2017-2018学年山东省寿光现代中学高二6月月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山东省寿光现代中学高二6月月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省寿光现代中学高二6月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：直接利用交集的定义求解即可.‎ 详解：由题，，则.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查交集的运算，属基础题.‎ ‎2．设，则（ ）‎ A. 0 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用复数的代数运算得到，即可求出.‎ 详解： ‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查复数的代数运算及复数的模，属基础题.‎ ‎3．幂函数的图象过点，则（ ）‎ A. -2 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据幂函数的定义求其解析式，进而得到.‎ 详解：由题幂函数的图象过点，根据幂函数的定义可得 ‎ 即函数的解析式为 ‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查幂函数的定义，属基础题.‎ ‎4．设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为,所以，应选A.‎ ‎【考点】指数函数对数函数幂函数的图象和性质及运用.‎ ‎5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．‎ 详解：设圆柱的底面直径为 ，则高为， 圆柱的上、下底面的中心分别为，， 过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 可得： ，解得 ， 则该圆柱的表面积为： ‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．‎ ‎6．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对 求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.‎ 详解：因为函数是奇函数，所以，解得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 化简可得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.‎ ‎7．设，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，但，故是的必要不充分条件. ‎ ‎【考点】充要条件．‎ ‎8．函数的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当时，，，函数单调递减，故排除答案B，应选答案D。‎ ‎9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．‎ 详解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图所示，‎ 圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度： ‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．‎ ‎10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）‎ A. B. C. 8 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．‎ 详解：长方体中，，与平面所成的角为， 即 ，可得 ‎ 可得 ‎ 所以该长方体的体积为： ‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．‎ ‎11．已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设，由题意可得关于点对称， ，画出的单调性示意图，数形结合求得不等式 的解集．‎ 详解：设，由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的， 故关于点对称， ， 它的单调性示意图，如图所示： 根据不等式可得，的符号和的符号相反， ∴的解集为 故选C．‎ 点睛：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数图象的平移规律，体现了数形结合的数学思想，属中档题．‎ ‎12．设函数，则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．‎ 详解： ‎ 函数，的图象如图： 满足）， 可得： 或 ， ‎ 解得． 故选：D．‎ 点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】要使函数有意义,则需满足 ‎ 故答案为 ‎14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________．‎ ‎【答案】-2.‎ ‎【解析】分析：根据题意，由函数的奇偶性以及可得函数的周期为4；则 由时，函数的解析式计算可得答案．‎ 详解：根据题意，是定义在上的奇函数，且， 则有 ， 则则函数的周期为4，‎ ‎ 即 点睛：本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，关键是求出该函数的周期．‎ ‎15．已知，，，…，类比这些等式，若（，均为正整数），则__________．‎ ‎【答案】55.‎ ‎【解析】分析：观察所给式子的特点，找到相对应的规律，问题得以解决．‎ 详解：由题，，，…‎ 则 ‎ ‎ 故答案为：55‎ 点睛：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．‎ ‎16．函数，若有且只有一个零点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：，也就是函数图象与图象有且只有一个交点.画出函数不含时候图象如下图所示.由图可知，函数向下移动超过个单位时，图象与有且仅有个交点，故.‎ ‎【考点】分段函数零点．‎ ‎【思路点晴】‎ 本题考查分段函数图像与性质，函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.函数的零点与方程根的关系函数的零点就是方程的根，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标．‎ 三、解答题 ‎17．设全集为，集合，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（I）集合是一元二次不等式，解得；集合是对数不等式，解得.由此求得；（II）由（I）求得，是其子集，故有①当，即时，，满足题意.②当，即时，有或.所以实数的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)或，‎ 对于集合，有，即，‎ ‎，，‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)因为 ‎①当，即时，，满足题意.‎ ‎②当，即时，有或 即或.‎ 综上，实数a的取值范围为 ‎【考点】集合交并补，一元二次不等式，对数不等式．‎ ‎18．已知命题：函数在上为增函数；命题：不等式对任意实数恒成立，若是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：对于命题，底数大于，指数为二次函数，要上为增函数，需.对于命题，时成立，当时，，解得.若是真命题，则至少有一个真命题，直接求不方便，先求两个都是假命题时的范围，然后取其补集.‎ 试题解析：‎ 命题p为真时,函数在为增函数，故，‎ 从而命题p为假时， a1.‎ 若命题q为真，当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0符合题意． ‎ 当a≠2时，有 即－2＜a＜2.‎ 故命题q为真时：－2＜a≤2；q为假时：a≤－2或a＞2. ‎ 若p∨q为假命题，则命题p，q同时为假命题．‎ 即，所以a＞2.‎ ‎∴ p∨q为真命题时：.‎ ‎【考点】含有逻辑连接词命题判断真假．‎ ‎19．已知定义在上的函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）判断并证明的单调性；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数为奇函数.‎ ‎(2)见解析.‎ ‎(3) .‎ ‎【解析】试题分析：（I）化简可知函数为奇函数；（II）因为，所以为R上的单调递减函数；（III）由有，根据函数的单调性，有，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为函数的定义域为，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 即，所以函数为奇函数.‎ ‎（Ⅱ）法1：任取，且，则 ‎，‎ 因为，所以，‎ 即，，‎ 所以为R上的单调递减函数.‎ 法2：因为，‎ 所以为R上的单调递减函数.‎ ‎（Ⅲ）因为函数在定义域上既为奇函数又为减函数，‎ ‎，‎ 即，‎ 所以，即，解得.‎ ‎【考点】函数的单调性与奇偶性．‎ ‎20．如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，是与的交点.将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）运用是中点，判断得出面，考虑，即可判断面；（2）运用好折叠之前与之后的图形得出是四棱锥的高，平行四边形的面积，运用体积公式，即可求出的值．‎ 试题解析：（1）证明：在图（1）中，因为，，‎ 是中点，，所以，且，‎ 所以在图（2）中，，，‎ 又平面，，‎ 所以平面．‎ ‎（2）解：由题意，可知平面平面，且平面平面 ，‎ 又由（1）可得，所以平面，‎ 即是四棱锥的高，‎ 由图（1）知，，，‎ 所以四棱锥的体积，‎ 由，得．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质、四棱锥的体积的计算，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征、棱锥的体积公式的应用、直线与平面垂直的判定定理与性质定理等知识点综合考查，着重考查了转化与化归思想和空间想象能力，同时熟练应用图形折叠前、后的关系是解答的关键，属于基础题．‎ ‎21．设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）当时，若函数在区间上存在唯一零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 当时，的单调递减区间为，‎ 的单调递增区间为，当时，函数有极小值为；‎ ‎ (2) .‎ ‎【解析】试题分析：（I）先求导，得，然后对分成两类进行分类讨论，由此求得函数的单调区间和极值；（II）当时，由（I）可知，为函数的最小值点，分成与两类，讨论的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎（1） 若，则在区间上，‎ 的单调递增区间为，没有极值点.‎ ‎（2）若，令，即，解得，‎ 故在区间内，单调递减；‎ 在区间内,单调递增；当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为,当时，函数有极小值为.‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）可知，为函数的最小值点 因为，若函数在区间上上存在唯一零点，‎ 则当零点为函数的极小值点时： ‎ ‎，得.‎ 当零点在极小值点左侧时：，得.‎ 综上所述，函数在区间上上存在唯一零点，‎ 则.‎ ‎【考点】函数导数与极值、最值．‎ ‎22．（题文）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；‎ ‎(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.‎ 详解：（1）由，得的直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． ‎ 综上，所求的方程为．‎ 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，‎ 利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；‎ ‎(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.‎ 详解：（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.‎