数学卷·2018届江西省吉安一中高二上学期期中考试数学文试卷（解析版）

数学卷·2018届江西省吉安一中高二上学期期中考试数学文试卷（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江西省吉安一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（　　）‎ A．2 B．4+2 C．4+4 D．6+4‎ ‎2．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）‎ A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 ‎4．已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为（　　）‎ A．9 B．3 C．2 D．2‎ ‎5．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0‎ C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0‎ ‎6．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ A．x=l B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣2‎ ‎7．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）‎ A． B．4π C．2π D．‎ ‎8．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线 B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线 C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行 ‎9．a，b是方程mx2+nx﹣2=0的两个不等的实数根，且点M（m，n）在圆C：x2+y2=1上，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与圆C的位置关系（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．随m，n的变化而变化 ‎10．已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2=1上的动点，且=0，则•的取值是（　　）‎ A．[，1] B．[1，9] C．[，9] D．[，3]‎ ‎11．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在线段BB1和线段A1B1上移动，∠EAB=θ，θ∈（0，），过直线AE，AD的平面ADFE将正方体分成两部分，记棱BC所在部分的体积为V（θ），则函数V=V（θ），θ∈（0，）的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．抛物线x=4y2的准线方程是　　．‎ ‎14．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为　　．‎ ‎15．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为　　．‎ ‎16．如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，‎ 下列四个命题中：‎ ‎①BC⊥面PAC； ②AF⊥面PBC；‎ ‎③EF⊥PB； ④AE⊥面PBC．‎ 其中正确命题的是　　．（请写出所有正确命题的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．‎ ‎（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；‎ ‎（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求过与椭圆相切的直线方程．‎ ‎19．（12分）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．‎ ‎（1）求过M点的圆的切线方程；‎ ‎（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相切，求a的值．‎ ‎21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；‎ ‎（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎22．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）过抛物线上的一个点M（1，2）作两条垂直的直线MP，MQ分别交抛物线于P，Q两点，试问：直线PQ是否过定点，如果过，请求出来，不过，请说明理由．‎ ‎（3）求原点O到直线PQ的最大距离为多少？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省吉安一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（2016•厦门模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（　　）‎ A．2 B．4+2 C．4+4 D．6+4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．‎ ‎【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的侧面积．‎ ‎【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，‎ 底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，‎ 且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，‎ ‎∴几何体的侧面积S==4+4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三视图求几何体的侧面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎2．（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．‎ ‎【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，‎ 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，‎ 故前者是后者的充分条件，‎ ‎∵当两条直线平行时，得到，‎ 解得a=﹣2，a=1，‎ ‎∴后者不能推出前者，‎ ‎∴前者是后者的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•赫章县校级模拟）在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）‎ A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由已知得EF∥BD．由此能证明EF∥平面BCD．由已知条件推导出HG∥BD．HG∥EF．EF≠HG．从而得到四边形EFGH为梯形．‎ ‎【解答】解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4，‎ ‎∴EF∥BD．‎ 又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，‎ ‎∴EF∥平面BCD．‎ 又在平面BCD内，‎ ‎∵H，G分别是BC，CD的中点，‎ ‎∴HG∥BD．∴HG∥EF．‎ 又，∴EF≠HG．‎ 在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，‎ ‎∴四边形EFGH为梯形．