2019-2020学年重庆市九校联盟高二上学期联考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年重庆市九校联盟高二上学期联考数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市九校联盟高二上学期联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．有如下三段论推理:所有的偶数都不是质数,因为2是偶数,所以2不是质数.这个结论显然是错误的,导致这一错误的原因是( )‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．大前提和小前提都错误 D．推理形式错误 ‎【答案】A ‎【解析】所有的偶数都不是质数是错误，可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 是偶数也是质数，所以大前提错误.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三段论推理方法，属于基础题.‎ ‎2．复数在复平面内对应的点在第二象限的充要条件是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】复数对应点的坐标为，结合条件，列出关于的不等量关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 对应点的坐标为,‎ 在第二象限，，解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎3．在用反证法证明命题:“若,则,,三个数中至少有一个大于0”时,正确的反设为:设,,三个数( )‎ A．都小于0 B．都小于等于0‎ C．最多1个小于0 D．最多1个小于等于0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由命题的否定形式，即可得出反设形式.‎ ‎【详解】‎ ‎“,,三个数中至少有一个大于0”反设为 ‎“,,三个数中都小于等于0”.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反证法的证明过程，属于基础题.‎ ‎4．( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设条件，求出被积函数的原函数，求出定积分的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查定积分的计算，求解的关键是掌握定积分的定义及有关函数的导数求法，属于基础题.‎ ‎5．近几年来,山东师范大学与荣昌永荣中学建立了良好的合作关系,每年山东师大都会派出部分优秀的研究生到永荣中学支教.现有2名到永荣中学支教的山东师大研究生在支教工作结束时与4名学生站一排合影留念,则2名研究生恰好不相邻的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】6人拍照站成一排有种方法，2名研究生恰好不相邻,即2名研究生被4名学生隔开，先排4名学生有种方法，将2名研究生插入到5个空格中共有种方法，根据乘法原理共有种方法，由古典概型的概率公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎6人拍照所站成一排有种排法，‎ ‎2名研究生恰好不相邻有，‎ 所求的概率为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用排列方法求古典概型的基本事件，要注意常见类型及排列数的计算，属于基础题.‎ ‎6．函数在上可导,且,则( )‎ A．0 B．1 C．-1 D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】求出代入求出，进而求出，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数以及简单的运用，属于基础题.‎ ‎7．在的展开式中,的系数为( )‎ A．-12 B．12 C．-60 D．60‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出展开式通项，根据题意求出含项的系数，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 展开式的通项为，‎ ‎，的展开式中的系数 为展开式中含的系数，在通项中取，‎ 系数为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项展开式项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.‎ ‎8．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）‎ A．的极大值为，极小值为 B．的极大值为，极小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极大值为，极小值为 ‎【答案】C ‎【解析】由的图象可以得出在各区间的正负，然后可得在各区间的单调性，进而可得极值.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知：‎ 当和时，，则；‎ 当时，，则；‎ 当时，，则；‎ 当时，，则；‎ 当时，，则.‎ 所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.‎ 所以的极小值为，极大值为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出的正负性.‎ ‎9．重庆气象局的空气质量监测资料表明,重庆主城区一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意某天的空气质量为优良概率为，则随后一天空气质量为优良的概率，由条件概率公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 某天的空气质量为优良概率为，随后一天的空气质量为优良，‎ 则为连续两天为优良概率为，所求的概率为。‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件概率，熟记公式是解题关键，属于基础题.‎ ‎10．