2020年高中数学新教材同步必修第一册 第1章 第2课时 集合的表示

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第1章 第2课时 集合的表示

第一章　1.1　集合的概念 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义 和作用. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　列举法 把集合的所有元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做 列举法. 知识点二　描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 P(x)的元素x所组成的集合 表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 一一列举 花括号“{}” 共同特征 思考　不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？ 答案　元素的共同特征为x∈R，且x<5. 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.(　　) 2.集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　) 3.集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合.(　　) 4.{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合.(　　) × × √ × 2 题型探究 PART TWO 例1　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； 一、列举法表示集合 解　因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思， 所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}. (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； 解　方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2， 所以方程的解组成的集合为{0,2}. (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； 解　将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)， 故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)由所有正整数构成的集合. 解　正整数有1,2,3，…， 所求集合为{1,2,3，…}. 反思 感悟 用列举法表示集合应注意的两点 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个 元素. 跟踪训练1　用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； 解　因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}. (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B； 解　方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}. (3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D. 所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1,3)，所以D＝{(1,3)}. 二、描述法表示集合 例2　用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； 解　偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*， 所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}. (2)被3除余2的正整数集合； 解　设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N， 所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}. (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. 解　坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0， 故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}. 反思 感悟 利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表 达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母. (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不 写.例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也 可写成{x|x2－2x＋1＝0}. 跟踪训练2　下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}. (1)它们是不是相同的集合？ 解　不相同. (2)它们各自的含义分别是什么？ 解　集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R， 所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R； 集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1， 所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}. 集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对. 可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的. 三、集合表示法的综合应用 例3　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合. 解　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素， 则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}. 延伸探究 1.本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的 值组成的集合. 解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根， 故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0. 所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}. 2.本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实 数k的取值范围. 解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根. ①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意； ②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根， 则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0. 综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}. 反思 感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题 的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素 个数问题转化为方程的根的个数问题. (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想 和分类讨论的思想. 3 随堂演练 PART THREE 1 2 3 4 5 1.用列举法表示集合{x|x2－2x－3＝0}为 A.{－1,3} B.{(－1,3)} C.{x＝1} D.{x2－2x－3＝0} √ 1 2 3 4 5 2.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是 A.{1，－2} B.{x＝1，y＝－2} C.{(－2,1)} D.{(1，－2)}√ 1 3 4 52 3.设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是 A.6∈A B.0∈A C.3∉ A D.3.5∉ A√ 1 3 4 52 4.第一象限的点组成的集合可以表示为 A.{(x，y)|xy>0} B.{(x，y)|xy≥0} C.{(x，y)|x>0且y>0} D.{(x，y)|x>0或y>0}√ 1 3 4 52 5.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是 A.{x|x＝4k－1，k∈Z} B.{x|x＝2k－1，k∈Z} C.{x|x＝2k＋1，k∈Z} D.{x|x＝2k＋3，k∈Z} √ 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单： (1)描述法表示集合的理解. (2)用列举法和描述法表示集合. (3)两种表示法的综合应用. 2.方法归纳：等价转化、分类讨论. 3.常见误区：点集与数集的区别. 本课结束