2019届二轮复习小题专练基本初等函数函数的应用课件（47张）

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第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 21 练　基本初等函数、函数的应用 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题 . 2 . 题目难度：中档偏难 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　幂、指数、对数的运算与大小比较 方法技巧 　幂、指数、对数的大小比较方法 (1) 单调性法； (2) 中间值法 . 核心考点突破练 1.(2018· 浙江省杭州市第二中学模拟 ) 已知 0< a < b <1 ，则 A .(1 － a ) >( 1 － a ) b B .(1 － a ) b >(1 － a ) C.(1 ＋ a ) a >(1 ＋ b ) b D .(1 － a ) a >(1 － b ) b √ 解析　 因为 0< a <1 ，所以 0<1 － a <1 ，所以 y ＝ (1 － a ) x 是减函数， 所以 (1 － a ) <(1 － a ) b ， (1 － a ) b <(1 － a ) ， 所以 A ， B 两项均错 ； 又 1<1 ＋ a <1 ＋ b ，所以 (1 ＋ a ) a <(1 ＋ b ) a <(1 ＋ b ) b ，所以 C 错； 对于 D ， (1 － a ) a >(1 － a ) b >(1 － b ) b ，所以 (1 － a ) a >(1 － b ) b ，故选 D. 答案 解析 2.(2018· 金华浦江适应性考试 ) 设正实数 a ， b 满足 6 a ＝ 2 b ，则 √ 解析　 ∵ 6 a ＝ 2 b ， ∴ a ln 6 ＝ b ln 2 ， 答案 解析 1 因为 a > b >1 ，所以 log a b <1 ， 答案 解析 答案 解析 考点二　基本初等函数的性质 方法技巧 　 (1) 指数函数的图象过定点 (0,1) ，对数函数的图象过定点 (1,0). (2) 应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数 . (3) 解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质 . √ 答案 解析 6. 函数 y ＝ 4cos x － e | x | (e 为自然对数的底数 ) 的图象可能是 √ 解析　 易知 y ＝ 4cos x － e | x | 为偶函数，排除 B ， D ， 又当 x ＝ 0 时， y ＝ 3 ，排除 C ，故选 A. 答案 解析 7. 已知函数 f ( x ) ＝ |lg( x － 1)| ，若 1 ＜ a ＜ b 且 f ( a ) ＝ f ( b ) ，则 a ＋ 2 b 的取值范围为 A.(3 ＋ 2 ，＋ ∞ ) B .[3 ＋ 2 ，＋ ∞ ) C.(6 ，＋ ∞ ) D .[6 ，＋ ∞ ) √ 答案 解析 解析　 由图象可知 b ＞ 2 ， 1 ＜ a ＜ 2 ， 答案 解析 若 f ( t )<1 ，由 f ( f ( t )) ＝ 2 f ( t ) ，可知 f ( t ) ＝－ 1 ， 考点三　函数与方程 方法技巧 　 (1) 判断函数零点个数的主要方法： ① 解方程 f ( x ) ＝ 0 ，直接求零点； ② 利用零点存在性定理； ③ 数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题 .(2) 解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 . 9. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x 2 － 3 x ，则函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － x ＋ 3 的零点的集合为 A.{1,3} B .{ － 3 ，－ 1,1,3} C.{2 － ， 1,3} D .{ － 2 － ， 1,3} 解析　 当 x ≥ 0 时， g ( x ) ＝ x 2 － 4 x ＋ 3 ， 由 g ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1 或 x ＝ 3. 当 x ＜ 0 时， g ( x ) ＝－ x 2 － 4 x ＋ 3 ， √ 答案 解析 10. 设函数 f ( x ) ＝ 则 方程 16 f ( x ) － lg| x | ＝ 0 的实根个数为 A.8 B.9 C.10 D.11 由图易得两函数图象在 ( － 1,0) 内有 1 个交点 ， 在 (1,10) 内有 9 个交点 ， 所以 两函数图象共有 10 个交点 ， 即 方程 16 f ( x ) － lg| x | ＝ 0 的实根的个数为 10 ，故选 C. √ 答案 解析 11. 已知函数 f ( x ) ＝ 若 关于 x 的方程 f ( x ) － k ＝ 0 有 唯一 一 个实数根，则实数 k 的取值范围是 ________________. [0,1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) 结合图象可以看出当 0 ≤ k <1 或 k >2 时符合题设 . 答案 解析 12. 已知函数 f ( x ) ＝ 若 方程 f ( x ) ＝ x ＋ a 有 2 个不同的实根 ， 则 实数 a 的取值范围是 ________________________. 答案 解析 { a | a ＝－ 1 或 0 ≤ a <1 或 a >1} 解析　 当直线 y ＝ x ＋ a 与曲线 y ＝ ln x 相切时，设切点为 ( t ， ln t ) ， 所以 t ＝ 1 ，切点坐标为 (1,0) ，代入 y ＝ x ＋ a ，得 a ＝－ 1. 