【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量学案

【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量学案

第三讲　平面向量 考情分析] 平面向量的命题近几年较稳定，一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等， 难度较低，有时也与三角函数、解析几何综合命题，难度中等. 年份 卷别 考查角度及命题位置 Ⅰ卷 向量垂直的应用·T13 Ⅱ卷 向量加减法的几何意义·T42017 Ⅲ卷 向量垂直的应用·T13 Ⅰ卷 平面向量垂直求参数·T13 Ⅱ卷 平面向量共线求参数·T132016 Ⅲ卷 向量的夹角公式·T3 Ⅰ卷 平面向量的坐标运算·T2 2015 Ⅱ卷 平面向量数量积的坐标运算·T4 真题自检] 1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| 解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即 4a·b＝0，a⊥b，选 A. 答案：A 2．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝ 4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝ (1,0)·(1，－1)＝1，故选 C. 答案：C 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量 a＝(－1,2)， b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直，则 m＝ ________. 解析：因为 a＋b＝(m－1,3)，a＋b 与 a 垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得 m＝7. 答案：7 平面向量的概念及线性运算 方法结论] 1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量 终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量 e1， e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向 量共线定理 破解；二是利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求解． 题组突破] 1．如图，在△OAB 中，点 B 关于点 A 的对称点为 C，D 在线段 OB 上，且 OD＝2DB，DC 和 OA 相交 于点 E.若OE→ ＝λOA→ ，则 λ＝(　　) A. 3 4 B. 3 5 C. 4 5 D. 1 2 解析：通解：设OA→ ＝a，OB→ ＝b，由题意得DC→ ＝OC→ －OD→ ＝OA→ ＋AC→ － 2 3OB→ ＝OA→ ＋BA→ － 2 3OB→ ＝2a－ 5 3b. 因为OE→ ＝λOA→ ＝λa，设DE→ ＝μDC→ ＝2μa－ 5 3μb，又OE→ ＝OD→ ＋DE→ ，所以 λa＝ 2 3b＋2μa－ 5 3μb＝2μa ＋(2 3－ 5 3μ)b， 所以Error!，所以 λ＝ 4 5. 优解：由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，过点 A 作 AF∥OB 交 CD 于点 F(图略)，则 AF BD＝ AC BC＝ 1 2， 即 AF＝ 1 2BD＝ 1 4OD，故 AE＝ 1 4OE，则 OE＝ 4 5OA，又OE→ ＝λOA→ ，故 λ＝ 4 5. 答案：C 2．如图，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若AC→ ＝λAM→ ＋μBN→ ，则 λ＋μ＝(　　) A．2 B. 8 3 C. 6 5 D. 8 5 解析：法一：以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形 的边长为 1，则AM→ ＝(1， 1 2)，BN→ ＝(－ 1 2，1)，AC→ ＝(1,1)，∵AC→ ＝λAM→ ＋μBN→ ＝(λ－ 1 2μ， λ 2 ＋ μ)， ∴Error!，解得Error!，∴λ＋μ＝ 8 5，故选 D. 法二：由AM→ ＝AB→ ＋ 1 2AD→ ，BN→ ＝－ 1 2AB→ ＋AD→ ，得AC→ ＝λAM→ ＋μBN→ ＝(λ－ μ 2 )AB→ ＋( λ 2 ＋μ)AD→ ， 又AC→ ＝AB→ ＋AD→ ，∴Error!，解得Error!，∴λ＋μ＝ 8 5，故选 D. 答案：D 3．已知平面向量 a＝(2,1)，c＝(1，－1)．若向量 b 满足(a－b)∥c，(a＋c)⊥b，则 b＝(　　) A．(2,1) B．(1,2) C．(3,0) D．(0,3) 解析：通解：设 b＝(x，y)，则 a－b＝(2－x,1－y)，a＋c＝(3,0)，由(a－b)∥c 可得， －(2－x)－(1－y)＝0，即 x＋y－3＝0.由(a＋c)⊥b 可得，3x＝0，则 x＝0，y＝3，选 D. 优解：因为 a＋c＝(3,0)，且(a＋c)⊥b，逐个验证选项可知，选 D. 答案：D 误区警示] 在运用向量共线定理时，向量 a 与 b 共线存在实数 λ 保持 a＝λb 成立的前提条件是 b≠0. 平面向量的数量积 方法结论] 1．平面向量的数量积的运算的两种形式 (1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择 易求夹角和模的基底进行转化； (2)利用坐标 计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问 题，化形为数，使向量问题数字化． 2．夹角公式 cos θ＝ a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22. 