2018-2019学年山西省长治市第二中学高二上学期期末考试数学(文)试题 解析版

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2018-2019学年山西省长治市第二中学高二上学期期末考试数学(文)试题 解析版

绝密★启用前 山西省长治市第二中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.函数的导函数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求导即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵f′(x)=8x,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查常见函数的导函数,属于基础题.‎ ‎2.已知命题:,:,则是的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析:根据题意,求得,即可利用集合之间的关系,判定得到结论.‎ 详解:由题意可得,解得,‎ 则“”是“”成立的充分不必要条件,‎ 即“”是“”成立的充分不必要条件,故选A.‎ 点睛:本题考查了充分不必要条件的判定,其中正确求解命题,利用集合之间的大小关系是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.‎ ‎3.双曲线的实轴长是 A.2 B. C.4 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:双曲线方程变形为,所以,虚轴长为 考点:双曲线方程及性质 ‎4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为2,则,选B.‎ ‎【考点定位】三视图与几何体的体积 ‎5.函数y=f(x)的导函数的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像可能是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设导函数y=f′(x)的图象与x轴的交点从小到大依次为a,b,c,故函数y=f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,b)单调递增,在(b,c)单调递减,在(c,+∞)单调递增,结合选项不难发现选D.‎ ‎6.直线平分圆的面积,则a=( )‎ A.1 B.3 C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线平分圆,说明该直线过圆心,将圆心坐标代入直线方程,计算a,即可。‎ ‎【详解】‎ 该直线平分圆,说明直线过圆的圆心,将圆方程转化为标准方程,为 ‎,圆心坐标为,代入直线方程,得到 ‎,故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了直线与圆的位置关系,考查了参数计算方法,难度较小。‎ ‎7.已知双曲线C: (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的渐近线方程可得=,① 由椭圆的焦点坐标(),即c=3 a2+b2=9,②,解方程可得a,b的值,得到双曲线的方程.‎ ‎【详解】‎ 双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,‎ 可得=,①‎ 椭圆的焦点为(±3,0),‎ 可得c=3,即a2+b2=9,②‎ 由①②可得a=2,b= ,‎ 则双曲线的方程为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程的求法,注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎8.函数递增区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域,然后求函数f(x)的导数,令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵f(x)=lnx﹣4x+1定义域是{x|x>0}‎ ‎∵f'(x)4‎ 当f'(x)>0时,0<x,所以函数递增区间为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系,属于基础题.‎ ‎9.设、 分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出P、Q两点间的最大距离.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆上点Q,则 ,因为圆的圆心为,半径为,所以椭圆上的点与圆心的距离 为,‎ 所以P、Q两点间的最大距离是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆与椭圆,两点间的距离转化为定点圆心与椭圆上动点间的距离的最值,属于中档题.‎ ‎10.如图,已知直线与抛物线交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标(4,2),则p=( )。‎ A.3 B. C. D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合D点坐标,计算直线方程,代入抛物线方程,建立一元二次方程,结合,‎ 建立等式,结合根与系数的关系,代入,计算p,即可。‎ ‎【详解】‎ 设出该直线方程为,得到因为D O点到该直线的距离为,结合点到直线距离公式,得到 解得,‎ 将直线方程代入抛物线方程,得到,解得 ‎,结合得到 ‎,得到,解得,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了直线与抛物线位置关系,考查了直线方程计算,难度偏难。