2017-2018学年江西省抚州市临川第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题-解析版

2017-2018学年江西省抚州市临川第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题-解析版

江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（文）试题 一、选择题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，则 ‎ 故选D ‎2．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题 B. 命题“若，则”的逆命题 C. 命题“若，则”的否命题 D. 命题“若，则”的逆否命题 ‎【答案】B ‎【解析】对于A：命题“若，则”的否命题是： 若 ，则 ，是假命题； 对于B：命题“若，则”的逆命题：若 ，则 ，是真命题；‎ 对于C：命题“若，则”的否命题若 ，则 ，是假命题；‎ 对于D：命题“若，则”的逆否命题是假命题，故其逆否命题是假命题； 故选B．‎ ‎3．函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】∵当 时， 是函数 的一个零点； 故当 时， 恒成立；即 恒成立，故 故选C．‎ ‎4．下列说法中不正确的是（ ）‎ A. “为真”是“为真”的必要不充分条件 B. 存在无数个，使得等式成立 C. 命题“在中，若,则”的逆否命题是真命题 D. 若命题，使得，则，都有 ‎【答案】A ‎【解析】（A）“ ”为真，则 同时为真，所以“ ”为真，反之则不成立， 故“”为真是“”为真的充分不必要条件．故A错误 ‎（B） ．可得 ，所以只要β=kπ， 任意，或者任意．故B正确． （C）“在 中，若 ，则 ”为真命题，则其逆否命题为真命题．故C正确． （D）命题 使得 ，则 均有 正确；‎ 故选A ‎5．平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设双曲线的方程为，则其渐近线方程为．由题知，即，因此其离心率，故选A．‎ 考点：双曲线的几何性质．‎ ‎6．函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 即函数的值域为； 故选A．‎ ‎7．若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵当 时，函数 |始终满足 因此，必有 先画出函数 的图象：黑颜色的图象． 而函数 ，其图象如红颜色的图象． 故选B．‎ ‎8．在中，角的对边分别为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 中， ，故由正弦定理可得 ． ‎ 再由余弦定理可得 ， ‎ 故选C．‎ ‎9．已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图： 四棱锥的一个侧面 与底面 垂直，过 作 ，垂足为， 底面 底面为边长为2的正方形， ∴几何体的体积 ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键．‎ ‎10．能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A.∵不是奇函数，∴的图象不关于原点对称， ∴不是椭圆的“亲和函数”； B.∵不是奇函数， ∴的图象不关于原点对称， ∴不是椭圆的“亲和函数”； C.∵是奇函数， ∴的图象关于原点对称， ∴是椭圆的“亲和函数”；‎ D.∵不是奇函数， ∴的图象关于原点不对称， ∴不是椭圆的“亲和函数”． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的“亲和函数”的判断，解题时要准确把握题意并合理转化，注意函数的奇偶性的合理运用．‎ ‎11．已知椭圆Γ： 的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ‎ ‎ ，设 ‎ ‎ 设直线 方程为 ‎ 代入①中消去 ，可得 ‎ ，由可得 ‎ 解得 ．故选D ‎12．抛物线的焦点为F，准线为， 是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设| 连接 由抛物线定义，得| 在梯形 中， 由余弦定理得， 配方得， 又 ‎ ‎ 得到 ‎ ‎ 即的最大值为1． 故选D．‎ 二、填空题 ‎13．抛物线的准线方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：将化成，所以准线方程为.‎ 考点：抛物线的标准方程.‎ ‎14．在椭圆上有两个动点， ，若为定点，且，则 的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题点 在椭圆上，可设 则 ‎ 由 ，可得当 时， 取得最小值 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查余弦函数的值域，其中利用椭圆参数方程设出点是解题的关键．‎ ‎15．设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为， 为坐标原点，则面积的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得圆心坐标为 ，半径 ∵直线 与圆 相交所得弦 ∴圆心到直线l的距离 ‎ ‎∴圆心到直线 的距离 ， 整理得： ，令直线 解析式中，解得： ， ，即 ‎ 令 ，解得 ，即 ， ，当且仅当 时取等号， ‎ 又 为直角三角形， ，当且仅当时取等号， 则 面积的最小值为3．‎ ‎16．