2014-2018年五年真题分类第十章 圆锥曲线与方程

2014-2018年五年真题分类第十章 圆锥曲线与方程

第十章 圆锥曲线 考点1 椭圆 ‎1．（2018全国Ⅱ，12）已知F‎1‎，F‎2‎是椭圆C：  x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1 (a>b>0)‎的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为‎3‎‎6‎的直线上，‎△PF‎1‎F‎2‎为等腰三角形，‎∠F‎1‎F‎2‎P=120°‎，则C的离心率为(　　)‎ A．‎2‎‎3‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎1‎‎4‎ ‎1.D 因为‎△PF‎1‎F‎2‎为等腰三角形，‎∠F‎1‎F‎2‎P=120°‎，所以PF2=F1F2=2c,由AP斜率为‎3‎‎6‎得，tan∠PAF‎2‎=‎3‎‎6‎,∴sin∠PAF‎2‎=‎1‎‎13‎，cos∠PAF‎2‎=‎‎12‎‎13‎，由正弦定理得PF‎2‎AF‎2‎‎=‎sin∠PAF‎2‎sin∠APF‎2‎,‎ 所以‎2ca+c‎=‎1‎‎13‎sin(π‎3‎−∠PAF‎2‎)‎=‎1‎‎13‎‎3‎‎2‎‎⋅‎12‎‎13‎−‎1‎‎2‎⋅‎‎1‎‎13‎=‎2‎‎5‎∴a=4c,e=‎‎1‎‎4‎，选D.‎ ‎2.（2017•新课标Ⅲ,10）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（    ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. A 以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2 ． ∴椭圆C的离心率e= = = ．故选A．‎ ‎3.（2017•浙江,）椭圆 + =1的离心率是（    ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. B 椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ， ‎ 所以椭圆的离心率为： = ．故选B．‎ ‎4.(2016·浙江，7)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)‎ A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1 C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1‎ ‎4. A [由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，‎ 又∵m＞0，n＞0，故m＞n.‎ 又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.]‎ ‎5.(2016·全国Ⅲ，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5.A [设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.]‎ ‎6.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎6.A　[由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，‎ ‎∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.‎ 又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1，故选A.]‎ ‎7．（2018浙江，17）已知点P(0，1)，椭圆x‎2‎‎4‎+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．‎ ‎7.5 设A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎，由AP‎=2‎PB得‎−x‎1‎=2x‎2‎,1−y‎1‎=2(y‎2‎−1),∴−y‎1‎=2y‎2‎−3,‎ 因为A,B在椭圆上,所以x‎1‎‎2‎‎4‎‎+y‎1‎‎2‎=m,x‎2‎‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=m,‎ ‎∴‎4‎x‎2‎‎2‎‎4‎+‎(2y‎2‎−3)‎‎2‎=m,∴x‎2‎‎2‎‎4‎+‎(y‎2‎−‎3‎‎2‎)‎‎2‎=‎m‎4‎，与x‎2‎‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=m对应相减得y‎2‎‎=‎3+m‎4‎,x‎2‎‎2‎=−‎1‎‎4‎(m‎2‎−10m+9)≤4‎，当且仅当m=5‎时取最大值.‎ ‎8.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.‎ ‎8. [联立方程组解得B、C两点坐标为B,C,又F(c,0),则＝，＝，‎ 又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得：c2－a2＋＝0①，‎ 又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e＝＝＝.‎ ‎9.(2014·辽宁，15)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.‎ ‎9.12　[设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.]‎ ‎10.(2014·安徽，14)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.‎ ‎11.　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2得＝，所以e＝.]‎ ‎12．（2018全国Ⅲ，20）已知斜率为k的直线l与椭圆C：  x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1‎交于A，B两点，线段AB的中点为M‎1 ，  mm>0‎．‎ ‎（1）证明：k<−‎‎1‎‎2‎；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP‎+FA+FB=0‎．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．‎ ‎12.（1）设A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎，则x‎1‎‎2‎‎4‎‎+y‎1‎‎2‎‎3‎=1,x‎2‎‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎‎3‎=1‎.‎ 两式相减，并由y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎=k得 x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎‎+y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎⋅k=0‎‎.‎ 由题设知x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=1,y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=m，于是 k=-‎‎3‎‎4m‎.