学年山西省榆社中学高二4月月考 数学试题（理科）‎ ‎2018.04‎ 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若，则 A. B. C. D. ‎ 3. 下列求导运算正确的是 A. B. C. D. ‎ 4. 已知m为实数，i为虚数单位，若，则 A. i B. 1 C. D. ‎ 5. 已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数a的值为 A. B. C. D. 2‎ 6. 用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 1. 设，则的值为 A. B. C. D. ‎ 2. 与的关系为 A. B. C. D. ‎ 3. 函数的图象大致为 A. B. C. D. ‎ 4. 观察下列各式：，则 A. 28 B. 76 C. 123 D. 199‎ 5. 设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 1. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为；当时，恒有，若，则不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 如图所示，图中曲线方程为，则围成封闭图形阴影部分的面积是______ ．‎ 3. 若由曲线与直线及y轴所围成的平面图形的面积，则 ______ ．‎ 4. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______．‎ 5. 已知边长分别为的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接，则三角形的面积分别为，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，则内切球的半径 ______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 6. 已知． 求的单调区间； 求函数在上的最值． ‎ 7. 已知函数，在点处的切线方程为，求 实数的值；             函数的单调区间以及在区间上的最值． ‎ 1. 已知曲线及曲线上一点．  求曲线在P点处的切线方程；Ⅱ求曲线过P点的切线方程． ‎ 2. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．Ⅰ求的表达式；Ⅱ隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值． ‎ 3. 已知函数Ⅰ当时，求在区间上的最大值和最小值；Ⅱ求在处的切线方程；Ⅲ若在区间上，恒成立，求实数a的取值范围． ‎ 4. 已知函数． 讨论的单调性； 若有两个零点，求a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. D 2. B 3. D 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9. B 10. B 11. B 12. A ‎ ‎13. 2  ‎ ‎14. 3  ‎ ‎15.   ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：依题意得，， 定义域是分 ， 令 0'/>，得或；令，得， 且函数定义域是， 函数的单调增区间是，单调递减区间是分 令，得舍， 由于函数在区间上为减函数，区间上为增函数， 且， 在上的最大值是，最小值是分  ‎ ‎18. 解：因为在点处的切线方程为， 所以切线斜率是----------------------分 且， 求得，即点----------------------分 ‎ 又函数，则----------------------分 所以依题意得----------------------分 解得----------------------分 由知 所以----------------------分 令，解得或 当或；当 所以函数的单调递增区间是 单调递减区间是----------------------分 又 所以当x变化时，和变化情况如下表： ‎ X ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎4‎ 极小值 ‎1‎ 所以当时，， ----------------------分  ‎ ‎19. 解：， ． 则在处直线的斜率， 所求直线的方程为． 设切点坐标为， 则直线l的斜率， ， ‎ ‎， 解得或． ，所求直线的方程为 ，所求直线斜率， 于是所求直线的方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或．  ‎ ‎20. 解：每年能源消耗费用为，建造费用为6x， ． ，令得或舍． 当时，，当时，． 在上单调递减，在上单调递增． 当时，取得最小值． 当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．  ‎ ‎21. 解：当时，． 对于恒成立，在区间上单调递增． ． ． ． 在处的切线方程是 ，即； 函数的定义域为． 当时，恒有， 函数在区间上单调递减． 要满足在区间上，恒成立，则即可，解得． 实数a的取值范围是． ‎ 当时，令，解得． 当时，即时，在区间上有，此时在此区间上单调递增，不合题意，应舍去． 当时，即，在区间上有，此时单调递增，不合题意． 综上可知：实数a的取值范围是．  ‎ ‎22. 解：由，求导， 当时，， 当单调递减， 当时，， 令，解得：， 当，解得： ， 当，解得：， 时，单调递减，单调递增； 当时，，恒成立， 当单调递减， 综上可知：当时，在R单调减函数， 当时，在是减函数，在是增函数； 若时，由可知：最多有一个零点， 当时，， 当时，， 当时，， 当，且远远大于和x， 当， 函数有两个零点，的最小值小于0即可， 由在是减函数，在是增函数， ‎ ‎， ，即， 设，则， 求导，由， ，解得：， 的取值范围． 方法二：由，求导， 当时，， 当单调递减， 当时，， 令，解得：， 当，解得：， 当，解得：， 时，单调递减，单调递增； 当时，，恒成立， 当单调递减， 综上可知：当时，在R单调减函数， 当时，在是减函数，在是增函数； 若时，由可知：最多有一个零点， 当时，由可知：当时，取得最小值，， 当，时，，故只有一个零点， 当时，由，即， 故没有零点， 当时，， 由， 故在 有一个零点， 假设存在正整数，满足，则， 由， 因此在有一个零点． 的取值范围．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：复数z满足 则复数z在复平面内对应的点在第四象限． 故选：D． 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2. 解：， 故选：B 利用求的导数的定义，化简求得． 本题主要考查了极限及其运算，涉及导数的定义和应用，合理的恒等变形是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎3. 解：对于A：， 对于B：， 对于C；， 对于D：， 故选：D． 根据导数的运算法则求导即可判断． 本题考查了导数的运算法则，掌握基本导数公式是关键，属于基础题．‎ ‎4. 解：， ，解得：． 则． 故选：A ‎． 由，得，求解得到m的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎5. 解：， ， 处切线斜率为1，即， ，解得． 