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时发注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•济南二模）已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为（　　）‎ A．9 B．3 C．2 D．2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】求出圆的圆心，代入直线方程即可求出m的值，然后求出圆的半径．‎ ‎【解答】解：因为圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，‎ 所以直线经过圆的圆心，‎ 圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0的圆心坐标（1，﹣），‎ 所以2×1﹣=0，m=4．‎ 所以圆的半径为：=3‎ 故选B ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，求出圆的圆心坐标代入直线方程，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2016秋•青原区校级期中）命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2+2x﹣1≥0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0‎ C．∃x∈R，x2+2x﹣1≥0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【专题】计算题；简易逻辑．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知：∀x∈R，x2+2x﹣1＜0的否定为∃x∈R，x2+2x﹣1≥0，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•湖北模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ A．x=l B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线过其焦点且斜率为﹣1，可得方程为y=﹣．与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得P，即可得到抛物线的准线方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由于直线过其焦点且斜率为﹣1，可得方程为y=﹣．‎ 联立，‎ 化为，‎ ‎∴x1+x2=3p=2×3，‎ 解得p=2．‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）‎ A． B．4π C．2π D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．‎ ‎【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，‎ ‎∴正四棱柱体对角线的长为=2‎ 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，‎ ‎∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1‎ 根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•青原区校级期中）若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线 B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线 C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行 ‎【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【专题】对应思想；分析法；空间位置关系与距离；简易逻辑．‎ ‎【分析】A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行； ‎ B，垂直于同一平面的两条直线一定平行； ‎ C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β或 n⊂β； ‎ D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或相交，‎ ‎【解答】解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行，故错； ‎ 对于B，垂直于同一平面的两条直线一定平行，故正确； ‎ 对于C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β或 n⊂β，故错； ‎ 对于D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或相交，故错，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•东湖区校级模拟）a，b是方程mx2+nx﹣2=0的两个不等的实数根，且点M（m，n）在圆C：x2+y2=1上，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与圆C的位置关系（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．随m，n的变化而变化 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；直线与圆．‎ ‎【分析】a，b是方程mx2+nx﹣2=0的两个不等的实数根，利用韦达定理表示出两根之和，再由A和B的坐标，利用直线斜率的公式求出直线AB的斜率，利用平方差公式化简约分后得到结果，将两根之和代入表示出斜率，由A和斜率写出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，整理后得到d=r，可得出直线AB与圆相离．‎ ‎【解答】解：∵a，b是方程mx2+nx﹣2=0的两个不等的实数根，‎ ‎∴a+b=﹣，ma2+na﹣2=0，‎ ‎∵A（a，a2）和B（b，b2），‎ ‎∴直线AB的斜率为=b+a=﹣，‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣a2=﹣（x﹣a），即nx+my﹣ma2﹣na=0，‎ 由圆x2+y2=1，得到圆心（0，0），半径r=1，‎ ‎∵圆心到直线AB的距离d==2＞r，‎ ‎∴直线AB与圆的位置关系是相离．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，韦达定理，涉及的知识有：直线的两点式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•厦门模拟）已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2=1上的动点，且=0，则•的取值是（　　）‎ A．[，1] B．[1，9] C．[，9] D．[，3]‎ ‎【考点】圆锥曲线与平面向量；平面向量数量积的运算；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【专题】计算题；规律型；转化思想；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用=0，可得•=•（﹣）=，设A（2cosα，sinα），可得=（2cosα﹣1）2+sin2α，即可求解数量积的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵=0，可得 •=•（﹣）=，‎ 设A（2cosα，sinα），‎ 则=（2cosα﹣1）2+sin2α=3cos2α﹣4cosα+2=3（cosα﹣）2+，‎ ‎∴cosα=时，的最小值为；cosα=﹣1时，的最大值为9，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•榕城区校级期中）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：由椭圆的性质可知：‎ AB=2c，AC=AB=a，OC=b，‎ SABC=AB•OC=•2c•b=bc，‎ SABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，‎ ‎∴=bc，a=2c，‎ 由e==，‎ 故答案选：C．