①‎ 由题设得‎0b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值.‎ ‎13.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，‎ 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， ， ，‎ 由，可得ab=6，从而a=3，b=2．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．‎ 由已知有y1>y2>0，故．‎ 又因为，而∠OAB=，故．‎ 由，可得5y1=9y2．‎ 由方程组消去x，可得．‎ 易知直线AB的方程为x+y–2=0，‎ 由方程组消去x，可得．‎ 由5y1=9y2，可得5（k+1）=，‎ 两边平方，整理得，‎ 解得，或．‎ 所以，k的值为或 ‎14.（2017•江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标． ‎ ‎ ‎ ‎14. （1）设椭圆的半焦距为c. ‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以， ， ‎ 解得，于是， ‎ 因此椭圆E的标准方程是.‎ ‎（2）由（1）知， ， .‎ 设，因为点为第一象限的点，故.‎ 当时， 与相交于，与题设不符.‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 因为， ，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程： ， ①‎ 直线的方程： . ②‎ 由①②，解得，所以.‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得； ，无解.‎ 因此点P的坐标为 ‎ ‎15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.‎ ‎15.解　(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.当t＝4时，E的方程为＋＝1,A(-2,0).‎ 由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.‎ 因此直线AM的方程为y＝x＋2.‎ 将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝，所以y1＝.‎ 因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.‎ ‎(2)由题意t>3，k>0，A(－，0)，将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－)＝得x1＝，‎ 故|AM|＝|x1＋|＝.‎ 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，故同理可得|AN|＝.‎ 由2|AM|＝|AN|得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)，‎ 当k＝时上式不成立，因此t＝.‎ t>3等价于＝<0，即<0.‎ 由此得或解得b ‎>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值.‎ ‎16.(1)解　由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.‎ 由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①‎ 方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，‎ 此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2，1).‎ ‎(2)证明　由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，‎ 由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2＝m2.‎ 设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ 由方程组可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②‎ 方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，‎ 由Δ>0，解得－0, b>0)‎的离心率为‎3‎，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y=±‎2‎x B．y=±‎3‎x C．y=±‎2‎‎2‎x D．‎y=±‎3‎‎2‎x ‎3.A ‎∵e=ca=‎3‎,∴b‎2‎a‎2‎=c‎2‎‎−‎a‎2‎a‎2‎=e‎2‎−1=3−1=2,∴ba=‎2‎,‎因为渐近线方程为y=±bax，所以渐近线方程为y=±‎2‎x，选A.‎ ‎4．（2018全国Ⅲ，11）设F‎1‎,F‎2‎是双曲线C:x‎2‎a‎2‎−y‎2‎b‎2‎=1‎（）的左、右焦点，O是坐标原点．过F‎2‎作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF‎1‎‎=‎‎6‎OP，则C的离心率为(　　)‎ A．‎5‎ B．‎3‎ C．‎2‎ D．‎‎2‎ ‎4.B 由题可知PF‎2‎‎=b,OF‎2‎=c,‎∴PO=a,在Rt△POF‎2‎中，cos∠PF‎2‎O=PF‎2‎OF‎2‎=‎bc,‎ ‎∵‎在‎△‎PF‎1‎F‎2‎中,cos∠PF‎2‎O=‎|PF‎2‎|‎‎2‎‎+‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎2‎-‎‎|PF‎1‎|‎‎2‎‎2|PF‎2‎||F‎1‎F‎2‎|‎=‎bc,‎∴b‎2‎‎+4c‎2‎-‎‎(‎6‎a)‎‎2‎‎2b∙2c=bc⇒c‎2‎=3‎a‎2‎,‎∴e=‎‎3‎.‎ 故选C.‎ ‎5．（2018天津，7）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5.C 设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得： ，不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为： ，‎ 据此可得： ， ，则，则，双曲线的离心率： ，据此可得： ，则双曲线的方程为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6.（2017•新课标Ⅱ,9）若双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣‎ ‎2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（    ） ‎ A.2 B. C. D.‎ ‎6. A 双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0， ‎ 圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为： = ，解得： ，可得e2=4，即e=2．故选A．‎ ‎7.（2017•新课标Ⅲ,5）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（    ） ‎ A.﹣ =1 B.﹣ =1 C.﹣ =1 D.