又当 x ≤ 0 时， f ( x ) ＝ x ＋ a ⇔ ( x ＋ 1)( x ＋ a ) ＝ 0 ， 所以 ① 当 a ＝－ 1 时， ln x ＝ x ＋ a ( x >0) 有 1 个实根， 此时 ( x ＋ 1)( x ＋ a ) ＝ 0( x ≤ 0) 有 1 个实根，满足题意； ② 当 a < － 1 时， ln x ＝ x ＋ a ( x >0) 有 2 个实根， 此时 ( x ＋ 1)( x ＋ a ) ＝ 0( x ≤ 0) 有 1 个实根，不满足题意； ③ 当 a > － 1 时， ln x ＝ x ＋ a ( x >0) 无实根，此时要使 ( x ＋ 1)( x ＋ a ) ＝ 0( x ≤ 0) 有 2 个实根，应有－ a ≤ 0 且－ a ≠ － 1 ，即 a ≥ 0 且 a ≠ 1 ， 综上得实数 a 的取值范围是 { a | a ＝－ 1 或 0 ≤ a <1 或 a >1}. 解析　 由题意得 f (0) ＝ 0 ，解得 k ＝ 1 ， a >1 ， 所以 g ( x ) ＝ log a ( x ＋ 1) 为 ( － 1 ，＋ ∞ ) 上的增函数 ， 且 g (0) ＝ 0 ，故选 B. 1. 若函数 f ( x ) ＝ a x － k · a － x ( a >0 且 a ≠ 1) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上既是奇函数又是增函数，则函数 g ( x ) ＝ log a ( x ＋ k ) 的大致图象是 易错易混专项练 √ 答案 解析 2. 如果函数 y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1( a >0 且 a ≠ 1) 在区间 [ － 1,1] 上的最大值是 14 ，则 a 的值为 答案 解析 √ 解析　 令 a x ＝ t ( t >0) ，则 y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1 ＝ t 2 ＋ 2 t － 1 ＝ ( t ＋ 1) 2 － 2. 所以 y max ＝ ( a ＋ 1) 2 － 2 ＝ 14 ，解得 a ＝ 3( 负值舍去 ) ； 3.(2018· 全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ x ＋ a . 若 g ( x ) 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A.[ － 1,0) B .[0 ，＋ ∞ ) C.[ － 1 ，＋ ∞ ) D .[1 ，＋ ∞ ) 答案 解析 √ 解析　 令 h ( x ) ＝－ x － a ， 则 g ( x ) ＝ f ( x ) － h ( x ). 在同一坐标系中画出 y ＝ f ( x ) ， y ＝ h ( x ) 图象的示意图 ， 如 图所示 . 若 g ( x ) 存在 2 个零点，则 y ＝ f ( x ) 的图象与 y ＝ h ( x ) 的图象有 2 个交点，平移 y ＝ h ( x ) 的图象可知，当直线 y ＝－ x － a 过点 (0,1) 时，有 2 个交点， 此时 1 ＝－ 0 － a ， a ＝－ 1. 当 y ＝－ x － a 在 y ＝－ x ＋ 1 上方，即 a ＜－ 1 时，仅有 1 个交点，不符合题意； 当 y ＝－ x － a 在 y ＝－ x ＋ 1 下方，即 a ＞－ 1 时，有 2 个交点，符合题意 . 综上， a 的取值范围为 [ － 1 ，＋ ∞ ). 故 选 C. 4. 已知函数 f ( x ) ＝ 若 | f ( x )| ≥ ax ，则 a 的取值范围是 _______. 答案 解析 [ － 2,0] 解析　 由 y ＝ | f ( x )| 的图象知， ① 当 x ＞ 0 时，只有当 a ≤ 0 时， 才能满足 | f ( x )| ≥ ax . ② 当 x ≤ 0 时， y ＝ | f ( x )| ＝ | － x 2 ＋ 2 x | ＝ x 2 － 2 x . 故由 | f ( x )| ≥ ax ，得 x 2 － 2 x ≥ ax . 当 x ＝ 0 时，不等式为 0 ≥ 0 成立 . 当 x ＜ 0 时，不等式等价于 x － 2 ≤ a . 因为 x － 2 ＜－ 2 ， 所以 a ≥ － 2. 综上可知， a ∈ [ － 2,0 ]. 解题秘籍 　 (1) 基本初等函数的图象可根据特殊点及函数的性质进行判定 . (2) 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，解题中要优先考虑函数的定义域 . (3) 数形结合是解决方程、不等式的重要工具，指数函数、对数函数的底数要讨论 . 1. 设 a ＝ 2 0.3 ， b ＝ 3 0.2 ， c ＝ 7 0.1 ，则 a ， b ， c 的大小关系为 A. c < a < b B. a < c < b C. a < b < c D. c < b < a √ 解析　 由已知得 a ＝ 8 0.1 ， b ＝ 9 0.1 ， c ＝ 7 0.1 ， 构造 幂函数 y ＝ x 0.1 ， 根据 幂函数 y ＝ x 0.1 在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数 ， 得 c < a < b . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 2. 设 a ， b ， c 分别是方程 2 x ＝ x ， 2 x ， ＝ log 2 x 的实数根，则 A. c ＜ b ＜ a B. a ＜ b ＜ c C. b ＜ a ＜ c D. c ＜ a ＜ b √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为 2 a ＝ a ＞ 0 ， 所以 b ＜ 0 ＜ a ＜ 1 ＜ c . 3. 