上海市普陀区2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析

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上海市普陀区2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析

- 1 - 2019 学年第二学期普陀区高三数学质量调研 2020.6 一、填空题(本大共有 12 题,满分 54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分,否则一律得零分) 1.数组“2,1.5,2.9,4.8,5,4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】 把这组数据按从小到大排列,计算它的中位数即可. 【详解】解:该组数据按从小到大排列为:1.5,2,2.9,4.3,4.8,5; 所以这组数据的中位数为 1 (2.9 4.3) 3.62    . 故答案为:3.6. 【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题,属于基础题. 2.若增广矩阵为 2 3 7 0 1 m      的线性方程组的解为 2 1 x y    ,则实数 m  ______. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据增广矩阵的概念直接求解. 【详解】由增广矩阵为 2 3 7 0 1 m      的线性方程组的解为 2 1 x y    ,则 0 2 1 1 m    ,得 1m  . 故答案为:1. 【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用,属于基础题. 3.已知 i 为虚数单位,若复数 z 满足  1 5 iz z a    ,则实数 a 的值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】 根据两个复数相等,实部和实部相等,虚部和虚部相等,即可得出结果. 【详解】设 , ,z m ni z m ni m n R    , ,则可得  2 1 5 im a   , - 2 - 所以 15, 2  a m . 故答案为:5 【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化,考查了理解辨析能力和数学运算能力, 属于容易题. 4.已知等比数列 na ( n N )满足  2 6 44 1a a a  ,则 4a  ______. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用等比中项求得关于 4a 的方程,解方程即可得到答案; 【详解】  2 6 44 1a a a  ,    4 2 4 2 4 44 1 2 0 2a a a a      , 故答案为: 2 . 【点睛】本题考查等比中项的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 5.已知实数 x、y 满足条件 0 0 1 x y y x y        .则目标函数 2z x y  的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】 作出约束条件所表示的可行域,当目标函数所表示的直线过点 (1,0)A 时,目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域,易得点 (1,0)A , 当直线 2y x z   过点 A 时,直线在 y 轴上的截距达到最大, - 3 -  max 2z  , 故答案为: 2 【点睛】本题考查线性规划问题,考查数形结合思想,考查运算求解能力,求解时注意利用 直线截距的几何意义进行求解. 6.A,B,C,D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动,两人一组,则 A,B 两位同学在同一组的 概率为______.(结果用最简分数表示) 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 古典概型,列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数,即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将 A,B,C,D 四个人平均分成两组, 基本事件的总数:共有 2 2 4 2 2 2 3C C A ,即     , , , , ,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是 A,B 两人恰好在同一组,共有 1 种 ,AB CD 根据古典概型概率公式得到 1 3P  故答案为: 1 3 【点睛】本题考查古典概型,考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力,是一个基 础题. 7.