﹣ =1‎ ‎7. B 椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： ﹣ =1． 故选B． 8.（2017·天津,5）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　） ‎ A.=1 B.=1 C.=1 D.=1‎ ‎8. B 设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a， 则双曲线为等轴双曲线，即a=b， 双曲线的渐近线方程为y=± x=±x， 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ， 则 =1，c=4，则a=b=2 ， ∴双曲线的标准方程： ；故选B．‎ ‎9.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A.(－1，3) B.(－1，) C.(0，3) D.(0，)‎ ‎9.A [∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1‎ ‎17.A　[由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(-5,0),所以a2＋b2＝c2＝25,解得a2＝5,b2＝20,故双曲线方程为－＝1.选A.]‎ ‎18.(2014·广东，4)若实数k满足00)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)‎ A. B.3 C.m D.3m ‎19.A　[∵双曲线的方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为.]‎ ‎20.(2014·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D.3‎ ‎20.B　[由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||＝2a,又|PF1|＋|PF2|＝3b,所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|-|PF2|)2＝9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9-－4＝0,则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.]‎ ‎21.(2014·山东，10)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)‎ A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±2y＝0 D.2x±y＝0‎ ‎21.A　[椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－‎ b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.]‎ ‎22.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上.若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎22.A　[由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a.‎ ‎∵e＝＝2，∴c＝2a，∴|F1F2|＝4a.∴cos∠AF2F1＝ ‎＝＝，故选A.]‎ ‎23．（2018江苏，8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x‎2‎a‎2‎‎−y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的右焦点F(c,0)‎到一条渐近线的距离为‎3‎‎2‎c，则其离心率的值是________．‎ ‎23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)‎到渐近线y=±bax,‎即bx±ay=0‎的距离为‎|bc±0|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=bcc=b,‎所以b=‎3‎‎2‎c，因此a‎2‎‎=c‎2‎−b‎2‎=c‎2‎−‎3‎‎4‎c‎2‎=‎1‎‎4‎c‎2‎,‎ ‎a=‎1‎‎2‎c,e=2.‎ ‎24.（2017•山东,14）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎24. y=± x 把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴yA+yB= ，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ，∴ =p，∴ = ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x．故答案为：y=± x． ‎ ‎25.（2017•北京,9）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m=________． ‎ ‎25.2 双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ，可得： ， 解得m=2．故答案为：2． 26.（2017•江苏,8）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ， F2 ， 则四边形F1PF2Q的面积是________． ‎ ‎26.2   双曲线 ﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x， 所以P（ ， ），Q（ ，﹣ ），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是： =2 ．故答案为：2 ． ‎ ‎27.(2016·山东，13)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.‎ ‎27.2 [由已知得|AB|＝,|BC|＝2c,∴2×＝3×2c,又∵b2＝c2-a2,整理得：2c2-3ac-2a2=0，两边同除以a2得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).]‎ ‎28.(2015·浙江，9)双曲线－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.‎ ‎28.2　y＝±x　[由双曲线方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距为2，渐近线方程为y＝±x.]‎ ‎29.(2015·北京，10)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.‎ ‎29.　[双曲线渐近线方程为y＝±x，∴＝，又b＝1，∴a＝.]‎ ‎30.(2015·湖南，13)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.‎ ‎30.　[不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入－＝1得＝5，∴e＝.]‎ ‎31.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.‎ ‎31.　[双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.]‎ ‎32.