高中数学人教a版选修4-5同步辅导与检测：1_2_1绝对值三角不等式

高中数学人教a版选修4-5同步辅导与检测：1_2_1绝对值三角不等式

1.2 　绝对值不等式 1.2.1 　绝对值三角不等式 不等式和绝对值不等式 1 ．理解绝对值的几何意义． 2 ．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a ＋ b|≤|a| ＋ |b| ； (2)|a － b|≤|a － c| ＋ |c － b|. 1 ．解在绝对值符号内含有未知数的不等式 ( 也称绝对值不等式 ) ，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式．主要的依据是绝对值的意义． 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值． 练习 1 ：求下列各数的绝对值： (1)3 　 (2) － 8 　 (3)0 练习 1 ： (1)3 　 (2)8 　 (3)0 2 ．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： (1)|a| ＋ |b|≥|a ＋ b| ； (2)|a| － |b|≤|a ＋ b| ； (3)|a|·|b| ＝ |a·b| ； 练习 2 ：说出下列不等式等号成立的条件 (1)|a| ＋ |b|≥|a ＋ b| ； (2)|a| － |b|≤|a ＋ b|. 3 ．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 |a|≥a 、 |a|≥ － a 及绝对值的和的性质． 练习 3 ：当 |a|>a 时， a∈________ ；当 |a|> － a 时， a∈(0 ，＋∞ ) 练习 2 ： (1) 等号成立的条件是： ab≥0 ； (2) 等号成立的条件是： ab≤0 且 a≥b. 练习 3 ： ( －∞， 0) 若 |a － b| ＞ c ， |b － c| ＜ a ，求证： c ＜ a. 证明： 由 |a － b| ＞ c ，及 |b － c| ＜ a 得 c － a ＜ |a － b| － |b － c| ≤ |(a － b) ＋ (b － c)| ＝ |a － c| ＝ |c － a|. 由 c － a ＜ |c － a| 知 c － a ＜ 0 ，故 c ＜ a. 分析： 将 2x ＋ 3y － 2a － 3b 写成 2(x － a) ＋ 3(y － b) 的形式后利用定理 1 和不等式性质证明． 证明： |2x ＋ 3y － 2a － 3b| ＝ |2(x － a) ＋ 3(y － b)| ≤ |2(x － a)| ＋ |3(y － b)| ＝ 2|x － a| ＋ 3|y － b| 跟踪训练 设 m 等于 |a| ， |b| 和 1 中最大的一个，当 |x| ＞ m 时，求证： 分析： 本题的关键是对题设条件的理解和运用． |a| 、 |b| 和 1 这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息： m ≥ |a| 、 m ≥ |b| 、 m ≥ 1. 某段铁路线上依次有 A 、 B 、 C 三站， AB ＝ 5 km ， BC ＝ 3 km. 在列车运行时刻表上，规定列车 8 时整从 A 站出发， 8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟， 8 时 12 分到达 C 站．在实际运行中，假设列车从 A 站正点发车在 B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 v km/h 正点发车，在 B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 v km/h 匀速行驶．列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差． (1) 分别写出列车在 B 、 C 两站的运行误差； (2) 若要求列车在 B 、 C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 v 的取值范围． 一层练习 1 ．若 a 、 b∈ R ，则以下命题正确的是 ( 　 　 ) A ． |a| － |b|≤|a ＋ b|≤|a| ＋ |b| B ． |a| － |b| ＜ |a － b| ＜ |a| ＋ |b| C ．当且仅当 ab ＞ 0 时， |a ＋ b| ＝ |a| ＋ |b| D ．当且仅当 ab≤0 时， |a － b| ＝ |a| － |b| A 2 ．设 a ， b 是满足 ab ＜ 0 的实数，则下列不等式中正确的是 ( 　 　 ) A ． | a ＋ b | ＞ | a － b | 　　　　　 B ． | a ＋ b | ＜ | a － b | C ． | a － b | ＜ || a | － | b || D ． | a － b | ＜ | a | ＋ | b | 3 ．若 | a ＋ b | ＜－ c ，则下列不等式：① a ＜－ b － c ；② a ＋ b ＜ c ；③ a ＋ c ＜ b ；④ | a | ＋ c ＜ | b | ；⑤ | a | ＋ | b | ＜－ c . 其中，一定成立的个数是 ( 　 　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B B A 5. 函数 y=|x-4|+|x-6| 的最小值为（）  A.2 B. C.4 D.6 6. 方程 的解集为 ______________ 不等式 的解集为 _______________ A 答案： {x|-30} {x|x>2 或 x<0} 二层练习 7 ．不等式 ≥ 1 成立的充要条件是 ________ ． 8 ．若 a ， b ∈ R ，且 | a |≤3 ， | b |≤2 ，则 | a ＋ b | 的最大值是 ________ ，最小值是 ________ ． 9 ．若 1 ＜ a ＜ 8 ，－ 4 ＜ b ＜ 2 ，则 a － | b | 的取值范围是 ________ ． ( － 3,8) | a | ＞ | b | 5 　 1 10. 求函数 y=|x-3|-|x+1| 的最大值和最小值 . 解析： ∵ ||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4. 即 y max =4, y min =-4. 三层练习 11 ．已知 a ＞ b ＞ c ，求函数 y ＝ |x － a| ＋ |x － b| ＋ |x － c| 的最小值． 解析： 由绝对值的几何意义知 |x － a| ＋ |x － b| ＋ |x － c| 表示数轴上任意一点 P(x) 到定点 A(a) ， B(b) ， C(c) 三点距离的和，即 y ＝ |x － a| ＋ |x － b| ＋ |x － c| ＝ |PA| ＋ |PB| ＋ |PC|. 因为 a ＞ b ＞ c ，所以由数轴知 当 x ＝ b 时， (|PA| ＋ |PB| ＋ |PC|) min ＝ a － c 所以函数 y ＝ |x － a| ＋ |x － b| ＋ |x － c| 的最小值为 a － c ，此时 x ＝ b. 分析： 将 xy － ab 配凑成 xy － ay ＋ ay ＋ ab 的形式，利用定理 2 及不等式性质证明． 证明： | xy － ab | ＝ | xy － ay ＋ ay － ab | ≤ | xy － ay | ＋ | ay － ab | ＝ | y ( x － a )| ＋ | a ( y － b )| ＝ | y || x － a | ＋ | a || y － b |. ＝ mε . 3 ．含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如： |a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 |≤|a 1 | ＋ |a 2 | ＋ |a 3 | ； |a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n |≤|a 1 | ＋ |a 2 | ＋ … ＋ |a n | ； |a| － |b|≤|a － b|≤|a| ＋ |b|. 4 ．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意符号成立的条件： |a ＋ b| ＝ |a| ＋ |b|(ab≥0) ； |a － b| ＝ |a| ＋ |b|(ab≤0) ； ||a| － |b|| ＝ |a ＋ b|(ab≤0) ； ||a| － |b|| ＝ |a － b|(ab ≥ 0). 祝 您 学业有成