2018-2019学年广西南宁市第三中学高一下学期期中考试 数学 解析版

2018-2019学年广西南宁市第三中学高一下学期期中考试 数学 解析版

‎2018-2019学年广西南宁市第三中学高一下学期期中考试 数学 2019.5‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)‎ ‎ A． B．－ C． D．－ ‎2．已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝(　　)‎ ‎ A． B． 2 C．10 D．5‎ ‎3．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)‎ ‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ ‎4．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)‎ ‎ A．－1 B．0 C．1 D．6‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝(　　)‎ ‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎6．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)‎ ‎ A．－ B． C． D． ‎7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝(　 　)‎ ‎ A．2n－1 B．2n-1＋1 C．2n－1 D．2(n－1)‎ ‎8．函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)‎ ‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎9．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)‎ ‎ A．(3n－1)2 B． (3n－1) C．9n－1 D． (9n－1)‎ ‎10．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)‎ ‎ A．2 B． C．3 D．4‎ ‎11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且对于任意x∈R，有f(x)≤f 成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)‎ ‎ A． B． C． D． ‎12．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2 019中，有理数项的项数为(　　)‎ ‎ A．42 B．43 C．44 D．45‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40=________‎ ‎14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________．‎ ‎15．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．‎ ‎16．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝6，a3＋a6＝27,设Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤t成立，则实数t的取值范围是________．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎(1)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1＋a＝－3，S5＝10，求a9．‎ ‎(2)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，求xyz的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎(1)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，求a与b的夹角θ．‎ ‎(2)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，‎ ‎＝2，求·的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a－b)cos C－ccos B＝0．‎ ‎(1)求角C的值；‎ ‎(2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3．‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 若数列{an}的前n项和Sn＝2an－2．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝an·logan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，‎ 试求实数m 的取值范围．‎ 高一段考数学试题参考答案 ‎1．D ∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴tan α＝－．‎ ‎2．A ∵a∥b，∴ x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝＝．‎ ‎3．C 分子0，2，4，6都是偶数．‎ ‎4．B a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0．‎ ‎5．C a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，‎ 解得c＝4或c＝－1(舍)．‎ ‎6．A ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)，因为A，B，C三点共线，‎ 所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－．‎ ‎7．A 由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1．‎ ‎8．B 由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，‎ 所以当sin x＝1时函数的最大值为5．‎ ‎9．D ∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，‎ ‎∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，‎ ‎∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．‎ 因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．‎ ‎10．C ∵·＝0，∴⊥，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，‎ ‎＝(1，0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．‎ ‎∵ tan 30°＝＝，∴ m＝3n，即＝3．‎ ‎11．A 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝．因为f(x)≤f 恒成立，‎ 所以f(x)max＝f ，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，‎ 故f(x)＝sin．令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，‎ 故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，‎ 当k＝0时，f(x)图象的对称中心为．‎ ‎12．B an＝ ‎＝ ‎＝－．‎ 所以Sn＝1－＋＋＋…＋＝1－，‎ 因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为bn=n2－1(n≥2)，‎ 所以n2－1≤2 019，且n≥2，所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43．‎ ‎13．150 数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，‎ 因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，‎ 故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，‎ 故S40－S30＝80．S40＝150．‎ ‎14． 因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°．由正弦定理，得＝，‎ 解得sin A＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，‎ 所以S△ABC＝ab＝．‎ ‎15． ∪ ‎ 由已知得＝－＝(3，1)，＝－＝(2－m，1－m)．若∥，‎ 则有3(1－m)＝2－m，解得m＝．‎ 由题设知，＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)．‎ ‎∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，可得m>－．‎ 由题意知，当m＝时，∥，且与同向．‎ 故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是∪．‎ ‎16． ‎ 设公差为d，由题意得：解得∴an＝3n．‎ 则Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，∴Tn＝，Tn＋1＝，‎ ‎∴Tn＋1－Tn＝－＝，‎ ‎∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝10，即y<0，‎ ‎∴y＝－，xz＝3，‎ ‎∴xyz＝－3．‎ ‎19．(1)因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，‎ 则cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝．‎ ‎(2)∵＝3，‎ ‎∴＝＋＝＋＝＋，‎ ‎＝－＝－＋，‎ ‎∴·＝(4＋3)·(4－3)‎ ‎＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9‎ ‎20．(1)根据正弦定理，(2a－b)cos C－ccos B＝0‎ 可化为(2sin A－sin B)cos C－sin Ccos B＝0．‎ 整理得2sin Acos C＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A．‎ ‎∵0－1，‎ ‎∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]．‎