已知一个半圆柱的高为 4,其俯视图如图所示,其左视图的面积为 8,则该半圆柱的表面积 为______. 【答案】16 12  【解析】 【分析】 由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为 4,高为 3,由此能求出该几何体的表面积, - 4 - 得到答案. 【详解】由题意,其左视图为矩形,其左视图的面积为 8,半圆柱的高 h 为 4, 可得半圆的半径 r 为 2, 由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积, 即 2 21 12 2 2 2 2 4 2 2 4 16 122 2S r rh rh                     . 故答案为:16 12  . 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用,以及圆柱的表面积的计算问题,同时 考查了圆柱的结构特征的应用,属于基础题. 8.设        1 1 1 01 1 1 1n n n n nx a x a x a x a          ,若 1 1 0 729n na a a a     ,则 3a  ______. 【答案】160 【解析】 【分析】 先将 ( 1)nx  化为 (2 ( 1))nx  ,然后利用赋值法求出 n 的值,再求出 3a 的值. 【详解】解:原式 [2 ( 1)]nx   , 令 1 1x   ,即 2x  得: 6 1 1 03 729 3n n na a a a      , 所以 6n  . 所以展开式中含 3( 1)x  项为: 3 3 3 3 6 2 ( 1) 160( 1)C x x   . 故 3 160a  . 故答案为:160. 【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及利用通项法研究特定项的问题,属于基础题. 9.设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和( n N )若 8 6 28 6 S S   ,则 2lim 2 n n S n ______. 【答案】 1 2  【解析】 【分析】 - 5 - 由等差数列前 n 项和公式有 2 1( )2 2n d dS n a n   ,代入已知条件可求得公差 d ,再计算数列 极限. 【详解】∵数列{ }na 是等差数列, 2 1( )2 2n d dS n a n    (其中 d 是公差), 1( )2 2 nS d dn an    , ∵ 8 6 28 6 S S   , (8 6) 22 d    , 2d   . 即 2 1( 1)nS n a n    , 2 1 1 2 2 ( 1) 11 1lim lim lim( )2 2 2 2 2 n n n n S n a n a n n n            . 故答案为: 1 2  【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和,考查数列的极限.关键是掌握等差数列前 n 项和公 式: 2 1( )2 2n d dS n a n   ,属于中档题. 10.在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 2 2 2   ab c a b c ,则角 C 的大小 为______. 【答案】 4  【解析】 【分析】 由二阶行列式和余弦定理,即可得出结果. 【详解】由二阶行列式的计算可得, 2 2 22   ab c a b 即 2 2 2 2c a b ab   ,由余弦定理可得, 2cos 2C  , 4C   . 故答案为: 4  . 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识,考查了理解辨析和数学运算能力, - 6 - 属于容易题目. 11.在平面四边形 ABCD 中, 0AB BC AD DC       , 1AB AD   , 1 2AB AD    若 点 M 是边 BC 上的任一动点,则 AM DM  的最小值为______. 【答案】 21 16 【解析】 【分析】 连接 BD ,则可证 BCD 是等边三角形,建立平面直角坐标系,设 ( ,0)M x ,用 x 表示出 AM DM    ,则根据配方法得出最小值. 【详解】解:连接 BD ,  0AB BC AD DC       , 90ABC ADC     ,  1| || | cos cos 2AB AD AB AD BAD BAD          , 120BAD  , 2 2 2 cos 3BD AB AD AB AD BAD      , 30ABD ADB     , 60DBC BDC     , BCD 是等边三角形, 以 B 为原点,以 BC 为 x 轴,以 BA 为 y 轴建立平面直角坐标系, 则 (0,1)A , ( 3C , 0) , 3( 2D , 3)2 , 设 (M x , 0)(0 3)x„ „ ,则 ( , 1)AM x  , 3( 2DM x  , 3)2- ,  2 23 3 3 21( )2 2 4 16AM DM x x x        , 当 3 4x  时, AM DM    取得最小值 21 16 . 