数学理卷·2019届安徽省六安市舒城中学高二下学期期中考试（2018-04）

数学理卷·2019届安徽省六安市舒城中学高二下学期期中考试（2018-04）

舒城中学2017—2018学年度第二学期期中考试 高二理数 一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)‎ ‎1．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的 （ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．如果将一组数据中的每一个样本数据都加上同一个非零常数,那么这组数据的 （ ）‎ A. 平均数与方差都不变 B. 平均数不变,方差改变 C. 平均数改变,方差不变 D. 平均数和方差都改变 ‎3．下列推理过程是演绎推理的是 （ ）‎ A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B．某校高二班有人，班有人，由此得高二所有班人数都超过人 C．两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则 D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式 ‎4.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （ ）‎ A.56 B.60 C.120 D.140‎ ‎5．函数的图象大致是 （ ）‎ 舒中高二期中理数 第2页 (共4页)‎ A． B． C. ‎ ‎ D．‎ ‎6. 设函数，计算的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示. （ ）‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间 ‎[139,151]上的运动员人数是 （ ）‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎8.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件 是（ ）‎ A.s≤? B.s≤? ‎ C.s≤? D.s≤?‎ ‎10．设椭圆和双曲线的公共焦点分别为， ‎ 是这两曲线的交点，则的外接圆半径为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. 3‎ ‎11．定义在上的函数，满足，为的导函数，且，‎ 若，且，则有 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．不确定 ‎12．从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若 OP＝，则球的体积为 （ ）‎ A. B. C. D. 二． 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.某市有高中生3万人，其中女生4千人．为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150人的样本，则样本中女生的数量为__________． ‎ ‎14．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 __________． ‎ ‎15．一名小学生的年龄和身高的数据如下表.由散点图可知,身高y(单位:cm)与年龄x(单位:岁)之间的线性回归方程为=8.8x+,预测该学生10岁时的身高约为 __________ cm． ‎ 年龄x ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 身高y ‎118‎ ‎126‎ ‎136【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎144‎ ‎16. 已知函数.若对，总有，则实数的取值范围为________． ‎ 三. 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）‎ ‎17.(本小题满分10分)“世界睡眠日”定在每年的3月21日,某网站于2017年3月14日到3月20日持续一周网上调查公众日平均睡眠的时间(单位:小时),共有2‎ ‎ 000人参加调查,现将数据整理分组后如下表所示.‎ 序号(i)‎ 分组睡眠时间 组中值(mi)‎ 频数(人数)‎ 频率(fi)‎ ‎1‎ ‎[4,5)‎ ‎4.5‎ ‎80‎ ‎2‎ ‎[5,6)‎ ‎5.5‎ ‎520‎ ‎0.26‎ ‎3‎ ‎[6,7)‎ ‎6.5‎ ‎600‎ ‎0.30‎ ‎4‎ ‎[7,8)‎ ‎7.5‎ ‎5‎ ‎[8,9)‎ ‎8.5‎ ‎200‎ ‎0.10‎ ‎6‎ ‎[9,10]‎ ‎9.5‎ ‎40‎ ‎0.02‎ ‎(1)求出表中空白处的数据,并将表格补充完整。.‎ ‎(2)为了对数据进行分析,采用了计算机辅助计算.‎ 程序框图如图所示,求输出的S值,并说明S的统计意义.‎ ‎ ‎ 舒中高二期中理数 第4页 (共4页)‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥 中,底面为直角梯形, ∥， ，平面底面，为的中点，是棱上的点， ‎ ‎ ‎ ‎（1）若是棱 的中点,求证: ； ‎ ‎（2）若二面角的大小为,试求的值．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知抛物线 上一点到焦点的距离为 ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．(本小题满分12分)已知椭圆 ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．(本小题满分12分) ‎ 已知函数，，其中．‎ ‎（）若在处取得极值，求的值．‎ ‎（）求的单调区间．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知函数且恒成立.‎ ‎(1) 求实数的值；‎ ‎(2)证明：存在唯一的极大值点，且 ‎ ‎ ‎ ‎2017-2018 学年度第二学期期中考试 高二年级 数学学科试卷（理）答案 ‎ ‎ 选择题 DCCDB BBCCD AC 二． 填空题 20, 153 ‎ 三、解答题 ‎ ‎17.(本小题满分10分)“ ‎ 解:(1) 0.04,560,0.28‎ ‎(2)由程序框图输出S=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.7,‎ S的统计意义即指参与调查者的日平均睡眠时间.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 解：证明：（Ⅰ）连接，交于,连接，‎ 且，即且，‎ ‎∴四边形为平行四边形,故为的中点.又∵点是棱的中点, ‎ ‎. ∵平面，平面，∴． ‎ ‎（Ⅱ）因为 为的中点, 则．‎ ‎∵平面平面,且平面平面 , ∴平面, ‎ ‎∵平面,∴ . ∵, 为的中点, ‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴, ‎ 又∵, ∴,即． ‎ 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系（如图），‎ 则, , , ， ， ， . ‎ 设，则.‎ 设平面的法向量为，‎ 由得，‎ 令，得平面 的一个法向量为， ‎ 又是平面的一法向量，二面角的大小为,‎ ‎∴, ‎ 解得 （舍），∴．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ ‎（2）∵点在抛物线上，且.∴‎ ‎∴，设过点的直线的方程为，即，‎ 代入得，‎ 设，，则，，‎ 所以.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ ‎20．解：(1) e＝.‎ ‎(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：‎ 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.‎ 当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，‎ 故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝，‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．‎ 当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.‎ 圆心O到直线AB的距离d＝.‎ 又x＋2y＝4，t＝－，故d＝＝＝.‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．‎ ‎21．(本小题满分12分) ‎ 解：（），∵在处取得极值，‎ ‎∴，即，解得，经检验，符合题意，∴．‎ ‎（），∵，，∴，‎ ‎①当时，在区间上，，‎ ‎∴的单调增区间为．‎ ‎②当时，由解得，由，解得，‎ 综上，当时，的单调增区间为，‎ 当时，的单调减区间为，单调增区间为．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 解：（1），∵,∴恒成立。令，问题等价于恒成立。∵，‎ 当时，在R上单调递增，又，当，与题设矛盾，‎ 当时，在上单减，在上单增。∴恒成立等价于，即，令，，∴在上单增，在上单减，又，∴不等式的解为，综上，‎ 另法：对任意恒成立，利用切线来求也可以酌情给分 ‎（2）证明：，令，∴在上单减，在上单增，，∵，由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，设此根为，且。从而有俩个零点和0，∴在上单增，在上单减，在上单增。从而存在唯一的极大值点，由得，∴，又∴等号不能成立，∴得证