若直线与函数,的图像分别交于点､,当､两点距离最近时,( )‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据图像关系时，，､两点距离距离为 ‎，构造函数，通过求导，求导单调区间，极值，最值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据图像关系时，，‎ ‎､两点距离距离为，‎ 设，‎ 当时，；当时，；‎ 在单调递减，在单调递增，‎ 时取得极小值，亦为最小值，‎ 时，两点距离最小.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用函数的导数求最值，解题的关键在于根据题意建立目标函数，将其转化为函数的最值问题，属于中档题.‎ ‎11．某学校高三有四个优秀的同学甲､乙､丙､丁获得了保送到重庆大学､西南大学和重庆邮电大学3所大学的机会,若每所大学至少保送1人,且甲同学要求不去重庆邮电大学,则不同的保送方案共有( )种 A．24 B．36 C．48 D．64‎ ‎【答案】A ‎【解析】先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论，若该校只有1人保送，则另外3人去两所学校共有 ‎，若甲去的学校有2人保送，则另外3人去3所学校共有，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 每所大学至少保送1人,且甲同学要求不去重庆邮电大学,‎ 则不同的保送方案共有.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的应用，对于有限制条件的元素优先考虑，考查分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎12．若实数,,,满足且(其中,,是自然对数底数),则最小值为( )‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件可知，，，设，表示两点距离的平方，且、分别是函数与函数图像上的点，转化为求函数图像上的点到直线上距离的平方最小，当与直线平行且与函数图像相切时的切点为所求的点，根据导数的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由得,故 即,‎ 设,‎ 则､分别是与上的点 所以 则的最小值即为的最小值 设1是与平行的直线,与相切于点 则由得,,‎ 所以,由到的距离 所以的最小值为,的最小值为5.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数几何意义的应用，解题的关键要把问题转化为点到直线的距离，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若,,为虚数单位,且,则__________;‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据复数相等的定义，得到的关系式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数乘法运算和复数相等的定义，属于基础题.‎ ‎14．随机变量的分布列如下:‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ 若数学期望,则__________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由分布列的性质可得，再由期望公式得，解方程组，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量分布列的性质和期望，熟记公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15．小张今年刚好年满18岁,决定去参军.临走时,他去买了同样的手机吊坠3个,同样的手链3个,从中任意取出4个分别赠送给他的4位好朋友,每位朋友1个,则不同的赠送方法共有__________种;‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】按照取出的手机吊坠的个数分类讨论，若有3个手机吊坠，有种赠送方法；若有2个手机吊坠，有种赠送方法；若有1个手吊坠，有种赠送方法，根据加法原理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 小张从同样手机吊坠和同样的手链共6件中，任取4件，‎ 共有3种情况，手机吊坠3件、1件手链，手机吊坠2件、手链2件，‎ 手机吊坠1件、手链3件，共有赠送方法.‎ 故答案为:14.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合问题，要注意判断元素是否相同，考查分类讨论，属于基础题.‎ ‎16．已知函数,,实数,若使得对,都有成立,则的最大值为__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据已知条件，函数在的值域是函数在上值域的子集，用求导的方法求出单调区间，极值，最值，值域；结合的图像特征，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,,又,‎ 故在单调递减,在单调递增 又因为对任意,存在,使得 则只需要,令,得,或 由,可得,且 所以.‎ 故答案为:6.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值域间的关系，考查利用函数的导数求最值，考查数形结合思想，属于较难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数满足(为虚数单位);‎ ‎(1)求复数; ‎ ‎(2)求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据题意可得，由复数除法的运算法则，即可求解；‎ ‎（2）根据复数模长的性质，以及复数模长公式，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由题意,‎ ‎(2)由(1),‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的四则运算，复数模长，计算中要注意模长性质的运用，属于基础题.‎ ‎18．函数;‎ ‎(1)求在点处的切线方程;‎ ‎(2)求的极值.