2018-2019学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i ‎【答案】B ‎【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．‎ 详解：化简可得z= ‎ ‎∴z的共轭复数为1﹣i.‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．‎ ‎2．曲线在处的切线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知，点在曲线上，所以切线的斜率为，‎ 由直线方程的点斜式得，故选.‎ ‎【考点】导数的几何意义，直线方程.‎ ‎3．函数的单调递减区间为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出函数的导数为，再解得的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．‎ ‎【详解】‎ 函数的导数为 令 ，得 ∴结合函数的定义域，得当时，函数为单调减函数．‎ 因此，函数的单调递减区间是 .‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查考查函数的单调区间的求法，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题．‎ ‎4．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：，则曲线C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】从变换规则入手，代入新方程化简可得.‎ ‎【详解】‎ 把代入得，化简可得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查坐标变换，明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键.‎ ‎5．为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知 ,选C.‎ ‎【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．‎ ‎6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段 中点的横坐标为3，，则=（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】：先设的坐标，表示出线段中点的横坐标为3的表达式，因为过焦点，由过焦点的弦长公式，解出。‎ ‎【详解】‎ ‎：设的坐标分别为，线段中点的横坐标为3，则，，由此解得 ‎【点睛】‎ ‎：到焦点的距离转化为到准线的距离，由此与交点的坐标产生关系，过焦点的弦长公式。‎ ‎7．下面四个图象中，有一个是函数的导函数的图象，则（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】由，得到，开口向上，排除，‎ 若为，即对称轴为轴，有，解得，此时，所以 ；‎ 若为，有，既有，‎ 当时，，不合题意；‎ 当时，，符合题意，，此时 ‎ ‎ 故选A.‎ 点睛：三次函数的导函数为二次函数，利用特殊点结合二次函数的性质是解决本题的关键，二次函数性质的研究必需抓住的几个特征为：开口，对称轴，零点.‎ ‎8．设函数，则（ ）‎ A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间内有零点，在区间内无零点 D．在区间内无零点，在区间内有零点 ‎【答案】C ‎【解析】：，导函数为，函数在（0，3）上为减函数，，因此在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点 ‎9．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意首先求得离心率的平方的表达式，然后结合所得的表达式即可确定离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 双曲线方程即：，‎ 则，‎ 由于，故，则双曲线离心率的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎10．己知定义域为的函数，若恒成立，则正实数a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先分离参数，然后利用导函数研究函数的单调性即可确定函数的最值，最后结合题意即可确定正实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 恒成立，只需恒成立，‎ 设，则，‎ 据此可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 可知当时，取得最小值，所以，‎ 又因为，所以a的取值范围是．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的最值，导函数研究不等式恒成立问题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出左焦点坐标，设，根据在椭圆上可得到、的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将、的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，，设点，则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为，‎ 因为，所以当时，取得最大值，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了综合应用能力、运算能力．‎ ‎12．设函数是函数的导函数，已知，且则使得成立的x的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，由题意利用导函数研究函数的单调性，结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值即可确定不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 设，则，即函数在上单调递减，‎ 又，所以，‎ 不等式即，所以，‎ 故使得不等式成立的的取值范围是．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的单调性，构造函数的方法，函数单调性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题 ‎13．1854年，地质学家W.K.劳夫特斯在森凯莱（古巴比伦地名）挖掘出两块泥板，其中一块泥板记着：‎ ‎……‎ 照此规律，__________.（写成“”的形式）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察所给的等式确定a,b的特征，结合所给的数确定“”的形式的数即可.‎ ‎【详解】‎ 观察所给的等式可知a为所给的数除以60所得的商，b为所给的数除以60所得的余数，‎ 由于：，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理及其应用，属于基础题.‎ ‎14．为虚数单位，则复数的虚部b=________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由题意结合复数的运算法则计算复数的值，然后确定其虚部即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意结合复数的运算法则有：‎ ‎，‎ 则，‎ 据此可得复数的虚部.