设分别是双曲线的左、右焦点， 是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则双曲线的离心率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设交轴于点， ，则，由于，得，即，则，所以，又是的角平分线，则有，代入整理得，所以离心率为.‎ 考点：圆锥曲线的离心率.‎ ‎【方法点睛】离心率是圆锥曲线的一个重要性质，离心率的几种常用求法：1、已知圆锥曲线的标准方程或易求时，可利用率心率公式来解决；2、根据题设条件，借助之间的关系，沟通的关系，构造的齐次式，（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数上的一个最高点的坐标为, 由此点到相邻最低点间的曲线与轴交于点.‎ ‎ （1）求函数解析式；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间和在内的对称中心．‎ ‎【答案】（1）（2）； ‎ ‎【解析】 试题分析：（1）依题意知， ，易求 ；再由 可求得，从而可得函数解析式； （2）利用正弦函数的单调性，由 ，可求得函数的单调增区间．由，可求在内的对称中心．‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）单调递减区间为 ‎ 对称中心为 则内的对称中心为 ‎ ‎18．已知命题 “存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题 “曲线表示双曲线”‎ ‎（1）若“且”是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围； （2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)解：若p为真，则 ‎ 解得：m≤－1或m≥3 ‎ 若q为真，则 ‎ 解得：－4 < m < －2或m > 4 ‎ 若“p且q”是真命题，则 ‎ 解得： 或m > 4‎ ‎∴m的取值范围是{ m |或m > 4} ‎ ‎(Ⅱ)解：若s为真，则，即t < m < t + 1 ‎ ‎∵由q是s的必要不充分条件 ‎∴ ‎ 即或t≥4‎ 解得： 或t≥4‎ ‎∴t的取值范围是{ t |或t≥4}‎ ‎19．在中，角、、的对边分别为、、，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式对原等式化简可求得 的值，进而求得 ． （2）对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于 和 的关系式，进而利用基本不等式求得 的范围，进而求得三角形面积的最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得 解得， ‎ 由，所以 ‎ ‎（2）取中点，则 在中， ‎ ‎（注：也可将两边平方）‎ 即 ，‎ 所以，当且仅当， 时取等号 此时，其最大值为 ‎20．如图，在三棱柱中， 平面， 为正三角形， ， 为的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，就要证线面垂直，由于其中一个面是正三棱柱的一个侧面，它的垂线在图中易证得有一条是，而是平面内的直线，因此可得面面垂直；（Ⅱ）三棱锥的体积，可选为底面，高为，也可选为底面，高为．由体积公式可得．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：因为底面，所以 因为底面正三角形， 是的中点,所以 因为，所以平面 因为平面平面,所以平面平面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知中， ， ‎ 所以 所以 考点：面面垂直的判断，三棱锥的体积．‎ ‎21．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）若直线与圆相切，探究是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得 由此能求出椭圆的方程． （2）当直线 轴时， ．当直线 与轴不垂直时，设直线 直线与与圆 的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线与圆相切，得 ，联立 ，得（ ，由此能证明 为定值．‎ 试题解析：‎ ‎1）由题意得 ‎ ‎ ‎ ‎（2）当直线轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为 ‎ 当时，得M、N两点坐标分别为，‎ ‎ ‎ 当时，同理； ‎ 当与轴不垂直时，‎ 设，由,‎ ‎, ‎ 联立得 ‎ ‎， ， = ‎ ‎ ‎ 综上， （定值）‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等.解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎22．已知数列的前项和为且 .‎ ‎（1）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）存在正整数 ‎【解析】试题分析：（1）利用 可得可证为等比数列，则通项公式可求；‎ ‎（2）由（1）代入得 ，则通过计算得 ‎ ，则 ，则 ‎ ，计算可得 ‎， ‎ ‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明 ‎ 作差得 ‎ 为首项为1，公比为2等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎（2） 代入得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 存在正整数，对任意