故答案为: 21 16 . - 7 - 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算,坐标法是常用方法之一,属于中档题. 12.设双曲线 r: 2 2 2 1x ya   ( 0a  )的左、右焦点分别为 1F , 2F ,点 M 在 r 的右支上,向 量  1,d a  是直线 1F M 的一个方向向量,若 1 2 4F MF   ,则 r 的焦距为______. 【答案】 6 【解析】 【分析】 由题意可得直线 1F M 的斜率为 a ,且 0a  ,设 2| |F M t ,由双曲线的定义可得 1| | 2F M t a  , 在三角形 1 2FMF 中,分别运用正弦定理、余弦定理,解方程可得 a ,进而得到焦距 2c . 【详解】解:向量 (1, )d a 是直线 1F M 的一个方向向量,可得直线 1F M 的斜率为 a ,且 0a  , 设 2| |F M t ,由双曲线的定义可得 1| | 2F M t a  , 在三角形 1 2FMF 中,由正弦定理可得 1 2 2 sin sin 4 t c MF F  ,即 2 2 2 1 2 1 2 t a a a   , 解得 2 2t a , 由余弦定理可得 2 2 2 24 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2c t t a t t a      , 即为 2 2 2 24(1 ) 8 (2 2 2 ) 4 2 (2 2 2 ) 2a a a a a a a       , 解得 2 1 2a  , 2 2 31 2c a   , 则焦距 32 2 62c   . 故答案为: 6 . 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用, - 8 - 考查方程思想和运算能力,属于中档题. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一排得零分) 13.对于抛物线,“方程 2 4y x ”是“焦点到准线的距离等于 2”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线的几何性质,结合充分条件和必要条件的判定方法,即可求解. 【详解】由抛物线方程 2 4y x ,可得 2p  ,所以抛物线 2 4y x 的焦点到准线的距离为 2, 即充分性是成立的; 反之不成立,焦点到准线的距离为 2,此时抛物线的方程可能是 2 4x y ,即必要性不成立, 综上可得, “方程 2 4y x ”是“焦点到准线的距离等于 2”的充分非必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定,以及抛物线的标准方程及几何性质的 应用,意在考查推理与运算能力,属于基础题. 14.已知集合  3M  ,  2,4N  ,  1,2,5Q  ,从这三个集合中各取一个元素构成空间 直角坐标系O xyz 中向量 a  的坐标,则可确定不同向量 a  的个数为( ) A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意,先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数,进而考虑集合 ,B C 中的相同元素 2,出现了 3 个重复的情况,进而计算可得答案. 【详解】由题意,不考虑限定条件确定的不同点的个数为 1 1 3 2 3 3 36C C A  , 但集合 ,B C 中有相同元素 2, - 9 - 由3,2,2 三个数确定的不同点的个数只有三个, 故所求的个数为36 3 33  个. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用,注意从反面分析,并且注意到集合 ,B C 中 有相同元素 2 从而导致出现重复的情况,着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面 l   ,B,C l ,A  ,且 A l ,D  ,且 D l ,则下列叙述错误的 是( ) A. 直线 AD 与 BC 是异面直线 B. 直线 CD 在 上的射影可能与 AB 平行 C. 过 AD 有且只有一个平面与 BC 平行 D. 过 AD 有且只有一个平面与 BC 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】 利用反证法判断选项 A 正确;举例说明选项 B 正确;由公理 3 的推论结合过直线外一点有且 只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确;由异面直线垂直及线面关系判断选项 D 错误. 