2019-2020学年天津市静海区第一中学高二上学期期末学生学业能力调研数学试题 解析版

2019-2020学年天津市静海区第一中学高二上学期期末学生学业能力调研数学试题 解析版

静海一中2019-2020第一学期高二数学期末 学生学业能力调研试卷 ‎ 考生注意：‎ 本试卷分第Ⅰ卷基础题（132分）和第Ⅱ卷提高题（18分）两部分，共150分。‎ 知 识 与 技 能 学习能力 总分 内容 解析几何 逻辑 不等式 数列 导数 立体 关键环节 ‎150‎ 分数 ‎35‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎30‎ ‎65‎ ‎10‎ ‎24‎ 第Ⅰ卷 基础题（共132分）‎ 一、 选择题: (每小题5分，共30分)‎ ‎1．已知数列，满足，若，则＝（　　）‎ A． B．‎2 ‎C．﹣1 D．1‎ ‎2．下列命题的说法错误的是（　　）‎ A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．‎ B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．‎ C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．‎ D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件 ‎3．设等差数列的前项和为，若，则等于　　‎ A．18 B．‎36 ‎C．45 D．60‎ ‎4．已知椭圆的两个焦点分别为，弦过点，若的周长为20，则的值为（ ）‎ A．5 B．－‎25 ‎C．25 D．5或－5‎ ‎5．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为双曲线：的右焦点，圆：与在第一象限、第三象限的交点分别为，，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ 二、填空题：(每小题5分，共40分) ‎ ‎7.已知第一象限内的点在直线上，则的最小值为______．‎ ‎8．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 -- =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.‎ ‎9．双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是_________‎ ‎10．已知函数，其中，R，若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是_______.‎ ‎11．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．则 的通项公式是______.；‎ ‎12．设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.‎ ‎13．已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是_______．‎ ‎14．已知函数， ，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题：(本大题共5小题，共80分)‎ ‎15.（16分）各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．‎ ‎（1）（4分）求证为等差数列并求数列、的通项公式；‎ ‎（2）若,数列的前n项和．‎ ‎①（6分）求；‎ ‎②（6分）若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎16．（16分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面， 为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.‎ ‎（1）（4分）求证：平面；‎ ‎（2）（6分）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）（6分）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎17.（15分）已知函数 ‎(1)(7分)讨论函数的单调性 ‎（2）（8分）设，证明：对任意，‎ 18. ‎（15分）求导研究函数的性质是高考的热点，而求导后正负号的确定是一个重要的环节，请判断下列导函数的正负号。‎ （1） ‎（3分）‎ （2） ‎（3分）=‎ （3） ‎（3分）=‎ （4） ‎（3分）‎ （5） ‎（3分）请结合题目的解答过程，总结求导后判断正负号的方法。‎ 18. ‎（18分）如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的鞘园C:经过点，且经过点作斜率为的直线交椭圆C与A、B两点(A在轴下方).‎ ‎ (1)（5分）求椭圆C的方程；‎ ‎(2)（6分）过点且平行于的直线交椭圆于点M、N，求的值；‎ ‎ (3)（7分）记直线与轴的交点为P，若，求直线的斜率的值.‎ 静海一中2019-2020第一学期高三数学（12月）‎ 学生学业能力调研试卷答题纸 得分框 知识与技能 学习能力 ‎（学法）‎ 习惯养成 ‎（卷面整洁）‎ 总分 ‎（备课组长阅）‎ 第Ⅰ卷 基础题（共135分）‎ 二、填空题（每题4分，共32分）‎ ‎7._________ 8. 9._________ 10.________11._________ 12._________ 13._________ 14._________ ‎ 三、解答题（本大题共4题，共88分）‎ ‎15.（15分）‎ ‎16.(15分）‎ E FE PE DE CDE BACDE ACDE ‎17.（13分）‎ ‎18.（15分）‎ 第Ⅱ卷 提高题（共15分）‎ ‎19.（15分）‎ 静海一中2019-2020第一学期高二数学期末 学生学业能力调研试卷 ‎ 考生注意：‎ 本试卷分第Ⅰ卷基础题（132分）和第Ⅱ卷提高题（18分）两部分，共150分。‎ 知 识 与 技 能 学习能力 总分 内容 解析几何 逻辑 不等式 数列 导数 立体 关键环节 ‎150‎ 分数 ‎35‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎30‎ ‎65‎ ‎10‎ ‎24‎ 第Ⅰ卷 基础题（共132分）‎ 一、 选择题: (每小题5分，共30分)‎ ‎1．已知数列，满足，若，则＝（ ）‎ A． B．‎2 ‎C．﹣1 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列满足，，‎ ‎，，故选A．‎ ‎2．下列命题的说法错误的是（ ）‎ A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．‎ B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．‎ C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．‎ D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件 ‎【答案】D ‎3．设等差数列的前项和为，若，则等于 ‎ A．18 B．‎36 ‎C．45 D．60‎ ‎【答案】C ‎4．已知椭圆的两个焦点分别为，弦过点，若的周长为20‎ ‎，则的值为（ ）‎ A．5 B．－‎25 ‎C．25 D．5或－5‎ ‎【答案】D ‎5．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若函数在内单调递减，即当时，，,如图所示，‎ ‎ ‎ 函数是一个开口向上的二次函 数，设其两个零点分别为，0）、（，0），其中,‎ 则有且，易见有，既有解得，故选A。‎ ‎6．为双曲线：的右焦点，圆：与在第一象限、第三象限的交点分别为，，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：不妨设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可得：四边形为矩形，‎ 则为直角三角形，设，，则，解得，即，即，则，则，得，故选：A.‎ 二、填空题：(每小题5分，共40分) ‎ ‎7.