3．模 |a|＝ a2＝ x2＋y2. 4．向量 a 与 b 垂直⇔a·b＝0. 题组突破] 1．(2017·洛阳模拟)已知向量 a＝(1,0)，|b|＝ 2，a 与 b 的夹角为 45°.若 c＝a＋b，d＝a－ b，则 c 在 d 方向上的投影为(　　) A. 5 5 B．－ 5 5 C．1 D．－1 解析：依题意得|a|＝1，a·b＝1× 2×cos 45°＝1，|d|＝ a－b2＝ a2＋b2－2a·b＝ 1，c·d＝a2－b2＝－1，因此 c 在 d 方向上的投影等于 c·d |d| ＝－1，选 D. 答案：D 2．如图，△AOB 为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C 为斜边 AB 的中点，P 为线段 OC 的中点，则 AP→ ·OP→ ＝(　　) A．1 B. 1 16 C. 1 4 D．－ 1 2 解析：通解：因为△AOB 为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C 为斜边 AB 的中点，所以OC→ ＝ 1 2OA→ ＋ 1 2 OB→ ，所以OP→ ＝ 1 2OC→ ＝ 1 4(OA→ ＋OB→ )，则AP→ ＝OP→ －OA→ ＝ 1 4OB→ － 3 4OA→ ，所以AP→ ·OP→ ＝ 1 4(OB→ －3OA→ )· 1 4(OA→ ＋ OB→ )＝ 1 16(OB→ 2－3OA→ 2)＝ 1 16. 优解：以 O 为原点，OB→ 的方向为 x 轴正方向，OA→ 的方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略)， 则 A(0,1)，B(2,0)，C(1， 1 2 )，所以OP→ ＝ 1 2OC→ ＝(1 2， 1 4 )，AP→ ＝(1 2，－ 3 4)，故AP→ ·OP→ ＝(1 2，－ 3 4)× (1 2， 1 4 )＝ 1 16. 答案：B 3．(2016·珠海摸底)已知|a|＝|b|，且|a＋b|＝ 3|a－b|，则向量 a 与 b 的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：通解：设 a 与 b 的夹角为 θ，由已知可得 a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，即 4a·b＝ a2＋b2，因为|a|＝|b|，所以 a·b＝ 1 2a2，所以 cos θ＝ a·b |a|·|b|＝ 1 2，θ＝60°，选 C. 优解：由|a|＝|b|，且|a＋b|＝ 3|a－b|可构造边长为|a|＝|b|＝1 的菱形，如图，则|a＋b|与 |a－b|分别表示两条对角线的长，且|a＋b|＝ 3，|a－b|＝1，故 a 与 b 的夹角为 60°，选 C. 答案：C 4．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1,0)，B(0，－ 3)，C(－3,0)，动点 P 满足|CP→ |＝1，则|OA→ ＋OB→ ＋OP→ |的最小值是________． 解析：通解：由|CP→ |＝1 得点 P(x，y)的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝1，又OA→ ＝(1,0)，OB→ ＝(0，－ 3)，OP→ ＝(x，y)，故OA→ ＋OB→ ＋OP→ ＝(1＋x，y－ 3)，|OA→ ＋OB→ ＋OP→ |的几何意义是点 M(－1， 3)与圆(x＋3)2＋y2＝1 上的点之间的距离．|MC→ |＝ －3＋12＋－ 32＝ 7，由数形 结合(图略)可知|OA→ ＋OB→ ＋OP→ |的最小值即为点 M(－1， 3)到圆(x＋3)2＋y2＝1 上的点的最短距 离，故|OA→ ＋OB→ ＋OP→ |的最小值为 7－1. 优解：动点 P 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆，设 P(cos θ－3，sin θ)(θ∈ 0,2π))， 则 |OA→ ＋ OB→ ＋ OP→ | ＝ 1＋cos θ－32＋sin θ－ 32＝ 8－4cos θ＋2 3sin θ＝ 8－2 7sinθ＋φ， 其中 tan φ＝ 2 3 3 ，所以|OA→ ＋OB→ ＋OP→ |的最小值为 8－2 7＝ 7－1. 答案： 7－1 误区警示] 1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点 (1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4) 向量的数量积的运算及其性质等． 2．向量的数量积运算需要注意的问题 a·b＝0 时得不到 a＝0 或 b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|. 平面向量与其他知识的交汇问题 平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函 数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作 为命题条件． 交汇点一　平面向量与三角、解三角形的交汇 典例 1]　(2016·青岛二中模拟)已知 a，b，c 分别是△ABC 的内角 A，B，C 所对的边，向量 m＝ (sin A，sin B)，n＝(sin C，sin A)，且 m∥n. (1)若 cos A＝ 1 2，b＋c＝6，求△ABC 的面积； (2)求 a bsin B 的取值范围． 解析：因为 m∥n，所以 sin2 A＝sin Bsin C，结合正弦定理可得 a2＝bc. (1)因为 cos A＝ 1 2，所以 b2＋c2－a2 2bc ＝ 1 2，即 b＋c2－3bc 2bc ＝ 1 2，解得 bc＝9. 从而△ABC 的面积 S△ABC＝ 1 2bcsin A＝ 1 2×9× 3 2 ＝ 9 3 4 ，故△ABC 的面积为 9 3 4 . (2)因为 a2＝bc，所以 cos A＝ b2＋c2－a2 2bc ＝ b2＋c2－bc 2bc ≥ 2bc－bc 2bc ＝ 1 2(当且仅当 b＝c 时，取等 号)． 