【详解】对于选项 A ,若直线 AD 与 BC 是共面直线,设 AD 与 BC 共面 , 不共线的三点 B ,C , D 均在  与 内,  与 重合, 又不共线的三点 A , B ,C 均在 与 内,  与 重合,则 与  重合,与 l   矛 盾, 故直线 AD 与 BC 是异面直线,所以选项 A 正确; 对于选项 B ,当 AB l ,CD l ,且二面角 l   为锐二面角时,直线 CD 在 上的射 影与 AB 平行,所以选项 B 正确; - 10 - 对于选项C ,在 AD 上任取一点,过该点作 BC 的平行线 l ,则由 AD 与 l确定一个平面, 该平面与 BC 平行, 若过 AD 另外有平面与 BC 平行,由直线与平面平行的性质,可得过直线 BC 外的一点 A 有 两条直线与 BC 平行, 与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,所以选项C 正确; 对于选项 D ,只有当 AD 与 BC 异面垂直时,过 AD 有且只有一个平面与 BC ,否则,不存 在过 AD 与 BC 垂直的平面,故选项 D 错误. 故选:D. 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用,着重考查异面直线 的性质,考查空间想象能力与思维能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.定义域均为 D 的三个函数  f x ,  g x ,  h x 满足条件:对任意 x D ,点   ,x g x 与 点   ,x h x 都关于点   ,x f x 对称,则称  h x 是  g x 关于  f x 的“对称函数”.已知函 数   1g x x  ,   3h x x ,  h x 是  g x 关于  f x 的“对称函数“,记  f x 的定 义域为 D,若对任意 s D ,都存在t D ,使得   2 22 2 1f t ts a a     成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. .   1,0 1,2  B. .   1 0,2  C. .   2, 1 0,1   D. .   1 2,0  【答案】C 【解析】 【分析】 求得 ( )f x 的解析式和导数,以及单调性和极值、最值,进而得到 ( )f x 的值域;判断 2 2( ) 2 1m t t t a a     在[0 ,1]递增,可得其值域,再由题意可得 ( )f x 的值域包含在 ( )m t 的 值域内,可得 a 的不等式组,解不等式可得所求范围. 【详解】解:由函数   1g x x  , ( ) 3h x x , ( )h x 是 ( )g x 关于 ( )f x 的“对称函数”, 可得 1( ) ( 1 3 )2f x x x   , 0 1x„ „ , ( ) 0f x  , 1 1 3 1( ) ( )2 22 1 f x x x       , - 11 - 可得 ( ) 0f x  的解为 3 4x  , 由 1(0) 2f  , f (1) 3 2  , 3( ) 14f  , 且 ( )f x 在 3(0, )4 递增, 3(4 ,1) 递减,可得 ( )f x 的最小值为 1 2 ,最大值为 1, 可得 ( )f x 的值域为 1[2 ,1], 而 2 2( ) 2 1m t t t a a     在[0 ,1]递增,可得 ( )m t 的值域为 2[ 1a a  , 2 2]a a  , 由题意可得[1, 22] [ 1a a   , 2 2]a a  , 即有 2 21 1 2 2a a a a    „ „ ,即为 2 1 0 1 a a a    或 „ „ … „ , 解得 0 1a„ „ 或 2 1a „ „ , 则 a 的范围是   2, 1 0,1   , 故选:C . 【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用,考查函数恒成立问题解法,注意运用转化思 想和函数的单调性,考查化简运算能力,属于中档题. 三、解答题本大共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写 出必要的步骤. 17.设函数     3 1, 2 0 ,0 x xf x g x x m         是偶函数. (1)求实数 m 的值及  g x (2)设函数  g x 在区间 0,m 上的反函数为  1g x ,当时,  1 22 log 5ag   ( 0a  且 1a  )时,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) 2m  ,   3 1xg x   ;(2)  20, 1,5      . 【解析】 【分析】 (1)直接利用偶函数的性质的应用求出结果. - 12 - (2)利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果. 