‎ ‎11.已知椭圆:的左右焦点分别为,为椭圆上的一点与椭圆交于。若的内切圆与线段在其中点处相切,与切于,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意,证明得到三角形为等边三角形,对三角形运用余弦定理,计算离心率,即可.‎ ‎【详解】‎ 结合题意可知结合内切圆的性质,可得,结合椭圆的性质 ‎,而,所以,结合内切圆的性质,可以得出结合椭圆的性质,可得,由此可知为等边三角形,进而得出,对三角形运用余弦定理,得到 ‎,解得,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了椭圆基本性质,考查了余弦定理,难度偏难.‎ ‎12.已知函数,其中e是自然数对数的底数,若,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性将函数转化为f(M)≤f(N)的形式,再利用单调性脱去对应法则f,转化为一般的二次不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由于,,则f(﹣x)=﹣x3+e﹣x﹣ex=﹣f(x),故函数f(x)为奇函数.‎ 故原不等式f(a﹣1)+f(2a2)≤0,可转化为f(2a2)≤﹣f(a﹣1)=f(1﹣a),即f(2a2)≤f(1﹣a);‎ 又f'(x)=3x2﹣cosx+ex+e﹣x,由于ex+e﹣x≥2,故ex+e﹣x﹣cosx>0,‎ 所以f'(x)=3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立,‎ 故函数f(x)单调递增,则由f(2a2)≤f(1﹣a)可得,2a2≤1﹣a,即2a2+a﹣1≤0,‎ 解得,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用,考查了不等式的解法,属于中档题.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.命题,使得”的否定为____。‎ ‎【答案】都有 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 改为,改为,即可。‎ ‎【详解】‎ 改为,改为,故命题的否定为都有 ‎【点睛】‎ 本道题考查了命题的否定改写,关键抓住改为,改为,属于较容易的题。‎ ‎14.函数的极值点是____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令导数为0,计算x,即可。‎ ‎【详解】‎ 解得 ‎【点睛】‎ 本道题考查了函数导数计算方法,关键抓住,即可,难度较容易。‎ ‎15.已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,点P为双曲线右支上的一点,满足,且,则该双曲线离心率为 . ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:,在中,设,‎ 则,.‎ 考点:双曲线的离心率.‎ ‎16.已知函数,若过点P(1,t)存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围__________。‎ ‎【答案】(-3,-1)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点,由斜率的两种表示得到等式,化简得三次函数,将题目条件化为函数有三个零点,得解.‎ ‎【详解】‎ 设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x,2x3﹣3x),‎ 则6x2﹣3,‎ 化简得,4x3﹣6x2+3+t=0,‎ 令g(x)=4x3﹣6x2+3+t,‎ 则令g′(x)=12x(x﹣1)=0,‎ 则x=0,x=1.‎ ‎∴g(x)在(1,+)上单增,在(0,1)上单减,‎ 且g(0)=3+t,g(1)=t+1,‎ 又∵过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,‎ 则(t+3)(t+1)<0,‎ 解得,﹣3<t<﹣1.‎ 故答案为(-3,-1).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义,同时考查了斜率的表示方法,考查了用导数解决函数零点个数的判断,属于难题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.已知命题 “方程表示焦点在轴上的椭圆”,命题 “方程表示双曲线”.‎ ‎(1)若是真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若“或”是真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)或.‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)由题意得到关于实数k的不等式组,求解不等式组有.‎ ‎(2)由题意可得,命题至少一个是真命题,即一真一假或全为真.据此得到关于实数k的不等式组,求解不等式组可得实数的取值范围是或.‎ 试题解析:‎ ‎(1)命题:“方程表示焦点在轴上的椭圆”,则,解得.‎ ‎(2)命题 “方程表示双曲线”,则,解得或.‎ 若“或”是真命题,则至少一个是真命题,即一真一假或全为真.‎ 则或或,‎ 所以或或或.‎ 所以或.‎ ‎18.如图,四面体ABCD中,O是BD中点,AB=AD=2,.‎ ‎(1)求证:AO⊥平面BCD;‎ ‎(2)求点D到平面ABC的距离。‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等腰三角形和勾股定理得到AO与BD,OC垂直,即可得证;‎ ‎(2)利用第一步得到的三线垂直,建立空间坐标系,容易找到各点坐标,从而得到所需向量和法向量,代入公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)连接OC,‎ ‎∵BO=DO,AB=AD,‎ ‎∴AO⊥BD,‎ ‎∵BO=DO,BC=CD,‎ ‎∴CO⊥BD,‎ 在△AOC中,由题设知 AO,,AC,‎ ‎∴AO2+CO2=AC2,‎ ‎∴∠AOC=90°,‎ 即AO⊥OC,‎ ‎∵BD∩OC=O,‎ ‎∴AO⊥平面BCD;‎ ‎(2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,),B(,0,0),‎ C(0,,0),D(,0,0),‎ ‎,.‎ 设平面ABC的一个法向量为(x,y,z),‎ 则 令y=1,得(,1,)‎ 又,‎ ‎∴点D到平面ABC的距离 ‎,‎ 即点D到平面ABC的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面垂直,点到平面的距离,考查了空间向量解决立体问题的方法,难度适中.‎ ‎19.已知圆C的圆心为(1,1),直线与圆C相切。‎ ‎(1)求圆C的标准方程;‎ ‎(2)若直线过点(2,3),且被圆C所截得的弦长为2,求直线的方程。‎ ‎【答案】(1)(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)结合点到直线距离公式,计算半径,建立圆方程,即可。(2)结合点到直线距离公式,计算斜率k,建立直线方程,即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)该圆心到直线距离为,所以该圆的标准方程为 ‎(2)结合题意,可以计算出该圆心到直线距离,圆心坐标为 该直线过点,可设出该直线方程为,结合点到直线距离公式 则,解得,同时当直线为也满足条件,故直线方程为 ‎【点睛】‎ 本道题考查了点到直线距离公式,关键抓住圆心到直线距离,建立方程,计算,属于中档题。‎ ‎20.已知函数的图象过点,且在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)求的单调区间.‎ ‎【答案】(1) 解析式为;(2) 在和内是增函数,在内是减函数.‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)由题意结合切线的性质可得关于实数b,c的方程组,求解方程组可得函数的解析式为.‎ ‎(2)结合(1)中函数的解析式求导可得,结合导函数与原函数的单调性之间的关系可得函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由的图象经过点,知,‎ ‎∴, .‎ 由在点处的切线方程为,‎ 知,即, .‎ ‎∴即解得.‎ 故所求的解析式是.‎ ‎(2)‎ 令,得或;‎ 令,得.‎ 故的单调递增区间为和 单调递减区间为.‎ ‎21.已知函数。‎ ‎(1)证明:当时,恒成立;‎ ‎(2)若函数在R上只有一个零点,求的取值范围。‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导,得到函数的最小值为2,即可证明.‎ ‎(2对a分类讨论,易得a=0时无零点,a<0和a>0时求函数的导数,判断函数的单调性和极值,通过分析特殊点的函数值即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)f′(x)=,‎ 令f′(x)=0,得到x=0,‎ 当x<0时,f′(x)<0,单调递减,‎ 当x>0时,f′(x)>0,单调递增, ∴在x=0处取得最小值.‎ ‎, ‎ ‎∴.‎ ‎(2)当a=0时,>0恒成立,无零点,与题意不符;‎ 当a<0时,f′(x)=,在R上单调递增,‎ 又x=时,=-1+a<1-1+a<0,x=1时,=e>0,‎ 根据零点存在性定理,在R上有唯一零点,‎ 当a>0时,f′(x)=‎ 令f′(x)=,x=lna,‎ ‎,f(x)单减,‎ ‎,f(x)单增,‎ 在x=lna处取得最小值,f(lna)=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0,‎ Lna=2,所以a=‎ ‎∴当a<0或a=时,在R上有唯一的零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了运用导数求函数的最值,考查了函数的零点的判断,注意运用分类讨论思想,考查逻辑思维能力,具有一定的难度.‎ ‎22.在平面直角坐标系xoy中,已知A(1,0),点B在直线x=-1上,M点满足,,M点的轨迹为曲线C。‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)斜率为的直线l与曲线C交于P、Q两点,曲线C上是否存在定点N,使得NP与NQ的倾斜角互补,若存在,求点N的坐标,若不存在请说明理由。‎ ‎【答案】(1)(2)(1,2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出M,B的坐标,结合,建立方程,得出曲线C的方程,即可。(2)设出N的坐标,设出PQ的方程,代入抛物线方程,分别表示,求和,即可。‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设M点的坐标为则 则 由于 即 所以曲线C的方程是 ‎(2)假设满足条件的点N存在,设设PQ的方程为 联立消去x得 则的斜率分别为 同理 点N的坐标是(1,2)‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了直线与抛物线位置关系,考查了抛物线方程求解,难度偏难。‎
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