(2014·浙江，16)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________.‎ ‎32.　[联立直线方程与双曲线渐近线方程y＝±x可解得交点为 ，，而kAB＝，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即＝－3，化简得4b2＝a2，所以e＝.]‎ ‎33.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝ 相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.‎ ‎33.(1)解　设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝，‎ 直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B.‎ 又直线OA的方程为y＝x，则A，kAB＝＝.‎ 又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.‎ 因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M；‎ 直线l与直线x＝的交点为N.‎ 则＝＝＝·，‎ 因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，代入上式得 ＝·＝·＝，‎ 所求定值为＝＝.‎ 考点3 抛物线 ‎1．（2018全国Ⅰ，8）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为‎2‎‎3‎的直线与C交于M，N两点，则FM‎⋅‎FN=(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎1.D 根据题意，过点（–2，0）且斜率为‎2‎‎3‎的直线方程为y=‎2‎‎3‎(x+2)‎，与抛物线方程联立y=‎2‎‎3‎(x+2)‎y‎2‎‎=4x，消元整理得：y‎2‎‎−6y+8=0‎，解得M(1,2),N(4,4)‎，又F(1,0)‎，所以FM‎=(0,2),FN=(3,4)‎，从而可以求得FM‎⋅FN=0×3+2×4=8‎，故选D.‎ ‎2.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎2.B [不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0),如图，又可设A(x0，2)，‎ D，点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①‎ 点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②‎ 点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋＝r2，③‎ 联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.]‎ ‎3.(2015·天津，6)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1‎ ‎3.D　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，①‎ 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②，‎ 联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1，选D.]‎ ‎4.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)‎ A.　　　B. C.　　　D. ‎4.A　[由图象知＝＝，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，‎ ‎∴xB＝|BF|-1，xA＝|AF|－1，∴＝.故选A.]‎ ‎5．（2018全国Ⅲ，16）已知点M‎-1 ，  1‎和抛物线C：  y‎2‎=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若‎∠AMB=90°‎，则k=‎________．‎ ‎5.2 设Ax‎1‎‎,‎y‎1‎,B(x‎2‎,y‎2‎)‎,则‎{‎y‎1‎‎2‎‎=4‎x‎1‎y‎2‎‎2‎‎=4‎x‎2‎,所以y‎1‎‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=4x‎1‎-4‎x‎2‎,所以k=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=‎‎4‎y‎1‎‎+‎y‎2‎.取AB中点M'(x‎0‎，y‎0‎)‎,分别过点A,B作准线x=-1‎的垂线，垂足分别为A‎'‎‎,B'‎,因为‎∠AMB=‎‎90‎‎°‎,‎∴MM‎'‎=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎AF‎+‎BF=‎1‎‎2‎(AA‎'‎+|BB'|)‎,因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴,因为M(-1,1),所以y‎0‎‎=1‎，则y‎1‎‎+y‎2‎=2‎即k=2‎.‎ ‎6.（2017•新课标Ⅱ,16）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________． ‎ ‎6. 6 抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=‎ ‎2 =6．故答案为：6． ‎ ‎7.(2016·浙江，9)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.‎ ‎7.9 [抛物线y2＝4x的焦点F(1,0).准线为x＝-1,由M到焦点的距离为10,可知M到准线x＝-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM＋1＝10,解得xM＝9,所以点M到y轴的距离为9.]‎ ‎8.(2015·陕西，14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.‎ ‎8.2　[由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.]‎ ‎9.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a， b(a0)经过C，F两点，则＝________.‎ ‎9.1＋　[由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.]‎ ‎10.(2014·上海，3)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________.‎ ‎10.x＝-2　[∵c2＝9-5＝4,∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2，0),∴＝2,即p＝4.‎ ‎∴抛物线的准线方程为x＝-2.]‎ ‎11.（2017•北京,18）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点． ‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； ‎ ‎(2)求证：A为线段BM的中点． ‎ ‎11.