【详解】解:(1)因为函数  f x 为偶函数,所以定义域关于原点对称且    f x f x  , 则 2m  , 当 0 2x  时,    f x g x ,则 2 0x    ,    3 1xf x f x    , 故   3 1xg x   . (2)函数  g x 在区间 0,2 上的反函数为  1g x , 则  1 23 1 2g   ,即  1 2 1g   , 即 2log 15a  ,则 2log 15 0 1 a a      或 2log 15 1 a a     ,即 20 5a  或 1a  则实数 a 的取值范围为  20, 1,5      . 【点睛】本题考查的知识要点:对数函数的性质的应用,反函数的性质的应用,不等式的的 解法及应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题. 18.设函数   22sin 5sin 12 6 3f xx x                . (1)当 0 1  时,若函数  f x 的最大值为 2f      ,求函数  f x 的最小正周期; (2)若函数  f x 在区间 ,2  内不存在零点,求正实数 的取值范围. 【答案】(1)3 ;(2) 5 5 110, ,12 6 12            . 【解析】 【分析】 (1)利用降次公式,辅助角公式化简,再结合函数  f x 的最大值为 2f      ,求出 ,再求 出函数  f x 的最小正周期; (2)由题知 ( ) 2sin 6f x x      在 ,2  内不存在零点,转化为 - 13 -  ,2 ,6 6 k k            , k Z , 0 ,求得 的范围. 【详解】(1)   22sin 3sin 12 6 3 xf x x                1 cos 3sin 13 3x x                 2sin 6x      , 因为函数  f x 的最大值为 2f      ,所以sin 12 6        , 即 22 6 2k       , k Z ,即 24 3k   , 又 0 1  ,则 2 3   , 则函数  f x 的最小正周期为 2 3   . (2)因为函数  f x 在区间 ,2  内不存在零点, 所以  ,2 ,6 6 k k            , k Z . 即 6 2 6 k k             , 则 1 5 6 2 12 kk     , k Z , 因为 1 5 6 2 12 kk    , k Z ,所以 7 6k  , k Z ,即 0k  ,1, 则所求的 的取值范围为 5 5 110, ,12 6 12            . 【点睛】本题考查了三角函数式的化简,考查了三角函数降次公式,辅助角,三角函数的性 质,属于中档题. - 14 - 19.某小区楼顶成一种“楔体”形状,该“楔体”两端成对称结构,其内部为钢架结构(未画 出全部钢架,如图 1 所示,俯视图如图 2 所示),底面 ABCD 是矩形, 10AB  米, 50AD  米,屋脊 EF 到底面 ABCD 的距离即楔体的高为 1.5 米,钢架所在的平面 FGH 与 EF 垂直 且与底面的交线为GH , 5AG  米, FO 为立柱且 O 是GH 的中点. (1)求斜梁 FB 与底面 ABCD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求此模体 ABCDEF 的体积. 【答案】(1) 3 2arctan 20 ;(2)350(立方米). 【解析】 【分析】 (1)连接 BO ,由题可知 FO  平面 ABCD , FBO 是直线 FB 与底面 ABCD 所成角,由 俯视图可知, GH BC ,在 Rt FOB△ 中进行计算即可得解; (2)由题可知,该“楔体”两端成对称结构,钢架所在的平面 FGH 与 EF 垂直,结合俯视 图可知,可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥,然后由题中条件结合椎 体和柱体体积公式计算即可. 【详解】(1)如下图,连接 BO ,依题意 FO 为立柱,即 FO  平面 ABCD , 则 FBO 是直线 FB 与底面 ABCD 所成角, 由俯视图可知,GH BC ,则 2 2 5 2BO OH HB   , 在 Rt FOB△ 中, 1.5 3 2tan 205 2 FOFOB BO     , - 15 - 即 3 2arctan 20FBO  , 则斜梁 FB 与底面 ABCD 所成角的大小为 3 2arctan 20 ; (2)依题意,该“楔体”两端成对称结构,钢架所在的平面 FGH 与 EF 垂直,结合俯视图 可知,可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥, 则直三棱柱的体积  1 1 22FGHV S EF GH FO AD AG     △ 1 310 40 3002 2      (立方米), 两个四棱锥的体积 2 2 22 3 3F GABH GABHV V S FO AG AB FO      2 35 10 503 2      (立方米), 则所求的楔体 ABCDEF 的体积 1 2 350V V V   (立方米). 【点睛】本题考查线面角的计算,考查几何体体积的计算,考查空间想象能力和计算能力, 属于常考题. 