2019届高三数学上学期期中联考试题 理 人教版新版

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‎2019届高三数学上学期期中联考试题 理 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）‎ ‎1.已知集合是整数集,则 ‎ ‎ ‎2.若复数为纯虚数,其中则的值为 ‎ ‎ ‎3．在△ABC中，若，则＝‎ A B． ‎ C． D． ‎ ‎4.已知命题则有关命题的真假及的论述正确的是 假命题, ‎ 真命题, ‎ 假命题, ‎ 真命题,‎ ‎5.函数的最小正周期为 ‎ ‎ ‎6．向量,均为非零向量，，则,的夹角为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 ‎ - 9 -‎ C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎8. 函数的图象可能是 ‎ ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎9. 已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③当时，，设，，，则的大小关系是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，且，，则函数图象的一条对称轴的方程为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.若定义在上的函数满足则不等式的解集为 ‎ ‎ ‎12. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13. 设为锐角，若，则的值为 ‎ - 9 -‎ ‎14．已知向量，，且在上的投影为，则向量与夹角为_________．‎ ‎15．若定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）＝,则＝_____‎ ‎16、已知定义在R上的函数满足：，‎ ‎，则方程在区间上的所有实根之和为 ‎ 三、本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知三个集合：，，‎ ‎.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知向量， ，设函数．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）已知的三个内角分别为若，，边，‎ 求边．‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的图象在点处的切线的方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B - 9 -‎ 重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．‎ ‎（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；‎ ‎（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．‎ ‎ ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （2）是否存在正整数，使函数在上单调递增，若存在，求出正整数 的所有值，若不存在，说明理由.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）求证：.‎ - 9 -‎ 理科数学参考答案 ‎1—12 CAADB ABCDC AB ‎13. . 14． 15. 16.-7 ‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）, . …………………………………2分 ‎,. ……………………………………….4分 ‎. …………………………………………………..………..6分 ‎（2）,‎ ‎ ……………………………………………..…….…..7分 ‎ ……………………………………………..…..8分 即解得 ……………………..……..11分 所以实数的取值范围是 ………………………………………..….12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 解： ．‎ ‎ …………………………4分 ∵R，由 得 ‎ ……… 6分 ‎∴函数的单调增区间为． ………………7分 ‎ - 9 -‎ ‎（2）∵，即，∵角为锐角，得， ……9分 又，∴，∴‎ ‎ ∵，由正弦定理得 ……… 12分 ‎19. (本题满分12分)‎ ‎（1） ……………1分 ‎ …………………………2分 ‎ …………………………3分 ‎ 切线方程： 即……………4分 ‎（2）,……………………5分 ‎ 令，‎ ①当时，，所以在上单调递增。………6分 ②当时，令，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减。……………9分 ③当时，令，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增。………………12分 ‎20. (本题满分12分)‎ 解：（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．‎ 在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，‎ 所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，‎ 在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．‎ - 9 -‎ 在△OMN中，由＝，得MN＝×＝． ………6分 ‎（2）：设∠AOM＝θ，0＜θ＜ 在△OAM中，由＝，得OM＝．‎ 在△OAN中，由＝，得ON＝＝．‎ 所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝··· ‎＝＝＝ ‎＝＝，0＜θ＜．‎ 当2θ＋＝，即θ＝时，S△OMN的最小值为．‎ 所以应设计∠AOM＝，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2．----------12分 ‎21.解：‎ ‎（1）：由已知得, ---------1分 ‎ 得. --------2分 ‎ 在处的切线方程为即 ---5分 ‎（2）法一：令,依题意在上恒成立, . ------7分 ① 当时, ,在上单调递增, ‎ ② 故符合题意 --------9分 ③ 当时，由得. 取值变化情况如下表，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ - 9 -‎ 减 极小值 增 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 依题意即. -------------------------10分 令，则,在上单调递减，‎ ‎ 由,知时,，故此时只有符合题意.‎ ‎ 综上，所求正整数的值有1,2,3. ----------12分 法二：‎ ‎ 由在上恒成立，得在上恒成立。---6分 令，则， ---------7分 令，得在上恒成立， ----8分 又，[‎ 从而，使，即。 ---------10分 进而知取值变化情况如下表，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 故符合题意的正整数K为1,2,3. ‎ - 9 -‎ ‎-------------12分 ‎22解　(1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝cos2α＋2sinαcosα＋sin2α，‎ 所以曲线M可化为y＝x2－1，，‎ 由ρsin＝t得ρsinθ＋ρcosθ＝t，‎ 所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.‎ ‎ (2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点,时满足要求，此时t＝，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，‎ 联立，得x2＋x－1－t＝0，‎ 由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－.‎ 综上可求得t的取值范围是－≤t≤‎ ‎23．解：（1）当a=2时，原不等式等价于 ‎ ‎ 解得故不等式的解集是 （2） 证明：‎ ‎ ‎ 当且仅当时等号成立。‎ - 9 -‎