高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题二第2讲课时训练提能

高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题二第2讲课时训练提能

专题二 第2讲　三角恒等变换与解三角形 课时训练提能 ‎[限时45分钟，满分75分]‎ 一、选择题(每小题4分，共24分)‎ ‎1．(2012·三明模拟)已知0＜α＜π，且tan α＝，则cos α等于 A．－　　 　 B. C．－　　 　 D. 解析　∵0＜α＜π，tan α＝＞0，∴0＜α＜，‎ 由tan α＝＝，且sin2α＋cos2α＝1，‎ 得cos α＝.‎ 答案　D ‎2．(2012·门头沟一模)在△ABC中，已知∠A＝，∠B＝，AB＝1，则BC为 A.－1 B.＋1‎ C. D. 解析　∵A＝，B＝，∴C＝，‎ 由正弦定理可得BC＝·sin A ‎＝×sin ＝－1.‎ 答案　A ‎3．(2012·济宁一模)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于 A. B. C.或 D.或 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 即1＝a2＋3－2a×，‎ 化简得a＝1或a＝2.‎ ‎∴S△ABC＝ac sin B＝或.‎ 答案　C ‎4．(2012·宜春模拟)设A，B，C∈，且sin A－sin C＝sin B，cos A＋cos C＝cos B，则B－A等于 A．－ B. C．－ D.或 解析　由已知条件得：sin C＝sin A－sin B，cos C＝cos B－cos A，‎ 两式平方相加，得1＝2－2cos(B－A)，∴cos(B－A)＝.‎ ‎∵sin C＝sin A－sin B＞0，∴sin A＞sin B.‎ 又∵A，B∈，∴A＞B.∴B－A＜0.‎ 又∵B－A∈，∴B－A＝－.‎ 答案　A ‎5．如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别为β和α(α＜β)，则A点距地面的高AB等于 A. B. C. D. 解析　AB＝ACsin β，＝＝ 解得AC＝，∴AB＝.‎ 答案　A ‎6．(2012·临沂一模)在△ABC中，a＝4，b＝，5cos (B＋C)＋3＝0，则角B的大小为 A. B. C. D. 解析　由5cos(B＋C)＋3＝0得5cos A＝3，cos A＝，‎ 所以sin A＝，因为a＞b，‎ 所以A＞B，即B为锐角，‎ 由正弦定理知＝，‎ 所以sin B＝＝＝.‎ 所以B＝，选A.‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎7．(2012·青岛二模)若tan α＝2，则sin αcos α＝________.‎ 解析　sin αcos α＝＝＝.‎ 答案　 ‎8．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.‎ 解析　因为在△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，‎ 且＝2，sin2A＋cos2A＝1，‎ 联立方程组，解得sin A＝.‎ 再由正弦定理，得＝.‎ 代入数据，解得a＝2.‎ 答案　　2 ‎9．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．‎ 解析　由已知条件及三角函数的定义可得sin C＝，在△ADC中利用正弦定理即可求解．‎ 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cos C＝，∴sin C＝；‎ 在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.‎ 答案　 三、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎10．(2012·沈阳模拟)如图已知A，B，C是一条直路上的三点，AB＝‎1 km，BC＝‎2 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东60°，在B处看见塔在正东方向，在C处南偏东60°，求塔M到直线ABC的最短距离．‎ 解析　由条件可知∠CMB＝30°，∠AMB＝30°，‎ 又AB＝1 km，BC＝2 km，‎ 所以△CMB和△AMB的面积比为2∶1，‎ 即，所以MC＝2MA；‎ 在△ACM中，由余弦定理可得：‎ ‎9＝MC2＋MA2－2·MC·MA·cos 60°，MA＝，‎ ‎△ACM为直角三角形，‎ M到ABC的最短距离为.‎ ‎11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．‎ 解析　(1)解法一　由正弦定理＝＝＝2R，‎ 得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，‎ c＝2Rsin C，代入＝－，‎ 得＝－，‎ 即2sin Acos B＋sin Ccos B＋cos Csin B＝0，‎ 所以2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0.‎ 又A＋B＋C＝π，‎ 所以sin(B＋C)＝sin A.‎ 所以2sin Acos B＋sin A＝0.‎ 又sin A≠0，所以cos B＝－.‎ 又角B为三角形的内角，所以B＝.‎ 解法二　由余弦定理cos B＝，cos C＝，‎ 代入＝－，得·＝－.‎ 整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，‎ 所以cos B＝＝＝－.‎ 又角B为三角形的内角，所以B＝.‎ ‎(2)将b＝，a＋c＝4，B＝代入余弦定理b2＝a2＋c2－‎2ac·cos B，‎ 得13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ，‎ 整理，得a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.‎ ‎12．(2012·广州模拟)已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m＝(a，cos B)，n＝(cos A，－b)，a≠b，已知m⊥n.‎ ‎(1)判断三角形的形状，并说明理由；‎ ‎(2)若y＝，试确定实数y的取值范围．‎ 解析　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴acos A－bcos B＝0.‎ 由正弦定理知，＝，‎ ‎∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.‎ ‎∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.‎ ‎∴A＝B(舍去)，A＋B＝.‎ 所以三角形ABC是直角三角形．‎ ‎(2)∵sin B＝cos A，∴y＝.‎ ‎∵sin A＋cos A＝sin，A∈，A＋∈.‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴sin A＋cos A∈(1，]，‎ 令sin A＋cos A＝t∈(1，]，sin Acos A＝，‎ ‎∴x＝＝.‎ ‎∵t－在(1，)单调递增，‎ ‎∴0＜t－≤－＝.‎ ‎∴x≥2，∵a≠b，故x的取值范围为(2，＋∞)．‎