‎ ‎【点评】本题主要考察椭圆的基本性质，考察三角形的面积公式，离心率公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•广东模拟）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在线段BB1和线段A1B1上移动，∠EAB=θ，θ∈（0，），过直线AE，AD的平面ADFE将正方体分成两部分，记棱BC所在部分的体积为V（θ），则函数V=V（θ），θ∈（0，）的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据条件求出V=V（θ）的表达式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当时，BE=tanθ，则三棱柱的体积为，‎ 当θ∈（，）时，AE=tan（﹣θ）=cotθ，‎ 则棱BC所在部分的体积为V（θ）=1﹣tan（﹣θ），‎ 则函数V=V（θ），θ∈（0，）的图象关于点对称，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件求出体积的表达式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（2016秋•青原区校级期中）抛物线x=4y2的准线方程是　x=﹣　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】抛物线方程化为标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线x=4y2，化为y2=x，‎ ‎∴2p=，‎ ‎∴p=，开口向右，‎ ‎∴准线方程是x=﹣．‎ 故答案为x=﹣．‎ ‎【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•开封一模）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为　120°　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，‎ ‎∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．‎ 在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，‎ ‎∴∠F1PF2=120°．‎ 故答案为：120°‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（2010•韶关模拟）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【专题】计算题；数形结合．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=|PQ|表示圆上的点到可行域的距离，只需求出圆心到可行域的距离的最小值即可．‎ ‎【解答】解：根据约束条件画出可行域 z=|PQ|表示圆上的点到可行域的距离，‎ 当在点A处时，‎ 求出圆心到可行域的距离内的点的最小距离，‎ ‎∴当在点A处最小，|PQ|最小值为，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（2013秋•聊城期末）如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，‎ 下列四个命题中：‎ ‎①BC⊥面PAC； ②AF⊥面PBC；‎ ‎③EF⊥PB； ④AE⊥面PBC．‎ 其中正确命题的是　①②③　．（请写出所有正确命题的序号）‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】根据已知中，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，结合线面垂直的判定定理，我们逐一对已知中的四个结论进行判定，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵PA⊥⊙O所在的平面，‎ ‎∴PA⊥BC，‎ 又∵AB是⊙O的直径 ‎∴AC⊥BC，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥面PAC，故①正确；‎ 又由AF⊂平面PAC ‎∴AF⊥BC，结合AF⊥PC于F，‎ 由线面垂直的判定定理，可得AF⊥面PBC，故②正确；‎ 又∵AE⊥PB于E，结合②的结论 我们易得EF⊥平面PAB 由PB⊂平面PAB，可得PB⊥EF，故③正确；‎ 由②的结论，及过一点有且只一条直线与已知平面垂直，故④错误；‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握线面垂直的判定定理，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2016春•随州期末）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．‎ ‎（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；‎ ‎（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程．‎ ‎【专题】待定系数法．‎ ‎【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用 l在两坐标轴上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．‎ ‎（2）把直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得 ，解不等式组求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2． 令y=0，得（a≠﹣1）．‎ ‎∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．‎ ‎∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．‎ ‎（2）直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，‎ ‎∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．‎ ‎【点评】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•青原区校级期中）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求过与椭圆相切的直线方程．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆焦点在x轴上，求得直线与坐标轴的交点坐标，则，c=2，a2=b2+c2=10，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）方法一：由（1）可知椭圆，在椭圆上，求导，整理得：y′=﹣，由切线的几何意义可知：k=y′=﹣，由直线的点斜式方程即可求得椭圆切线方程；‎ 方法二：由椭圆上点（x0，y0）的切线方程为：，将代入即可求得椭圆切线方程．