‎ ‎【答案】（1）（2）极小值2‎ ‎【解析】（1）求出，用直线的点斜式公式，即可求解；‎ ‎（2）由，求出在上的单调区间，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)‎ 设所求切线方程的斜率为,则 又,故所求切线方程为:‎ 即 ‎(2)因为 令,则;令,则,‎ 故函数在单调递减,在单调递增 时,函数有极小值 ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查函数的极值，属于基础题.‎ ‎19．近些年来,我国电子商务行业得到高速发展.2009年,阿里巴巴集团开始推出双11打折促销活动,2014年阿里巴巴宣布取得双11注册商标,双11正式成为购物狂欢节.2016年双11当天,阿里巴巴旗下的购物平台24小时的销售业绩就高达1207亿多人民币.与此同时,国家监管部门推出了针对电商的商品质量和服务质量的评价系统,由在购物平台进行了交易的购物者对电商的商品质量和服务质量作出评价.现从评价系统中任意选出1000次成功交易,并对其评价进行统计发现,对商品质量做出好评的交易有750次,对服务质量做出好评的交易有800次(假设顾客对商品质量和服务质量的评价互不影响),现将频率视为概率.‎ ‎(1)从评价系统中任意选出一次成功交易,求其评价对商品质量和服务质量都是好评的概率;‎ ‎(2)已知某人在该购物平台购物4次,每次都对商品质量和服务质量做出了评价.设此人对商品质量和服务质量都是好评的次数为随机变量,求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望2.4‎ ‎【解析】（1）由古典概型概率公式可得，对商品作出好评的概率为，对服务作出好评的概率，顾客对商品质量和服务质量的评价互不影响，由相互独立同时发生的概率关系，即可求解；‎ ‎（2）某人4次的购物评价相互独立，且每次对商品质量和服务质量都是好评的概率一样，因此都是好评的次数的随机变量服从二项分布,，根据二项分布的分布列公式以及期望公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由题意:‎ 对商品作出好评的概率:‎ 对服务作出好评的概率:‎ 对商品和服务都作出好评的概率:‎ ‎(2)随机变量服从二项分布,‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立同时发生事件的概率求法，以及二项分布的分布列和期望，解题的关键要把问题转化为二项分布，属于基础题.‎ ‎20．设为数列的前项和,且对于,都有成立;‎ ‎(1)求,,;‎ ‎(2)猜测数列的通项公式并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】（1），（2）猜想，见解析 ‎【解析】（1）根据已知，，求出；由，得到关于方程求解，求出；同理由，求出;‎ ‎（2）由（1）猜想通项，按数学归纳法步骤证明，步骤①显然成立；步骤②假设通项公式成立,根据，结合归纳假设，得出关于的方程，求解，即可证明 通项公式成立，从而证明结论.‎ ‎【详解】‎ 解:(1),‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎(2)由(1)猜想 证明:①,‎ ‎②假设,成立,‎ 那么 即时,等式也成立 由①②可知,对一切都成立 ‎【点睛】‎ 本题考查用数学归纳法求数列的通项，先求有限项猜想通项公式，然后用数学归纳法加以证明，属于中档题.‎ ‎21．学校在高二年级开设了共4门不同的选修课,每个学生必须从中任选一门.已知高二的3名学生甲､乙､丙对这4门选修课的兴趣相同(即选这四门课是等可能的);‎ ‎(1)求甲､乙､丙三人选择的选修课都不相同的概率;‎ ‎(2)求恰有2门选修课甲､乙､丙都没有选择的概率;‎ ‎(3)设随机变量为甲､乙､丙三人中选修这门课的人数,求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）（2）分布列见解析，数学期望 ‎【解析】（1）先求出这3个同学的所有选课总事件数有，满足条件的事件是，根据求古典概型的概率方法，可求解；‎ ‎（2）恰有2门选修课甲､乙､丙都没有选择，则3人总共选2门，先从4门课选出2门有种方法，将3名同学分为2组有种方法，然后每组各选一门课有方法，根据乘法原理，恰有2门选修课甲､乙､丙都没有选择有，即可求得结论；‎ ‎（3）随机变量可能值为，用求古典概型概率方法，分别求出，，，，求出分布列，进而求出期望；或利用每个人选课是相互对立的，而且每个人选门课的概率均为，随机变量服从二项分布，根据二项分布求出分布列和期望，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)根据分步计数原理总事件数是,满足条件的事件是 所以3个学生选择了3门不同的选修课的概率:‎ ‎(2)恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率:‎ ‎(3)解法1:由题意,‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 解法2,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查应用排列组合的方法求古典概型的概率，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数;‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)已知时,不等式恒成立;若函数的图像与轴交于,两点,线段中点的横坐标为,求证:.‎ ‎【答案】（1）当时,在单调增加；当时，在单调增加,在单调减少.（2）见解析 ‎【解析】（1）求出的定义域，求出，化简得到，对和分类讨论，即可求解；‎ ‎（2）由（1）可得函数的极大值为，的图像与轴交于,两点，可得，且,中一个大于,一个小于,设,,可得.由已知可得，，转化为，,，在单调递减，得，即可证明结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)的定义域为,.‎ ‎(ⅰ)若,则,所以在单调递增 ‎(ⅱ)若,则由得 且当时,,当时,.‎ 即在单调递增,在单调递减.‎ ‎(2)证明:由(1)可知当时,在单调增加,在单调减少.‎ 与轴有2个交点,则,且,中一个大于,一个小于,‎ 设,,则.‎ 因为,恒成立,‎ 所以,即 又,所以 因为,,又在单调递减,‎ 可知即,则,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用导数研究函数单调性、以及零点与极值的关系，利用单调性证明不等式，注意不等式等价转化，考查分类讨论思想，属于难题.‎