故选：B． 求出函数的导数，利用，解a即可． 本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力，比较基础．‎ ‎6. 解析：由定积分的几何意义知 区域内的曲线与X轴的面积代数和． 即 选项D正确． 故选D． 先将阴影部分的面积用定积分表示，然后根据定积分的意义进行选择即可． 本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负积分的几何意义强调代数和，属于基础题．‎ ‎7. 解：根据定积分性质可得， 根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的， ， ， ‎ ‎， 故答案选：A． 根据定积分性质可得，然后根据定积分可得． 本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．‎ ‎8. 解：表示的几何意义是以直线及函数在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积， 表示的几何意义是以直线及函数在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积， 如图 当时，，故有： 故选：B． 根据积分所表示的几何意义是以直线及函数或在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可． 本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．‎ ‎9. 解：函数的定义域为：，当时，函数，可得函数的极值点为：，当时，函数是减函数，时，函数是增函数，并且，选项B、D满足题意． 当时，函数，选项D不正确，选项B正确． 故选：B． 利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可． 本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的图象的判断，考查计算能力．‎ ‎10. 解：由于， ， ， ， ， ， 通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和． 因此，， 故选B． 根据给出的几个等式，不难发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，再写出四个等式即得． 本题考查归纳推理的思想方法，注意观察所给等式的左右两边的特点，这是解题的关键．‎ ‎11. 解：， ， 故答案选B． 先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率．‎ ‎12. 解：定义在R上的偶函数， 时，恒有， ， ， ， 在为减函数， 为偶函数， 为偶函数， 在上为增函数， ‎ ‎， 即， 解得， 故选：A 根据函数为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式转化为，解得即可 本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题 ‎13. 解：曲线方程为，则围成封闭图形阴影部分的面积是 ； 故答案为：2． 利用定积分的几何意义表示阴影部分面积，然后计算定积分． 本题考查了定积分的应用求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积．‎ ‎14. 解：由曲线与直线，联立解得， 当时， 曲线与直线及y轴所围成的平面图形的面积 ， 解得， 故答案为：3 先联立曲线与直线，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可． 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，比较基础．‎ ‎15. 解：已知为偶函数，当时，， 设，则， ‎ ‎， 则， ． 曲线在点处的切线方程是． 即． 故答案为：． 由已知函数的奇偶性结合时的解析式求出时的解析式，求出导函数，得到，然后代入直线方程的点斜式得答案． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．‎ ‎16. 解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的． 根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径， 根据体积相等可得， 即内切球的半径， 故答案为． 由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形ABC的面积，根据类比推理可知，将四面体分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此单调内切球的半径． 本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推导的．‎ ‎17. 由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出再利用导数，研究的正负，即可得到函数的单调增区间是，单调递减区间是． 根据的单调性，分别求出、、的值并比较大小，可得在上的最大值是，最小值是． 本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．‎ ‎18. 求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出． ‎ 求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值． 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎19. 由已知可得斜率函数为，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可． 设切点为，求出切点坐标，即可求曲线过点P处的切线方程． 本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义，求出切线斜率和方程是解决本题的关键注意区分在点P处与过点P处的切线方程．‎ ‎20. 将建造成本和能源消耗总费用相加即可得出； 利用导数判断的单调性，根据单调性求出的最小值． 本题考查了利用导数求函数最值的方法，解析式的求解，属于中档题．‎ ‎21. 当时，由于恒成立，即可得到在区间上单调递性，即可得出最值． 分别计算出，利用导数的几何意义可得在处的切线斜率及其方程． 函数的定义域为对a分类讨论： 当时，利用导数研究其单调性即可得出当时，令，解得进一步分类讨论：当时，即时，当时，即，研究函数的单调性即可得出． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎22. 求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性； 由可知：当时才有两个零点，根据函数的单调性求得最小值，由，求导，由，即可求得a的取值范围． 求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性； 分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a 的取值范围． 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题．‎