数学（理）卷·2018届安徽省安庆一中高二上学期期末考试（2017-01）

数学（理）卷·2018届安徽省安庆一中高二上学期期末考试（2017-01）

安庆一中2016-2017年度高二第一学期理科数学期末试卷 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1. 空间的一个基底所确定平面的个数为（　　）‎ Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个以上 ‎2. “α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 已知双曲线的离心率，且其右焦点，则双曲线C的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎5. 已知关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎ ‎ ‎6. 下列否定不正确的是（　　）‎ A．“”的否定是“”‎ B．“”的否定是“”‎ C．“”的否定是 D．“”的否定是“”‎ ‎7. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与 的离心率之积为，则的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 若直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（　）‎ A．，　 B．， 　C．，　　 D．，‎ ‎9. 方程表示的曲线为C，给出下面四个命题，其中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；‎ ‎③曲线C不可能是圆；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则。‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则（　　）. ‎ A．3 B．6 C．3 D．2 ‎ ‎11. 动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过点（　　）‎ A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2)‎ ‎12. 已知椭圆（）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则的取值范围是（　） ‎ A． B．或 ‎ ‎ C．或 D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13. 若向量，则__________________。‎ ‎14. 命题：“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是______．‎ ‎15. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点A在双曲线第一象限的图象上，若△的面积为1，且，，则双曲线方程为__________________。 ‎ ‎16. 直线y＝x＋3与曲线－＝1的公共点的个数为__________个．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）设p：函数在(0，＋∞)上单调递增；q：关于x的方程的解集只有一个子集，若“p∨q”为真，“ ”为假，求实数的取值范围．‎ 第17题图 y x F1‎ ‎ ‎ A O B ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，F是椭圆(a＞b＞0)‎ 的右焦点，A和B是以O为圆心，以|OF|为半 径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△FAB是等 边三角形，求椭圆的离心率。‎ 19. ‎（本小题满分12分）已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知直线与双曲线交于A、B两点．‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数的值．‎ ‎21.（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．‎ ‎(1)求证：AB1⊥平面A1BD；‎ ‎(2)求二面角AA1DB的余弦值．‎ ‎22.（本小题满分12分）如图，设点F1(－c，0)、F2(c，0)分别是椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．‎ ‎⑴求椭圆C的方程；‎ ‎⑵若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出B坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B B ‎ B B A D B A B B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. ‎ ‎14. 若A∪B≠A则A∩B≠B ‎15. ‎ ‎16. 3‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：当p为真时，应有a＞1；‎ 当q为真时，关于x的方程x2＋2x＋loga＝0无解，所以Δ＝4－4loga＜0，解得1＜a＜.由于“p∨q”为真，所以p和q中至少有一个为真．又“”为假，故p和q中一真一假．p假q真时，a无解；p真q假时，a≥，综上所述，实数a的取值范围是.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：设P(x，y)，则＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．‎ 所以||＝4，||＝，·＝4(x－2)，‎ 代入||·||＋·＝0，‎ 得4＋4(x－2)＝0，‎ 即＝2－x，化简整理，得y2＝－8x，‎ 故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：(1)由消去y，‎ 得(3－a2)x2－2ax－2＝0.‎ 依题意得即－＜a＜且a≠±.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，‎ 所以x1x2＋y1y2＝0，‎ 即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，‎ 即(a2＋1) x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.‎ 所以(a2＋1)·＋a·＋1＝0， ‎ 所以a＝±1，满足(1)所求的取值范围．‎ 故a＝±1.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：如图，取BC的中点O，连接AO.‎ 因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.‎ 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.‎ 取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，C(－1，0，0)，‎ ‎ 所以＝(1，2，－)，＝(－2，1，0)，＝(－1，2，)．‎ 因为·＝－2＋2＋0＝0，‎ ·＝－1＋4－3＝0，‎ 所以⊥，⊥，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.‎ 又BD与BA1交于点B，所以AB1⊥平面A1BD.‎ ‎(2)解：连接AD，设平面A1AD的法向量为 n＝(x，y，z)．‎ ＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．‎ 因为n⊥，n⊥，所以 即解得 令z＝1，得n＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量．‎ 由(1)知AB1⊥平面A1BD，所以为平面A1BD的法向量．‎ cos〈n·〉＝＝＝－，‎ 故二面角AA1DB的余弦值为.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：⑴设，则有 ‎ ，‎ ‎ 由最小值为0得，，，‎ ‎ ∴椭圆C的方程为． ‎ ‎ ⑵①当直线斜率存在时，设其方程为 ‎ 把的方程代入椭圆方程得 ‎ ∵直线与椭圆C相切，∴△，化简得 ‎ ‎ ‎ 同理， ‎ ‎ ∴，若，则重合，不合题意，∴‎ ‎ 设在x轴上存在点，点B到直线在距离之积为1，则 ‎ ，即，‎ ‎ 把代入并去绝对值整理，‎ ‎ 或者 ‎ ‎ 前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立 ‎ 则，解得；即或 ‎ ②当直线斜率不存在时，其方程为和，‎ ‎ 定点(－1，0)到直线的距离之积为；‎ ‎ 定点(1，0)到直线的距离之积为；‎ ‎ 综上所述，满足题意的定点B(－1，0)或B(1，0) ‎