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算法则，i的指数幂的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先将极坐标化为直角坐标，然后利用弦长公式求弦长即可.‎ ‎【详解】‎ 直线的极坐标方程化为直角坐标方程即：，‎ 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程即：，‎ 则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得弦长为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，圆想弦长公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．已知函数，则函数的零点个数为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】首先求解关于的方程，然后研究函数的性质，结合函数的图像和函数在区间上的性质即可确定的题中所给方程的解的个数.‎ ‎【详解】‎ 函数的零点，即的解，‎ 可得或，‎ 当时，，可得，‎ 令，可得或，‎ 当时，，函数是减函数，‎ 当时，，函数是增函数，‎ 时，函数取得极大值：1，时，函数取得极小值：-1，‎ 时，，绘制函数图像如图所示.‎ 故，函数有1个零点，，函数有2个零点；‎ 所以，函数的零点个数为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的性质及其应用，函数零点个数的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求a的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，则.‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∵∴，‎ ‎∴∴．‎ ‎（Ⅱ）由：可得．‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎18．数列的前n项和记为，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)由递推关系可知数列是从第二项开始的等比数列，据此结合题意确定数列的通项公式即可；‎ ‎(2)结合(1)中求得的数列的通项公式错位相减即可确定数列的前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）时，，‎ 两式相减可得，.‎ ‎，，‎ 时，，‎ 也符合上式，数列的通项公式为；‎ ‎（2）（1）‎ ‎，（2）‎ ‎（1）-（2），得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．‎ ‎19．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.‎ ‎（1）设平面平面，证明：；‎ ‎（2）若E是的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）已知条件易证平面，又平面平面，且平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）利用等体积转化法可求.‎ 试题解析：(1)因为，平面，平面，所以平面.又平面平面，且平面，所以. ‎ ‎(2)因为底面是菱形，所以.因为，且是中点，所以.又，所以面.所以是三棱锥的高. 因为为边长为2的等边的中线，所以.因为为等腰的高线，所以.在中，，，，所以，所以. 所以， 因为是线段的中点，所以. 所以.‎ ‎20．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：‎ 年龄 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 支持“生育二胎”‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异？‎ 支持 不支持 合计 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 ‎（2）若对年龄在，的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？‎ 参考数据：.‎ 附：.‎ ‎【答案】（1）没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（2）.‎ ‎【解析】（1）建立2乘2列联表，利用公式求解，根据计算结果得出结论；‎ ‎(2)列举出基本事件后利用古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎（1）2乘2列联表 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 ‎ 合计 支持 ‎ 32‎ 不支持 ‎ 18‎ 合 计 ‎10‎ ‎40‎ ‎ 50‎ ‎＜‎ 所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异 ‎（2）年龄在中支持“生育二胎”的4人分别为，不支持“生育二胎”的人记为，则从年龄在的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：‎ ‎，。记“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A，则事件A所有可能的结果有：，所以。所以对年龄在的的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验、古典概型的概率，考查应用数学知识解决实际问题的能力.‎ ‎21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，4a=8，则a=2，‎ 由椭圆离心率，则b2=3．‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．‎ 又A，B两点在椭圆C上，‎ ‎∴，‎ ‎∴点O到直线AB的距离，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．‎ 由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，‎ 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，‎ 整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．‎ ‎∴点O到直线AB的距离为定值．‎ 综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）令，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，正实数满足，证明：.‎ ‎【答案】（1）当时，函数的递增区间是，无递减区间；当时，函数的递增区间是，递减区间是.（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）化简，，对分成和两类讨论的单调区间；（2）当时，，转化为，令，利用导数求得，又，故，由可知.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，即在单调递增，‎ 当时，，令，得，‎ 所以当时，，单调递增，‎ 当时，单调递减，‎ 综上，当时，函数单调递增区间为，无递减区间；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）当时，，‎ 由可得，‎ 即，‎ 令，则，‎ 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以，所以，‎ 又，故，‎ 由可知．‎ ‎【考点】函数导数与不等式．‎ ‎【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．‎