（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p= ， ∴y2=x， ∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ， （2）（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为 y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x， 由题意知A（x1 ， x1），B（x1 ， ）， 由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0， ∴x1+x2= ，x1x2= ∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ = ∴A为线段BM的中点． ‎ ‎ ‎ ‎12.(2015·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，‎ ‎(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.‎ ‎12.解　(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).‎ 又y′＝,故y＝在x＝2处的导数值为,C在点(2，a)处的切线方程为y-a＝(x-2)，即x-y-a＝0.y＝在x＝-2处的导数值为-,C在点(-2，a)处的切线方程为y-a＝-(x＋2),即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.‎ ‎(2)存在符合题意的点，证明如下：‎ 设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.‎ 将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.‎ 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.‎ 从而k1＋k2＝＋＝＝.‎ 当b＝－a时，有k1＋k2＝0，‎ 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，‎ 所以点p(0，－a)符合题意.‎ ‎13.(2014·大纲全国，21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为 P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.‎ ‎13.解(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.‎ 由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).‎ 代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1).‎ 又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.‎ 将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.‎ 设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3).‎ 故MN的中点为E，‎ ‎|MN|＝|y3－y4|＝.‎ 由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，‎ 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即 ‎4(m2＋1)2＋＋＝.‎ 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.‎ 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.‎ 考点4 圆锥曲线的综合应用 ‎1.（2017•新课标Ⅰ,）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ， 直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　） ‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎1. A 如图，l1⊥l2 ， 直线l1与C交于A、B两点， 直线l2与C交于D、E两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l2过点（1，0）， 则直线l2的方程为y=x﹣1， 联立方程组 ，则y2﹣4y﹣4=0， ∴y1+y2=4，y1y2=﹣4， ∴|DE|= •|y1﹣y2|= × =8， ∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16， 故选A. ‎ ‎ ‎ ‎2.(2015·重庆,10)设双曲线－＝1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a＋,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)‎ A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)‎ C.(－,0)∪(0,) D.(－∞,－)∪(,＋∞)‎ ‎2.A　[由题意A(a,0),B,C,由双曲线的对称性知D在x轴上,设D(x,0),由BD⊥AC得·＝－1,解得c－x＝,所以c－x＝＜a＋＝a＋c,所以＜c2－a2＝b2⇒＜1⇒0＜＜1,因此渐近线的斜率取值范围是(－1,0)∪(0,1),选A.]‎ ‎3.(2014·辽宁,10)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3.D　[∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上,∴－＝－2,∴p＝4,∴y2＝8x,设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①,将①与y2＝8x联立,即,‎ 得y2－8ky＋24k＋16＝0②,则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0,即2k2－3k－2＝0,解得k＝2或k=-(舍去),将k＝2代入①②解得,即B(8,8),又F(2,0),∴kBF＝＝,故选D.]‎ ‎4.(2014·新课标全国Ⅱ,10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4.D　[易知直线AB的方程为y＝(x－),与y2＝3x联立并消去x得4y2－12y－9＝0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1＋y2＝3,y1y2＝－.‎ S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×＝＝.故选D.]‎ ‎5.(2014·福建,9)设P,Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(　　)‎ A.5 B.＋ C.7＋ D.6 ‎5.D　[设圆的圆心为C,则C(0,6),半径为r＝,点C到椭圆上的点Q(cos α,sin α)的距离|CQ|＝＝ ‎＝≤＝5,当且仅当sin α＝－时取等号,所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5＋＝6,即P,Q两点间的最大距离是6,故选D.]‎ ‎6.