2018届二轮复习函数的图像与性质学案理（全国通用）
专题02 函数的图像与性质
函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．
预计2018年高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．
1．函数
(1)映射：集合A(A中任意x)集合B(B中有唯一y与A中的x对应)．
(2)函数：非空数集A―→非空数集B的映射，其三要素：定义域A、值域C(C⊆B)、对应法则f.
①求函数定义域的主要依据：
(Ⅰ)分式的分母不为零；
(Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零；
(Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；
(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
(Ⅴ)正切函数y＝tanx中，x的取值范围是x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z.
②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法．
③函数图象在x轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y轴上的正投影对应函数的值域．
2．函数的性质
(1)函数的奇偶性
如果对于函数y＝f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)．
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、
x2∈D，当x1
f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．
判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等．
(3)函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．
(4)最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M (或f(x)≥M)；
②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
3．函数图象
(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：
①会画各种简单函数的图象；
②能依据函数的图象判断相应函数的性质；
③能用数形结合的思想以图辅助解题．
(2)利用基本函数图象的变换作图
①平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－h)，
y＝f(x)y＝f(x)＋k.
③对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝f(2a－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．
4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.
考点一 函数表示及定义域、值域
例1、(1)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
解析：基本法：由已知得－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，所以函数f(2x＋1)的定义域为，选B.
答案：B
(2)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【变式探究】设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：基本法：f＝3×－b＝－b，
当－b≥1，即b≤时，f＝2－b，
即2－b＝4＝22，得到－b＝2，即b＝；
当－b＜1，即b＞时，f＝－3b－b＝－4b，
即－4b＝4，得到b＝＜，舍去．
综上，b＝，故选D.
答案：D
考点二 函数的奇偶性 对称性
例2、【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D.
【变式探究】(1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：基本法：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B.|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
速解法：y＝f(x)是奇函数，则y＝|f(x)|为偶函数．
故f(x)·g(x)＝奇，A错，|f(x)|g(x)＝偶，B错．
f(x)|g(x)|＝奇，C正确．
答案：C
【变式探究】已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2 016，则g(x)的最大值与最小值之和为( )
A．0 B．1
C．2 016 D．4 032
答案：D
考点三 函数单调性、周期性与对称性
例3、(1)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：基本法：∵函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)对任意x恒成立，
令x＝1，得f(1)＝f(3)＝3，
∴f(－1)＝f(1)＝3.
速解法：由题意y＝f(x)的图象关于x＝0和x＝2对称，则周期T＝4.
∴f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝3.
答案：3
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a
满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1,2] B.
C. D．(0,2]
解析：基本法：∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，
∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.
∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.
综上可知≤a≤2.
答案：C
【方法技巧】
1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法．
2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
3．若函数f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f(x1)b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .
【答案】4 2
【解析】设，因为，
因此
7.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.
【答案】
8.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；
当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
【答案】②③
【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.
9.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）
（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2
【答案】D
【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.
10.【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}
【答案】C
11.【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 ▲ .
【答案】
【解析】，
因此
12.【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 ▲ .
【答案】
【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：，
13.【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【2015高考湖北，理6】已知符号函数 是上的增函数，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【2015高考安徽，理15】设，其中
均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有
一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）
①；②；③；④；⑤.
【答案】①③④⑤
【解析】令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以
，
，要使方程仅有一根，则或者
，解得或，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.
【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．
【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．
【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.
【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a=
【答案】1
【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1.
【2015高考安徽，理9】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A），， （B），，
（C），， （D），，
【答案】C
【2015高考新课标2，理10】如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）
D
P
C
B
O
A
x
【答案】B
1．（2014·安徽卷）设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
【答案】A 【解析】由已知可得，f＝f＋sin＝f＋sin＋sin ＝f＋sin＋sin＋sin＝2sin ＋sin＝sin＝.
2．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.
3．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【答案】D 【解析】由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；
当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；
当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；
∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
4．（2014·江西卷）函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【答案】C 【解析】由x2－x>0，得x>1或x<0.
5．（2014·山东卷）函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞) D. ∪[2，＋∞)
【答案】C 【解析】根据题意得，解得故选C.
6．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
7．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【答案】D 【解析】由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；
当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；
当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；
∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
8．（2014·四川卷）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
【答案】1 【解析】由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.
9．（2014·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
10．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，
则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.
故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，
则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
解得e－20，g(1)＝1－a>0.
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－20，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
A B
C D
16．（2014·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，
观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.故选B.
17．（2014·山东卷）已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. (1，2) D. (2，＋∞)
【答案】B 【解析】 画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，则函数f(x)，g(x)有两个交点，则k＞，且k＜1.故选B.
18．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是( )
A B
C D
图12
【答案】D 【解析】 只有选项D符合，此时0
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