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可知：椭圆焦点在x轴上，‎ 直线与坐标轴的交点为：（0，），（2，0），‎ ‎∴，F（2，0），‎ ‎∴，c=2，‎ a2=b2+c2=10，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）方法一：由（1）可知椭圆，在椭圆上，‎ 求导，整理得：y′=﹣，‎ 由导数的几何意义可知：椭圆在切线方程的斜率k=y′（x=，y=）=﹣，‎ 则直线的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣），整理得：，．‎ ‎∴过与椭圆相切的直线方程为．‎ 方法二：由（1）可知椭圆，在椭圆上，‎ 由椭圆上点（x0，y0）的切线方程为：，‎ 代入即可求得：切线方程为，‎ 过与椭圆相切的直线方程为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的切线方程的应用，考查导数的几何意义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•浦城县期中）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用对数函数的定义域是R求得p真，不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，求出q真时x的范围，再由真值表作出解答即可．‎ ‎【解答】解：∵命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，‎ ‎∴ax2﹣x+a＞0恒成立，⇒‎ 解得a＞1；‎ ‎∵命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，令g（x）=3x﹣9x，‎ ‎∵g（x）=3x﹣9x=﹣（3x﹣）2+＜0，‎ ‎∴a≥0．‎ ‎∵“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，‎ ‎∴命题p与命题q一真一假．‎ 若p真q假，则a∈∅；‎ 若p假q真，即，则0≤a≤1．‎ 综上所述，实数a的取值范围：[0，1]．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求得分别求得p真与q真时x的范围是关键，突出考查函数恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•青原区校级期中）已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．‎ ‎（1）求过M点的圆的切线方程；‎ ‎（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相切，求a的值．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【专题】计算题；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，可得当直线的斜率不存在时方程为x=3，符合题意．而直线的斜率存在时，利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算，得到切线方程为3x﹣4y﹣5=0，即可得到答案．‎ ‎（2）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，‎ ‎∴圆心C（1，2），半径r=2，‎ ‎①当过M点的直线的斜率不存在时，方程为x=3，‎ 由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3﹣1=2=r知，此时直线与圆相切．‎ ‎②当直线的斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0．‎ 根据题意，可得=2，解得k=，此时切线方程为y﹣1=（x﹣3），即3x﹣4y﹣5=0‎ 综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0．‎ ‎（2）由题意，直线ax﹣y+4=0到圆心的距离等于半径，‎ 可得，解之得a=0或．‎ ‎【点评】本题给出直线与圆相切，求切线的方程与参数a的值．着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•揭阳校级模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；‎ ‎（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（I）取AB的中点M，根据，得到F为AM的中点，又E为AA1的中点，根据三角形中位线定理得EF∥A1M，从而在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1DBM为平行四边形，进一步得出EF∥BD．最后根据线面平行的判定即可证出EF∥平面BC1D．‎ ‎（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC上存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG与AC的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．‎ ‎【解答】证明：（I）取AB的中点M，∵，∴F为AM的中点，‎ 又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，‎ ‎∴A1D∥BM，A1D=BM，‎ ‎∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD ‎∴EF∥BD．‎ ‎∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，‎ ‎∴EF∥平面BC1D．‎ ‎（II）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，‎ 则，‎ ‎∵=‎ ‎=‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴AG=．‎ 所以符合要求的点G不存在．‎ ‎【点评】本题考查线面平行，考查棱柱、棱锥、棱台的体积的计算，解题的关键是利用线面平行的判定证明线面平行，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•青原区校级期中）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）过抛物线上的一个点M（1，2）作两条垂直的直线MP，MQ分别交抛物线于P，Q两点，试问：直线PQ是否过定点，如果过，请求出来，不过，请说明理由．‎ ‎（3）求原点O到直线PQ的最大距离为多少？‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由）抛物线y2=2px（p＞0）焦点F（﹣，0），则直线AB的方程是，代入抛物线方程，由韦达定理求得，则，即可求得p的值，求得该抛物线的方程；‎ ‎（2）设，，则=（﹣1，y1﹣2），=（﹣1，y2﹣2），由，求得y1y2+2（y1+y2）+20=0，直线PQ的方程，整理得：，直线PQ必过定点B（5，﹣2）；‎ ‎（3）由（2）可知原点O到直线PQ的最大距离为d=．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在x轴的正半轴，焦点F（﹣，0），‎ ‎∴直线AB的方程是，‎ ‎∴，整理得：4x2﹣5px+p2=0，‎ 由韦达定理可知：，‎ ‎∴，‎ ‎∴p=2，‎ ‎∴抛物线方程为y2=4x；‎ ‎（2）设，，‎ 则=（﹣1，y1﹣2），=（﹣1，y2﹣2），‎ 由，‎ ‎∴，‎ ‎∴（y1﹣2）（y2﹣2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0，即y1y2+2（y1+y2）+20=0，‎ 直线PQ的方程：，‎ ‎∴，‎ 故直线PQ必过定点B（5，﹣2）．‎ ‎（3）由（2）可知原点O到直线PQ的最大距离为d=．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查直线方程的应用，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．‎