20.已知椭圆C : 2 2 19 4 x y  的左、右焦点分别为 1F , 2F ,上顶点为 M,过点 M 且斜率为 1 的直线与C 交于另一点 N,过原点的直线 l 与C 交于 P,Q 两点 (1)求 2PQF 周长的最小值: (2)是否存在这样的直线,使得与直线 MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在,求出该 直线的方程:若不存在,请说明理由. (3)直线 l 与线段 MN 相交,且四边形 MPNQ 的面积 108 36 13,13 13S      ,求直线 l 的斜 率 k 的取值范围. 【答案】(1)10;(2)存在满足条件的直线,其方程为 4 9 0x y  ;(3) 80, 5      . 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆的对称性和椭圆的定义,可知当弦 PQ 的长度最小值时, 2PQF 的周长取得最 - 16 - 小值; (2)设与直线 MN 平行的弦所在的直线方程为 y x m   ,将其代入曲线C 的方程,根据 韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标,消去参数 m 可得结果; (3)设直线 l 的方程为 y kx ,代入曲线C ,解得两个交点坐标,联立直线 2x y  与曲线 C 的方程,解得 ,M N 的坐标,求出点 ,P Q 到直线 2x y  的距离,然后求出四边形 MPNQ 的面积  1 2 1 2 MN d d   ,根据 108 36 13,13 13S      解不等式可得结果. 【详解】(1)连接 1PF ,又直线 l 过原点,由椭圆的对称性得 1 2PF QF , 则 2PQF 的周长 2 2 2 1 6PQ PF QF PQ PF PF PQ       , 要使得 2PQF 的周长最小,即过原点的弦 PQ 最短, 由椭圆的性质可知,当弦 PQ 与C 的短轴重合时最短,即弦 PQ 的最小值为 4, 则 2PQF 周长的最小值为 10. (2)依题意,设与直线 MN 平行的弦所在的直线方程为 y x m   ,与C 的交点坐标为  1 1,x y , 2 2,x y , 平行弦中点的坐标为 0 0,x y , 联立 2 2 19 4 x y y x m        ,化简整理得 2 213 18 9 36 0x mx m    , 当      2 2 218 4 13 9 36 144 13 0m m m           即 13 13m   时,平行弦存在, 则 1 2 0 9 2 13 x xx m  , 1 2 1 2 0 4 2 2 13 y y x xy m m      ,则 0 04 9 0x y  , 故存在满足条件的直线,其方程为 4 9 0x y  . (3)设直线 l 的方程为 y kx ,点  1 1,P x y ,  2 2,Q x y .(不妨设 1 2x x ), - 17 - 由 2 2 19 4 x y y kx      消去 y 并化简得 2 29 4 36k x  ,即 1 2 6 9 4 x k   , 2 1 2 6 9 4 x x k      , 依题意,直线 MN 的方程为 2y x   , 由 2 2 19 4 2 x y x y       ,得 213 36 0x x  ,解得 0x  或 36 13x  , 所以 36 13Nx  , 10 13Ny   ,所以 (0,2)M , 36 10( , )13 13N  , 则 36 2 13MN  . 又 l 与线段 MN 有交点且 MPNQ 为四边形,所以 10 513 36 18 13 ONk k      ,即 5 ,18k       , 点 P,Q 到直线 MN 的距离分别为 1 1 1 2 2 x kxd   , 2 2 2 2 2 x kxd   , 则   1 1 2 2 1 2 2 21 1 36 2 2 2 13 2 2MPNQ x kx x kxS MN d d                四边形 2 2 1 12 21 36 2 2 13 2 2 x kx x kx         2 2 1 22 11 36 2 18 12 216 1 2(1 )2 13 13 13 9 42 9 4 k x x k kk kk             , 又 108 36 13,13 13S      ,即 2 2 108 216 1 2 36 13 13 13 9 4 13 k k k     . 化简整理得, 2 2 5 8 0 81 72 16 0 k k k k        ,解得 80 5k  , - 18 - 又 5 ,18k       ,所以 80 5k  . 则所求的直线 l 的斜率 k 的取值范围为 80, 5      . 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性,考查了直线与椭圆的位置关系,点到直线 的距离,考查了运算求解能力,属于中档题. 21.