2020届高三数学上学期期中模拟考试题 理（含解析）

2020届高三数学上学期期中模拟考试题 理（含解析）

‎2019届高三数学上学期期中模拟考试题 理（含解析）‎ ‎（时间：120分钟 总分：150分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，故选B.‎ 点睛：本题考查集合的交并补运算，涉及函数定义域值域问题，属于容易题.解决集合问题，首先要化简集合，一般要进行不等式求解，函数定义域、值域等相关问题的处理，化简完成后，进行集合的交并补相关运算，注意利用数轴，数形结合，特别是端点处值的处理，一定要细心谨慎.‎ ‎2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.‎ ‎3. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复数的运算法则，，故选D.‎ ‎4. 曲线在点处的切线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以切线斜率，切线方程为，即，故选C.‎ ‎5.‎ - 14 -‎ ‎ 现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，根据古典概型，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率............................‎ ‎6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程可以是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数,所以，当时，，所以是其一条对称轴，故选B.‎ 点睛：本题考查了三角函数的图像和性质以及利用导数研究函数的最值单调性问题，综合性较强，属于难题．首先要根据求导公式及法则对复合函数求导，其次要研究导数的正负需要综合正弦余弦在不同区间的符号去对参数分类讨论，最后讨论过程需要条理清晰，思维严谨，运算能力较强．‎ ‎7. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，‎ 则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为，则由得，，即，解得或（舍去），又由得，所以，‎ ‎，故选D.‎ ‎8. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则 （ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 - 14 -‎ C. “直线与平面内的无数条直线垂直”上“直线与平面垂直”的充分不必要条件 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】对A，符合条件的直线可能∥，故不正确；对B,两个垂直平面内的两条直线不一定垂直，故不正确；对C, 直线与平面内的无数条直线垂直,并不能推出直线垂直平面内的任意一条直线，故不正确；对D，根据平面垂直的定义，可证明两个平面垂直，故正确.‎ ‎9. 已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设准线与轴交于N，所以,直线的斜率，所以,在直角三角形中，，，根据抛物线定义知，,又, ,所以,因此是等边三角形，故，所以的面积为，故选C.‎ ‎10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图可知，几何体是个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为，高为2，所以三棱锥的体积，故组合体的体积,故选A.‎ - 14 -‎ ‎11. 运行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】执行一次，，执行第2次，，执行第3次，，执行第4次，，执行第5次，，执行第6次，，执行第7次，跳出循环，因此判断框应填，故选B.‎ ‎12. 已知函数有唯一的零点，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】函数为偶函数，在处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为，则，解得或，当时不合题意，故选A.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量，，若，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由,得.即.‎ 解得.‎ ‎14. 已知函数，若曲线在点处的切线经过圆：‎ - 14 -‎ 的圆心，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合函数的解析式可得：，‎ 对函数求导可得：，故切线的斜率为，‎ 则切线方程为：，即，‎ 圆：的圆心为，则：.‎ ‎15. 已知实数，满足约束条件则的取值范围为__________（用区间表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)‎ 设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；‎ 当直线过点时，取得最大值.‎ 即,所以.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎16. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别与，则.即 - 14 -‎ ‎.‎ 由.得.‎ 所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在递增的等比数列中，，，其中.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由及得，，进而的，可得通项公式；‎ ‎（2）利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设数列的公比为，‎ 则，‎ 又，‎ ‎∴，或，（舍）.‎ ‎∴，即.‎ 故（）.‎ ‎（2）由（1）得，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18. 如图，在三棱柱中，平面，，，点为 - 14 -‎ 的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）连接交于点，连接，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1． （II）要求三棱锥的体积，转化为即可求解．‎ 试题解析：‎ ‎（1）连接交于点，连接.‎ 在三棱柱中，四边形是平行四边形.‎ ‎∴点是的中点.‎ ‎∵点为的中点，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴.‎ 在三棱柱中，‎ 由平面，得平面平面.‎ - 14 -‎ 又平面平面.‎ ‎∴平面.‎ ‎∴点到平面的距离为，且.‎ ‎∴‎ ‎ .‎ ‎19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）‎ 经常使用 偶尔或不用 合计 ‎30岁及以下 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎30岁以上 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ ‎（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？‎ ‎（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.‎ ‎（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；‎ ‎（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ 参考公式：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）（i）2人，（ii）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ - 14 -‎ ‎(1)由列联表可得，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.‎ ‎(2)（i）依题意可知，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.‎ ‎（ii）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由列联表可知，‎ ‎.‎ 因为，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.‎ ‎（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.‎ ‎（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为，.‎ 则从5人中选出2人的所有可能结果为，，，，，，，，，共10种.‎ 其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，‎ 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ ‎20. 已知椭圆：（）过点，离心率为，直线：与椭圆交于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在实数，使得（其中为坐标原点）成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在实数，使得成立.‎ - 14 -‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意得，从而可得方程；‎ ‎（2）直线和椭圆联立得，设，，由，得，即，由韦达定理代入即得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，得 解得，，，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）假设存在符合条件的实数.‎ 依题意，联立方程 消去并整理，得.‎ 则，‎ 即或.‎ 设，，‎ 则，.‎ 由，‎ 得.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 即.‎ ‎∴.‎ 即.‎ 即，即.‎ - 14 -‎ 故存在实数，使得成立.‎ ‎21. 已知函数， .‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合函数的解析式可得，，结合导函数与原函数的单调性的关系可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎(2)原问题等价于方程有实数根，构造函数，利用导函数研究函数存在零点的充要条件可得：当时，方程有实数根.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，得，.‎ 令，即，解得；‎ 令，即，解得，‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由题得， .‎ 依题意，方程有实数根，‎ 即函数存在零点，‎ 又，‎ 令，得.‎ 当时，，即函数在区间上单调递减，‎ 而， ，‎ - 14 -‎ 所以函数存在零点；‎ 当时，，随的变化情况如表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 所以为函数的极小值，也是最小值.‎ 当，即时，函数没有零点；‎ 当，即时，注意到，，‎ 所以函数存在零点. ‎ 综上所述，当时，方程有实数根.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为；（2）.‎ - 14 -‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用消去参数得曲线的普通方程为，利用得直线的普通方程为 ‎（2）利用圆的参数方程得，进而由三角求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由曲线的参数方程（为参数），‎ 得曲线的普通方程为.‎ 由，‎ 得，‎ 即.‎ ‎∴直线的普通方程为.‎ ‎（2）设曲线上的一点为，‎ 则该点到直线的距离 ‎（其中）.‎ 当时，‎ ‎.‎ 即曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的值域为，若，试证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为.‎ ‎(2)结合绝对值三角不等式的性质可得，结合二次函数的性质可得，，则.‎ - 14 -‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，得 则不等式，即为 或或解得.‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎（2）由题得， ，‎ 当且仅当，‎ 即时取等号，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ - 14 -‎