函数 f ( x ) ＝ | x － 2| － ln x 在定义域内零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析　 由题意，函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 由 函数零点的定义 ， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 内的零点即是方程 | x － 2| － ln x ＝ 0 的根 . 令 y 1 ＝ | x － 2| ， y 2 ＝ ln x ( x ＞ 0) ，在同一坐标系中画出两个函数的图象 . 由图得两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根 ， 即 对应函数有两个零点 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 函数 y ＝ ( 0 ≤ x ＜ 3) 的值域是 A.(0,1] B .(e － 3 ， e] C. [ e － 3 ， 1 ] D . [1 ， e ] √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 ∵ y ＝ ＝ (0 ≤ x ＜ 3) ， 当 0 ≤ x ＜ 3 时，－ 3 ＜－ ( x － 1) 2 ＋ 1 ≤ 1 ， ∴ e － 3 ＜ ≤ e 1 ，即 e － 3 ＜ y ≤ e ， ∴ 函数 y 的值域是 (e － 3 ， e ]. 5. 函数 f ( x ) ＝ a x ＋ log a ( x ＋ 1) 在 [0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ，则 a 的值为 √ 解析　 当 a ＞ 1 时，由 a ＋ log a 2 ＋ 1 ＝ a ，得 log a 2 ＝－ 1 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 0 ＜ a ＜ 1 时，由 1 ＋ a ＋ log a 2 ＝ a ， √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 若函数 f ( x ) ＝ a e x － x － 2 a 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析　 函数 f ( x ) ＝ a e x － x － 2 a 的导函数 f ′ ( x ) ＝ a e x － 1 ， 当 a ≤ 0 时， f ′ ( x ) ≤ 0 恒成立，函数 f ( x ) 在 R 上单调递减，不可能有两个零点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综上，实数 a 的取值范围是 (0 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 函数 f ( x ) ＝ 的图象如图所示，则下列结论成立的是 A. a >0 ， b >0 ， c <0 B. a <0 ， b >0 ， c >0 C. a <0 ， b >0 ， c <0 D. a <0 ， b <0 ， c <0 √ 所以 a ＜ 0 ，故选 C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 9. 已知幂函数 f ( x ) ＝ ( n 2 ＋ 2 n － 2 ) ( n ∈ Z ) 的图象关于 y 轴对称，且 在 ( 0 ，＋ ∞ ) 上是减函数，那么 n 的值为 ___. 1 解析　 由于 f ( x ) 为幂函数，所以 n 2 ＋ 2 n － 2 ＝ 1 ， 解得 n ＝ 1 或 n ＝－ 3 ，经检验，只有 n ＝ 1 符合题意 . 10. 已知函数 f ( x ) ＝ 若 函数 g ( x ) ＝ f ( f ( x )) － a 有三个 不同 的 零点，则实数 a 的取值范围是 _________ _ __. 解析　 设 t ＝ f ( x ) ，令 f ( f ( x )) － a ＝ 0 ，则 a ＝ f ( t ). 在 同一坐标系内作 y ＝ a ， y ＝ f ( t ) 的图象 ( 如图 ). 当 a ≥ － 1 时， y ＝ a 与 y ＝ f ( t ) 的图象有两个交点 . 设 交点的横坐标为 t 1 ， t 2 ( 不妨设 t 2 > t 1 ) 且 t 1 < － 1 ， t 2 ≥ － 1 ， 当 t 1 < － 1 时， t 1 ＝ f ( x ) 有一解；当 t 2 ≥ － 1 时， t 2 ＝ f ( x ) 有两解 . 当 a < － 1 时，只有一个零点 . 综 上可知，当 a ≥ － 1 时，函数 g ( x ) ＝ f ( f ( x )) － a 有三个不同的零点 . [ － 1 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 答案 解析 (4 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x ＝ 0 显然不是函数 f ( x ) ＝ ax － 1 的零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，当 x ＜ 0 时，两个函数只有一个交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 画出函数 y ＝ | f ( x )| 的图象如图 ， 结合图象可知当直线 y ＝ 2 － x 与函数 y ＝ x 2 ＋ 3 a 相切时，由 Δ ＝ 1 － 4(3 a － 2) ＝ 0 ， 由 函数 y ＝ f ( x ) 是单调递减函数可知， 0 ＋ 3 a ≥ log a (0 ＋ 1) ＋ 1 ， 函数 y ＝ | f ( x )| 与函数 y ＝ 2 － x 恰有两个不同的交点 ， 即 方程 | f ( x )| ＝ 2 － x 恰好有两个不相等的实数解， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束