(2014·湖北,9)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2＝,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎6.A　[假定焦点在x轴上,点P在第一象限,F1,F2分别在左、右焦点.设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0),双曲线的方程为－＝1(m>0,n>0),它们的离心率分别为e1,e2,则|PF1|＝a＋m,|PF2|＝a－m,在△PF1F2中,4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos ⇒a2＋3m2＝4c2⇒＋3＝4,则≥⇒＋＝＋≤,‎ 当且仅当a＝3m时,等号成立,故选A.]‎ ‎7.(2014·四川,10)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A.2 B.3 C. D. ‎7.B　[设点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设y1>0,y2<0),直线AB的方程为x＝ty＋m,且直线AB与x轴的交点为M(m,0).由消去x,得y2－ty－m＝0,所以y1y2＝－m.又·＝2,所以x1x2＋y1y2＝2,(y1y2)2＋y1y2－2＝0,因为点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧,‎ 所以y1y2＝－2,故m＝2.又F(,0),‎ 于是S△ABO＋S△AFO＝×2×(y1－y2)＋××y1＝y1＋≥2＝3,‎ 当且仅当y1＝,即y1＝时取“＝”,所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.]‎ ‎8．（2018北京，14）已知椭圆M：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎，双曲线N：x‎2‎m‎2‎−y‎2‎n‎2‎=1‎．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．‎ ‎8. ‎3‎‎−1 ‎ 2 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+‎3‎c，再根据椭圆定义得c+‎3‎c=2a，所以椭圆M的离心率为ca‎=‎2‎‎1+‎‎3‎=‎3‎−1.‎双曲线N的渐近线方程为y=±nmx，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π‎3‎‎，∴n‎2‎m‎2‎=tan‎2‎π‎3‎=3‎， ‎‎∴e‎2‎=m‎2‎‎+‎n‎2‎m‎2‎=m‎2‎‎+3‎m‎2‎m‎2‎=4，∴e=2.‎ ‎9.(2015·山东,15)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1：－＝1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________.‎ ‎9.　[由题意,不妨设直线OA的方程为y＝x,直线OB的方程为y＝－x.由得x2＝2p ·x,∴x＝,y＝,∴A.‎ 设抛物线C2的焦点为F,则F,∴kAF＝.‎ ‎∵△OAB的垂心为F,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB＝－1,∴·＝－1,∴＝.‎ 设C1的离心率为e,则e2＝＝＝1＋＝.∴e＝.] ‎ ‎10．（2018全国Ⅰ，19）设椭圆C:x‎2‎‎2‎+y‎2‎=1‎的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为‎(2,0)‎.‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，证明：‎∠OMA=∠OMB.‎ ‎10.（1）由已知得F(1,0)‎，l的方程为x=1.‎ 由已知可得，点A的坐标为‎(1,‎2‎‎2‎)‎或‎(1,-‎2‎‎2‎)‎.‎ 所以AM的方程为y=-‎2‎‎2‎x+‎‎2‎或y=‎2‎‎2‎x-‎‎2‎.‎ ‎（2）当l与x轴重合时，‎∠OMA=∠OMB=0°‎.‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以‎∠OMA=∠OMB.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)‎，A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎，‎ 则x‎1‎‎<‎2‎,x‎2‎<‎‎2‎，直线MA，MB的斜率之和为kMA‎+kMB=y‎1‎x‎1‎‎-2‎+‎y‎2‎x‎2‎‎-2‎.‎ 由y‎1‎‎=kx‎1‎-k,y‎2‎=kx‎2‎-k得 kMA‎+kMB=‎‎2kx‎1‎x‎2‎-3k(x‎1‎+x‎2‎)+4k‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)‎‎.‎ 将y=k(x-1)‎代入x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎得 ‎(2k‎2‎+1)x‎2‎-4k‎2‎x+2k‎2‎-2=0‎‎.‎ 所以，x‎1‎‎+x‎2‎=‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,x‎1‎x‎2‎=‎‎2k‎2‎-2‎‎2k‎2‎+1‎.‎ 则‎2kx‎1‎x‎2‎-3k(x‎1‎+x‎2‎)+4k=‎4k‎3‎-4k-12k‎3‎+8k‎3‎+4k‎2k‎2‎+1‎=0‎.‎ 从而kMA‎+kMB=0‎，故MA，MB的倾斜角互补，所以‎∠OMA=∠OMB.‎ 综上，‎∠OMA=∠OMB.‎ ‎11．（2018浙江，21）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．‎ ‎（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；‎ ‎（Ⅱ）若P是半椭圆x2+y‎2‎‎4‎=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．‎ ‎11.（Ⅰ）设P(x‎0‎,y‎0‎)‎，A(‎1‎‎4‎y‎1‎‎2‎,y‎1‎)‎，B(‎1‎‎4‎y‎2‎‎2‎,y‎2‎)‎．‎ 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y‎1‎，y‎2‎为方程 ‎(y+‎y‎0‎‎2‎)‎‎2‎‎=4⋅‎‎1‎‎4‎y‎2‎‎+‎x‎0‎‎2‎即y‎2‎‎-2y‎0‎y+8x‎0‎-y‎0‎‎2‎=0‎的两个不同的实数根．‎ 所以y‎1‎‎+y‎2‎=2‎y‎0‎．‎ 因此，PM垂直于y轴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y‎1‎‎+y‎2‎=2y‎0‎,‎y‎1‎y‎2‎‎=8x‎0‎-y‎0‎‎2‎,‎ 所以‎|PM|=‎1‎‎8‎(y‎1‎‎2‎+y‎2‎‎2‎)-x‎0‎=‎3‎‎4‎y‎0‎‎2‎-3‎x‎0‎，‎|y‎1‎-y‎2‎|=2‎‎2(y‎0‎‎2‎-4x‎0‎)‎．‎ 因此，‎△PAB的面积S‎△PAB‎=‎1‎‎2‎|PM|⋅|y‎1‎-y‎2‎|=‎‎3‎‎2‎‎4‎‎(y‎0‎‎2‎-4x‎0‎)‎‎3‎‎2‎．‎ 因为x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎‎4‎=1(x‎0‎<0)‎，所以y‎0‎‎2‎‎-4x‎0‎=-4x‎0‎‎2‎-4x‎0‎+4∈[4,5]‎．‎ 因此，‎△PAB面积的取值范围是‎[6‎2‎,‎15‎‎10‎‎4‎]‎．