对于无穷数列 na 的某一项 ka ,若存在 m N  ,有  k k ma ka   N 成立,则称 ka 具有 性质  P m . (1)设  *3na n n N   ,若对任意的 k N , ka 都具有性质  P m ,求 m 的最小值; (2)设等差数列 na 的首项 1 2a   ,公差为 d ,前 n 项和为  nS n N  ,若对任意的 k N 数列 nS 中的项 kS 都具有性质  7P ,求实数 d 的取值范围; (3)设数列 na 的首项 1 2a  ,当  2n n  N 时,存在  1 1,i i n i    N 满足 2n ia a ,且此数列中恰有一项  2 99,ta t t   N 不具有性质  1P ,求此数列的前100项 和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】(1) 5 ;(2) 1 ,2     ;(3) 99t  时,最大值为 993 2 2  ; 50t  或 51t  时, 最小值为 506 2 6  . 【解析】 【分析】 (1)计算得出 1 6 7a a a  、 2 5 6a a a   、  1 2 3k k ka a a k     ,求得每 种情况下对应 m 的最小值,进而可得出结果; (2)求得 nS ,根据题意得出 7k kS S  对任意的 k N 恒成立,可得出 2 3d k   ,由此可得 出 d 的取值范围; (3)根据题意得出 1 2 1t ta a a a    ,根据存在  1 1,i i n i    N 满足 2n ia a , 得出 1a 、 2a 、 、 ta 依次为:2 、 22 、 32 、 、 2t ,进一步得知:欲使此数列的前100项 - 19 - 和最大, 1ta  、 2ta  、 、 100a 依次为:2t 、 12t 、 、 992 ,欲使此数列的前100项和最小, 1ta  、 2ta  、 、 100a 依次为: 22 、 32 、 、 1012 t ,分别计算出两种情况下数列 na 的前100 项和,根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的 t 值. 【详解】(1)经计算知: 1 6 7a a a  ,此时 5m  ; 2 5 6a a a   ,此时 3m  ; 当 3k  时, 1 2k k ka a a   ,此时 m 1 . 综上可知, 5m  ,即对任意的 k  N , ka 都具有性质  P m 时, m 的最小值为 5 ; (2)由已知可得,  12 2n n nS n d    ,若对任意的 k  N ,数列 nS 中的 kS 都具有性 质  7P ,则 7k kS S  对任意的 k  N 恒成立, 即       1 7 7 12 2 72 2 k k k kk d k d          ,整理得: 2 3d k   . 因为 1k ³ ,则 2 1 3 2k  ,所以 1 2d  . 因此,实数 d 的取值范围是 1 ,2     ; (3)对于 2 99t  ,t N , 因为 1a 、 2a 、 、 1ta  都具有性质  1P ,所以 1 2 1t ta a a a    , 而当  2n n  N 时,存在  1 1,i i n i    N 满足 2n ia a , 所以 1a 、 2a 、 、 ta 依次为: 2 、 22 、 32 、 、 2t , 由已知 ta 不具有性质  1P ,故 1ta  的可能值为 22 、 32 、 、 2t , 又因为 1ta  、 2ta  、 、 100a 都具有性质  1P ,所以 1 2 100t ta a a    , 欲使此数列的前100项和最大, 1ta  、 2ta  、 、 100a 依次为: 2t 、 12t 、 、 992 , 欲使此数列的前100项和最小, 1ta  、 2ta  、 、 100a 依次为: 22 、 32 、 、 1012 t , 下面分别计算前100项和:        2 3 1 99 1 2 1 2 100 2 2 2 2 2 2 2t t t t t ta a a a a a                      - 20 - 1002 2 2t   , 当 99t  时,此数列的前100项和最大,最大值为 99 100 992 2 2 3 2 2     ;        2 3 2 3 101 1 2 1 2 100 2 2 2 2 2 2 2t t t t ta a a a a a                      101 101 522 22 2 6 4 2 6 2 2 62 2 t t t t            . 当且仅当 10122 2 t t 时,即 101 2t  时等号成立,但 101 2t   N , 这时取 50t  或 51t  时,此数列的前100项和最小,最小值为  50 51 502 2 2 6 6 2 6     . 【点睛】本题考查数列的新定义,考查数列求和等知识,考查数列不等式恒成立问题的求解, 考查推理能力与运算求解能力,属于难题. - 21 -
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