因为 00)，设函数 f(x)＝a·b 的最 小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)求函数 f(x)在[0， 2π 3 ]上的单调区间． 解析：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝cos2 ωx－1＋ 3sin ωx·cos ωx＝ 1 2cos 2ωx＋ 3 2 sin 2ωx － 1 2 ＝sin(2ωx＋ π 6 )－ 1 2， 因为函数 f(x)的最小正周期为 π，所以 2π 2ω＝π，解得 ω＝1. (2)由(1)知 f(x)＝sin(2x＋ π 6 )－ 1 2，当 x∈[0， 2π 3 ]时，2x＋ π 6 ∈[π 6 ， 3π 2 ]， 所以当 2x＋ π 6 ∈[π 6 ， π 2 ]，即 x∈[0， π 6 ]时，函数 f(x)单调递增； 当 2x＋ π 6 ∈(π 2 ， 3π 2 ]，即 x∈(π 6 ， 2π 3 ]时，函数 f(x)单调递减． 交汇点二　平面向量与“简单线性规划”相交汇 典例 2]　已知 x，y 满足Error!若向量OA→ ＝(1,2)，OB→ ＝(x，y)，则 z＝OA→ ·OB→ 的最大值为(　　) A．0 B．1 C. 3 2 D．2 解析：原不等式组所表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，因为向量OA→ ＝(1,2)，OB→ ＝ (x，y)，所以 z＝OA→ ·OB→ ＝x＋2y.当目标函数 z＝x＋2y 过点(0,1)时，z＝x＋2y 取得最大值 zmax＝ 0＋2×1＝2.故选 D. 答案：D 类题通法] 解决平面向量与“简单线性规划”相交汇题的常用方法是“转化法和数形结合法”，即先利用平 面向量数量积的坐标表示，把平面向量问题转化为求线性目标函数问题；再借用图形，判断可行 域；最后通过平移目标函数图象，求其最值． 演练冲关] 3．已知变量 x，y 满足约束条件Error!若向量OM→ ＝(x，－1)，ON→ ＝(2，y)，则OM→ ·ON→ 的最小值等 于(　　) A．－ 5 2 B．－2 C．－ 3 2 D．2 解析：约束条件所表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，因为向量OM→ ＝(x，－1)，ON→ ＝(2，y)，所以 z＝OM→ ·ON→ ＝2x－y.当 z＝2x－y 过点 A(－1， 1 2)时，z＝2x－y 取得最小值，且 zmin ＝2×(－1)－ 1 2＝－ 5 2.故选 A. 答案：A 交汇点三　平面向量与“充分必要条件”相交汇 典例 3]　(2015·高考北京卷)设 a，b 是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a|·|b|cos θ.若 a·b＝|a||b|，则 cos θ＝1，因 为 θ∈ 0，π]，所以 θ＝0，所以 a∥b，即“a·b＝|a||b|”⇒“a∥b”；若a∥b，则 θ＝0 或 θ＝π，所以 a·b＝|a||b|或 a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”⇐/ “a∥b”，故“a·b ＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选 A. 答案：A 类题通法] 平面向量与“充分必要条件”相交汇问题的破解方法：“以小推大法”，即准确理解充分条件、 必要条件及充要条件的含义，利用平面向量的有关概念、公式、定理(有时要利用数形结合思想) 等，判断小范围和大范围之间的关系． 演练冲关] 4．已知直线 m，n 的方向向量分别为 a，b，则“m∥n”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：m∥n⇒a∥b；反之，当 a∥b 时，直线 m，n 可能重合，所以“m∥n”是“a∥b”的充分不 必要条件．故选 A. 答案：A 交汇点四　平面向量与解析几何相交汇 典例 4]　(2017·大庆质检)设 F1，F2 分别是椭圆 x2 4 ＋y2＝1 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使(OP→ ＋OF2→ )·PF2→ ＝0(O 为坐标原点)，则△F1PF2 的面积是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：∵(OP→ ＋OF2→ )·PF2→ ＝(OP→ ＋F1O→ )·PF→ 2＝F1P→ ·PF2→ ＝0，∴PF1⊥PF2，∴∠F1PF2＝90°.设|PF1| ＝m，|PF2|＝n，则 m＋n＝4，m2＋n2＝12，∴2mn＝4，∴S△F1PF2＝ 1 2mn＝1，故选 D. 答案：D 类题通法] 破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问 题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解 析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法 快速破解． 演练冲关] 5．(2017·广州模拟)已知以F 为焦点的抛物线 y2＝4x 上的两点 A，B 满足AF→ ＝2FB→ ，则弦 AB 的中 点到抛物线准线的距离为________． 解析：设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵AF→ ＝2FB→ ，∴1－xA＝2(xB－1)，又 xAxB＝1，∴xA＝2，xB＝ 1 2， 弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为 xA＋xB 2 ＋1＝ 2＋ 1 2 2 ＋1＝ 9 4. 答案： 9 4