已知第一象限内的点在直线上，则的最小值为_9__．‎ ‎8．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 -- =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___6___.‎ 因为抛物线x2=2py的准线和双曲线-=1相交交点横坐标为 ‎9．双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是 ‎10．已知函数，其中，R，若函数仅在处有极值，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【解】，如果仅在处有极值，那么的,∴.‎ ‎11．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．则 的通项公式是______.；‎ 12． 设点为函数上任意一点，点为直线上任意一点，则，两点距离的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，由，则 ，由已知有，化简得, 解得：，则，两点距离的最小值为点到直线的距离，由点到直线的距离公式 ‎，故答案为：.‎ ‎13．已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在上单调递增，‎ 所以的值域为集合，函数，开口向下，对称轴为，‎ 所以在上单调递减，所以的值域为集合 因为任意的，总存在，使得，所以可得，‎ 所以，解得故答案为：‎ ‎14．已知函数， ，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：函数的导函数,，若,,为增函数;若,或,为减函数；在上有极值,在处取极小值也是最小值；,对称轴,,当时,在处取最小值；当时,在处取最小值；当时,在上是减函数,；对任意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,当时,,‎ 计算得出,故无解;当时,,计算得出,综上:,因此，本题正确答案是:.‎ ‎ ‎ 三、解答题：(本大题共5小题，共80分)‎ ‎15.（16分）各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．‎ ‎（1）（4分）求证为等差数列并求数列、的通项公式；‎ ‎（2）若,数列的前n项和．‎ ‎①（6分）求；‎ ‎②（6分）若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）,（2）①; ②‎ ‎【解析】(1)∵,∴.‎ ‎∴,∴,又各项为正,‎ ‎∴,∴开始成等差,又, ∴,‎ ‎∴ ∴为公差为3的等差数列,∴,,‎ ‎∴．(2),①,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎,,‎ ‎​∴．‎ ‎②恒成立,‎ ‎∴,‎ 即恒成立,设,,‎ 当时,;当时,∴,‎ ‎∴．‎ ‎16．（16分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.‎ ‎ ‎ ‎（1）（4分）求证：平面；‎ ‎（2）（6分）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）（6分）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）在线段上存在一点满足题意，且 ‎【解析】‎ ‎（1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接，‎ 在中，分别为的中点，所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 则，所以.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即解得 令，得 所以平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ ‎ ，据此可得 ，‎ 则平面的一个法向量为，‎ ‎，于是.‎ 故二面角的正弦值为.‎ ‎（3）设存在点满足条件.‎ 由，‎ 设，整理得，‎ 则.‎ 因为直线与平面所成角的大小为，‎ 所以 解得，‎ 由知，即点与重合.‎ 故在线段上存在一点，且.‎ ‎17.（15分）已知函数 ‎(1)(7分)讨论函数的单调性 ‎（2）（8分）设，证明：对任意，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）解：的定义域为，。‎ 当时，，故在单调递增；‎ 当时，，故在单调递减；‎ 当时，令，解得。由于在上单调递减，故当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减。‎ ‎（Ⅱ）证明：不妨假设．由于，故在单调递减。‎ ‎∴等价于。‎ 即。‎ 令，则。‎ 于是。‎ 从而在单调递减，故，‎ 即，故对任意。‎ 考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用。‎ ‎ ‎ 18. ‎（15分）求导研究函数的性质是高考的热点，而求导后正负号的确定是一个重要的环节，请判断下列导函数的正负号。‎ （1） ‎（3分）‎ （2） ‎（3分）=‎ （3） ‎（3分）=‎ （4） ‎（3分）‎ （5） ‎（3分）请结合题目的解答过程，总结求导后判断正负号的方法。‎ ‎ ‎ 19. ‎（18分）如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的鞘园C:经过点，且经过点作斜率为的直线交椭圆C与A、B两点(A在轴下方).‎ ‎ (1)（5分）求椭圆C的方程；‎ ‎(2)（6分）过点且平行于的直线交椭圆于点M、N，求的值；‎ ‎(3)（7分）记直线与轴的交点为P，若，求直线的斜率的值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得e2，．又a2＝b2+c2，，解得b2；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y＝k（x﹣1）．‎ 联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，可设直线MN方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2＝8，由MN∥l，得由（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．得（xM﹣xN）2＝4x2即可；‎ ‎（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，则y＝﹣k，所以P（0，﹣k），从而 ，由得 即 ①，由（2）知②，由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为椭圆C：1经过点所以．‎ 又∵a2＝b2+c2，，解得b2＝4或b2＝8（舍去）．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 因为T（1，0），则直线l的方程为y＝k（x﹣1）．‎ 联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，‎ 所以x1+x2，x1x2．‎ 因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，‎ 联立直线MN与椭圆方程 消去y得（2k2+1）x2＝8，‎ 解得x2‎ 因为MN∥l，所以 因为（1﹣x1）•（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．‎ ‎（xM﹣xN）2＝4x2．‎ 所以．‎ ‎（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，则y＝﹣k，所以P（0，﹣k），‎ 从而 ，‎ ‎∵，①‎ 由（2）知②‎ 由①②得 代入x1x2⇒50k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2＝2或k2（舍）．‎ 又因为k＞0，所以k．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