‎ ‎12．（2018江苏，18）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点‎(‎3‎,‎1‎‎2‎)‎，焦点F‎1‎‎(−‎3‎,0),F‎2‎(‎3‎,0)‎，圆O的直径为F‎1‎F‎2‎．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点．若‎△OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎，求直线l的方程．‎ ‎12.（1）因为椭圆C的焦点为F‎1‎‎(-‎3‎,0),F‎2‎(‎3‎,0)‎，‎ 可设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎．又点‎(‎3‎,‎1‎‎2‎)‎在椭圆C上，‎ 所以‎3‎a‎2‎‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,‎a‎2‎‎-b‎2‎=3,‎，解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=1,‎ 因此，椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎．‎ 因为圆O的直径为F‎1‎F‎2‎，所以其方程为x‎2‎‎+y‎2‎=3‎．‎ ‎（2）①设直线l与圆O相切于P(x‎0‎,y‎0‎)(x‎0‎>0,y‎0‎>0)‎，则x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=3‎，‎ 所以直线l的方程为y=-x‎0‎y‎0‎(x-x‎0‎)+‎y‎0‎，即y=-x‎0‎y‎0‎x+‎‎3‎y‎0‎．‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=-x‎0‎y‎0‎x+‎3‎y‎0‎,‎，消去y，得 ‎(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)x‎2‎-24x‎0‎x+36-4y‎0‎‎2‎=0‎‎．（*）‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，‎ 所以Δ=‎(-24x‎0‎)‎‎2‎-4(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)(36-4y‎0‎‎2‎)=48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)=0‎．‎ 因为x‎0‎‎,y‎0‎>0‎，所以x‎0‎‎=‎2‎,y‎0‎=1‎．‎ 因此，点P的坐标为‎(‎2‎,1)‎．‎ ‎②因为三角形OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎，所以‎1‎‎2‎AB⋅OP=‎‎2‎‎6‎‎7‎，从而AB=‎‎4‎‎2‎‎7‎．‎ 设A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎，‎ 由（*）得x‎1,2‎‎=‎‎24x‎0‎±‎‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎2(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)‎，‎ 所以AB‎2‎=‎(x‎1‎-x‎2‎)‎‎2‎+‎‎(y‎1‎-y‎2‎)‎‎2‎ ‎=(1+x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎)⋅‎‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)‎‎2‎‎．‎ 因为x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=3‎，‎ 所以AB‎2‎=‎16(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(x‎0‎‎2‎+1)‎‎2‎=‎‎32‎‎49‎，即‎2x‎0‎‎4‎-45x‎0‎‎2‎+100=0‎，‎ 解得x‎0‎‎2‎‎=‎5‎‎2‎(x‎0‎‎2‎=20‎舍去），则y‎0‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎，因此P的坐标为‎(‎10‎‎2‎,‎2‎‎2‎)‎．‎ 综上，直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎‎2‎．‎ ‎13．（2018北京，19）已知抛物线C：y‎2‎=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，QM‎=λQO，QN‎=μQO，求证：‎1‎λ‎+‎‎1‎μ为定值．‎ ‎13.（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），‎ 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．‎ 由y‎2‎‎=4xy=kx+1‎得k‎2‎x‎2‎‎+(2k-4)x+1=0‎．‎ 依题意Δ=‎(2k-4)‎‎2‎-4×k‎2‎×1>0‎，解得k<0或0b>0)的离心率是,抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎①求证：点M在定直线上；‎ ‎②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ ‎23.(1)解　由题意知＝,可得a2＝4b2,因为抛物线E的焦点F,所以b＝,a＝1,所以椭圆 C的方程为x2＋4y2＝1.‎ ‎(2)①证明　设P(m>0),由x2＝2y,可得y′＝x,所以直线l的斜率为m,因此直线l的方程为y－＝m(x－m).即y＝mx－.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).联立方程得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.‎ 由Δ>0,得00)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.‎ ‎(ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标；‎ ‎(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.‎ ‎30.解　(1)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.‎ 因为|FA|＝|FD|,由抛物线的定义知3＋＝|t－|,解得t＝3＋p或t＝－3(舍去).‎ 由＝3,解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)(ⅰ)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),因为|FA|＝|FD|,则|xD－1|＝x0＋1,‎ 由xD>0得xD＝x0＋2,故D(x0＋2,0).故直线AB的斜率kAB＝－.‎ 因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y＝－x＋b,‎ 代入抛物线方程得y2＋y－＝0,由题意Δ＝＋＝0,得b＝－.‎ 设E(xE,yE),则yE＝－,xE＝.‎ 当y≠4时,kAE＝＝－＝,可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0),‎ 由y＝4x0,整理可得y＝(x－1),直线AE恒过点F(1,0).