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文档介绍
高考数学专题复习教案：选修4－4 坐标系与参数方程
选修4－4坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 本节主要包括2个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系. 突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例] 求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程． [解] 由得到① 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1. 因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1. [方法技巧] 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A′的坐标． 解：设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到由于点A的坐标为， 于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1， 所以A′(1，－1)为所求． 2．求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程． 解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)， 由题意，将 代入y＝6x得2y′＝6×， 所以y′＝x′，即直线l′的方程为y＝x. 3．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标． 解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)， 由题意，将代入x2－＝1 得－＝1， 化简得－＝1， 即－＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)． 4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，b的值． 解：由知代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2. 突破点(二) 极坐标系 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 极坐标与直角坐标的互化 1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及ρ2＝x2＋y2 将极坐标方程转化为直角坐标方程 2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程． (2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤： 第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ； 第二步，根据角θ的正切值tan θ＝(x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问题即解． [例1] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0. (2)由得 则直线l与圆O公共点的一个极坐标为. [方法技巧] 1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点 (1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的． (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值． 极坐标方程的应用 [例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy. (1)若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程； (2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值． [解] (1)ρ2－2ρcos－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将代入得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直， 即kl·kOC＝－1，kOC＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x. (2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设(φ为参数)，则x＋y＝2sin φ＋2cos φ＝2sin，当sin＝1时，x＋y取得最大值2. [易错提醒] 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决． 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一、二]已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离． 解：由2ρsin＝， 得2ρ＝，由坐标变换公式，得直线l的直角坐标方程为y＋x＝1，即x＋y－1＝0. 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，所以点A到直线l的距离d＝＝. 2．[考点一]已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ－－4＝0，求圆C的半径． 解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 由坐标变换公式，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圆C的半径为. 3．[考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A，B两点，若|AB|＝2，求实数a的值． 解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝，所以圆心C到直线的距离为＝ ＝， 解得a＝－5或a＝－1.故实数a的值为－5或－1. 4．[考点一、二](2017·洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x2＋y2＝4. 因为ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2. 由坐标变换公式， 得x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝. [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2， 则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆． 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a＝1. 2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0， 解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半径为1， 所以△C2MN的面积为. [课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡 1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程． 解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C经过点P， 所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 2．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离． 解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1. 3．在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2. ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y， 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y， 得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0， 所以x＝，y＝1. 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为. 4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R. (1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标； (2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标． 解：(1)曲线C：ρ2＝，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而＋ρ2sin2θ＝1. ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1， 点R的直角坐标为R(2,2)． (2)设P(cos θ，sin θ)， 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ， ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin， 当θ＝时，|PQ|＋|QR|取最小值2， ∴矩形PQRS周长的最小值为4， 此时点P的直角坐标为. 5．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标． 解：圆C的极坐标方程可化为ρ＝kcos θ－ksin θ， 即ρ2＝kρcos θ－kρsin θ， 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0， 即2＋2＝k2， 所以圆心C的直角坐标为. 直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·－ρcos θ·＝4， 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0， 所以－|k|＝2. 即|k＋4|＝2＋|k|， 两边平方，得|k|＝2k＋3， 所以或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为. 6．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程； (2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程． 解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2. (2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ. 又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4， 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)． 7．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为. (1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)； (2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程． 解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ. 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－＝4， 所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos. (2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)， 又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点， 得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)， 即(α为参数)， ∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1. 8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D. (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值． 解：(1)∵C1的参数方程为 ∴C1的普通方程为＋y2＝1. 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a为半径)， 将D 代入，得2＝2a×， ∴a＝2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1， 即ρ2＝. ∴ρ＝， ρ＝ ＝. ∴＋＝＋＝. 第二节 参数方程 本节主要包括2个知识点： 1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题. 突破点(一) 参数方程 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)． (2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)． (3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 参数方程与普通方程的互化 1．参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等． 2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值； (2)具体步骤 第一步，引入参数，但要选定合适的参数t； 第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t)); 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，问题得解． [例1] 将下列参数方程化为普通方程． (1)(t为参数)； (2)(θ为参数)． [解] (1)∵2＋2＝1， ∴x2＋y2＝1. ∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1. 又x＝，∴x≠0. 当t≥1时，0查看更多