【数学】黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二下学期第一次月考（理）

【数学】黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二下学期第一次月考（理）

黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年 高二下学期第一次月考（理）‎ 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．复数的虚部是 （ ）‎ A.1 B. -2 C. -2i D.2‎ ‎2．已知随机变量服从正态分布，若，则 ‎ （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列四个命题正确的是 （ ）‎ ‎①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；‎ ‎②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；‎ ‎③用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合的效果越好；‎ ‎④随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足.‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D.②④‎ ‎4．某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率为 （ ）‎ A.0.32 B.0.4 C.0.5 D.0.6‎ 5． 某市选派6名主任医生，3名护士，组成三个医疗小组分配到甲、乙、丙三地进行医 疗支援，每个小组包括两名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有 （ ）‎ A.540种 B.300种 C.150种 D.60种 ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的= （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．在的展开式中，如果第32项的系数与第72项的系数相等，则展开式的中间一项可用组合数表示为 （ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎8．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有 （ ）‎ A 12种 B 20种 C 40种 D 60种 ‎9．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有 （ ）‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎10． ，则 （ ）‎ A. 512 B. 1024 C. D. ‎ ‎11．随机变量ξ的分布列如下，且满足E（ξ）＝2，则E（aξ+b）的值 （ ）‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P a b c A.0 B.1 C.2 D.无法确定，与a，b有关 12． 设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. 的大小关系与的取值有关 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．设，复数，若为纯虚数，则 ‎14.随机变量服从二项分布，若随机变量，则________‎ ‎15．的展开式中的常数项为_____________.(用数字作答) ‎ ‎16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分10分）在甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表。已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 合计 ‎(1)请完成上面的列联表；‎ ‎(2)根据列联表的数据，若按%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？‎ 参考公式及数据：‎ ‎18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是 ‎.‎ ‎（I）求出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设直线与曲线的交点为，求的值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某单位利用周末时间组织职工进行一次“健康之路、携手共筑”徒步走健身活动，有人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为，六组，‎ 其频率分布直方图如图所示，已知岁年龄段中的参加者有人.‎ ‎（1）求的值并补全频率分布直方图； ‎ ‎（2）从岁年龄段中采用分层抽样的方法 抽取人作为活动的组织者，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列.‎ ‎20．（本小题满分12分）德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，‎ 课 程 初等代数 初等几何 初等数论 微积分初步 合格的概率 ‎（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；‎ ‎（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．‎ ‎21．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.‎ ‎(I)求第局甲当裁判的概率;‎ ‎(II)表示前局中乙当裁判的次数,求的数学期望.‎ ‎22．（本小题满分12分）某商店每天（开始营业时）以每件15元的价格购入A商品若干（A商品在商店的保鲜时间为8小时，该商店的营业时间也恰好为8小时），并开始以每件30元的价格出售，若前6小时内所购进的A商品没有售完，则商店对没卖出的A商品将以每件10元的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品）.该商店统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率）．‎ 前6小时内的销售量X（单位：件）‎ ‎3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ 频数 ‎ 30‎ ‎ x ‎ y ‎（1）若某天商店购进A商品4件，试求商店该天销售A商品获取利润ξ的分布列和期望；‎ ‎（2）若商店每天在购进4件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值集合．‎ 参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 B C D C A B D ‎ C A D B A ‎13、 14、 9‎ ‎15、 15 16、 ‎ ‎17、解：（1）优秀人数为105×=30，∴乙班优秀人数为20，甲班非优秀人数为45．‎ 故列联表如下：‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎75‎ ‎105‎ ‎（2）根据列联表中的数据，‎ 所以能以%的把握认为“成绩与班级”有关系.‎ ‎18、解：（I）普通方程为. ‎ 曲线的直角坐标方程为. ‎ ‎（II）曲线是圆心为，半径的圆.‎ 圆心到直线的距离， ‎ 所以. ‎ 19、 解：（I）年龄在之间的频率为，∵，∴. ‎ ‎∵第二组的频率为：‎ ‎，‎ ‎∴矩形高为. ‎ 所以频率分布直方图如图所示. ‎ ‎（II）由（I）知，之间的人数为，又之间的人数为，‎ 因为岁年龄段人数与岁年龄段人数的比值为，所以采用分层抽样抽取人，其中岁中有人，岁中有人. ‎ 由题意，随机变量的所有可能取值为.‎ ‎，，. ‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎20、解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，‎ 且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：‎ P（ABCD）+P（ABC）+P（ABD）＝++＝．‎ ‎（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，），‎ P（ξ＝0）＝＝， P（ξ＝1）＝＝，‎ P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 0‎ ‎1 ‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵ξ～B（3，），∴Eξ＝．‎ ‎21、解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．‎ 则A＝A1•A2，P（A）＝P（A1•A2）＝P（A1）P（A2）＝；‎ ‎（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．‎ B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，‎ 则P（X＝0）＝P（B1B2）＝P（B1）P（B2）P（）＝．‎ P（X＝2）＝P（B3）＝P（）P（B3）＝．‎ P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝2）＝．‎ 从而EX＝0×+1×+2×＝．‎ ‎22、解：（Ⅰ）设商店某天销售A商品获得的利润为ξ（单位：元）‎ 当需求量为3时，ξ=15×3-5×（4-3）=40，‎ 当需求量为4时，ξ=15×4=60，‎ 当需求量为5时，ξ=15×4=60，‎ ξ的分布列为 ‎ ξ ‎40‎ ‎60‎ P ‎0.3‎ ‎0.7‎ 则Eξ=40×0.3+60×0.7=54（元）所以商店该天销售A商品获得的利润均值为54元．‎ ‎（Ⅱ）设销售A商品获得的利润为Y，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，‎ 则商店每天购进的A商品的件数取值可能为3件，4件，5件．‎ 当购进A商品3件时，‎ EY=（30-15）×3×0.3+（30-15）×3×0.4+（30-15）×3×0.3=45，‎ 当购进A商品4件时，‎ EY=[（30-15）×3-（15-10）×1]×0.3+[（30-15）×4]×x 100 +[（30-15）×4]×70−x 100 =54‎ 当购进A商品5件时，‎ EY=[（30-15）×3-（15-10）×2]×0.3+[（30-15）×4-（15-10）×1]×x 100 +[（30-15）×5]×70−x 100 =63-0.2x 由题意63-0.2x≤54，解得x≥45，又知x≤100-30=70所以x的取值范围为[45，70]，x∈N*．‎