‎ 当y＝4时,直线AE的方程为x＝1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.‎ 设直线AE的方程为x＝my＋1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m＝.‎ 设B(x1,y1).直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0),‎ 由于y0≠0,可得x＝－y＋2＋x0,代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0.‎ 所以y0＋y1＝－,可求得y1＝－y0－,x1＝＋x0＋4.‎ 所以点B到直线AE的距离为 d＝＝＝4.‎ 则△ABE的面积S＝×4≥16,‎ 当且仅当＝x0,即x0＝1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.‎ ‎31.(2014·广东,20)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ ‎31.解　(1)由题意知c＝,e＝＝,∴a＝3,b2＝a2－c2＝4,‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2)；‎ ‎②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,则k≠0,则l2的斜率为－,‎ l1的方程为y－y0＝k(x－x0),与＋＝1联立,‎ 整理得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0,‎ ‎∵直线与椭圆相切,∴Δ＝0,得9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0,‎ ‎∴－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0,‎ ‎∴(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0,‎ ‎∴k是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0的一个根,‎ 同理－是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0的另一个根,‎ ‎∴k·＝,得x＋y＝13,其中x0≠±3,‎ ‎∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝13(x≠±3),‎ 检验P(±3,±2)满足上式.‎ 综上：点P的轨迹方程为x2＋y2＝13.‎ ‎32.(2014·湖北,21)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程；‎ ‎(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.‎ ‎32.解　(1)设点M(x,y),依题意得|MF|＝|x|＋1,即＝|x|＋1,‎ 化简整理得y2＝2(|x|＋x).故点M的轨迹C的方程为y2＝ ‎(2)在点M的轨迹C中,记C1：y2＝4x,C2：y＝0(x<0).‎ 依题意,可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).‎ 由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①‎ ‎(a)当k＝0时,此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程,得x＝.‎ 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.‎ ‎(b)当k≠0时,方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).②‎ 设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y－1＝k(x＋2),令y＝0,得x0＝－.③‎ ‎(ⅰ)若由②③解得k<－1,或k>.‎ 即当k∈(－∞,－1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,‎ 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.‎ ‎(ⅱ)若或,由②③解得k∈,或k∈.‎ 即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.‎ 当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.‎ 故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.‎ ‎(ⅲ)若由②③解得－10)和E2：y2＝2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.‎ ‎(1)证明：A1B1∥A2B2；‎ ‎(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.‎ ‎33.(1)证明　设直线l1,l2的方程分别为y＝k1x,y＝k2x(k1,k2≠0),则 由得A1,由得A2.‎ 同理可得B1,B2.‎ 所以＝＝2p1,‎ ＝＝2p2.‎ 故＝,所以A1B1∥A2B2.‎ ‎(2)解　由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.‎ 因此＝()2.又由(1)中的＝知＝.故＝.‎ ‎34.(2014·四川,20)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x＝－3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.‎ ‎(ⅰ)证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；‎ ‎(ⅱ)当最小时,求点T的坐标.‎ ‎34.解　(1)由已知可得解得a2＝6,b2＝2,‎ 所以椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)(ⅰ)证明　由(1)可得,F的坐标是(－2,0),设T点的坐标为(－3,m),‎ 则直线TF的斜率kTF＝＝－m.‎ 当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ＝,直线PQ的方程是x＝my－2.‎ 当m＝0时,直线PQ的方程是x＝－2,也符合x＝my－2的形式.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得 消去x,得(m2＋3)y2－4my－2＝0,其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.‎ 所以y1＋y2＝,y1y2＝,x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.‎ 所以PQ的中点M的坐标为,‎ 所以直线OM的斜率kOM＝－.‎ 又直线OT的斜率kOT＝－,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)可得,|TF|＝,‎ ‎|PQ|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ 所以＝＝≥＝.‎ 当且仅当m2＋1＝,即m＝±1时,等号成立,此时取得最小值.‎ 所以当最小时,T点的坐标是(－3,1)或(－3,－1).‎