2017-2018学年广东省潮州市高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年广东省潮州市高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版

潮州市2017—2018学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A．两个变量的相关关系一定是线性相关 B．两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于0‎ C．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加1个单位 D．对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大 ‎3.“因为指数函数是增函数（大前提），而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”.上面推理错误的原因是（ ）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误 ‎ ‎4.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）‎ A．-2 B．2 C．4 D．6‎ ‎5.在的展开式中，含项的系数为（ ）‎ A．10 B．15 C．20 D．25‎ ‎6.若，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．-2 C．2 D．-2或1‎ ‎7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了（ ）‎ A．60里 B．48里 C．36里 D．24里 ‎8.若函数的导函数的图象如图所示，则的图象有可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数在区间上的最大值是2，则常数（ ）‎ A．-2 B．0 C．2 D．4‎ ‎11.已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（ ）‎ A．-1或2 B．0或2 C．2 D．1‎ ‎12.已知函数，若且对任意的恒成立，则的最大值是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知，那么 ．‎ ‎14.曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎15.将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 种．‎ ‎16.已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或解题步骤）‎ ‎17.某种产品的广告费用支出（万元）与销售（万元）之间有如下的对应数据：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 若由资料可知对呈线性相关关系，试求：‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）据此估计广告费用支出为10万元时销售收入的值.‎ ‎（参考公式：，.）‎ ‎18.已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是.‎ 求：（1）展开式中各项系数的和；‎ ‎（2）展开式中系数最大的项.‎ ‎19.某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如图所示：‎ 试根据图表中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求全班的学生人数及分数在之间的频数；‎ ‎（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于，和分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于分数段的人数的分布列和数学期望.‎ ‎20.公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，证明对任意的，恒成立.‎ ‎21.设函数，，，其中是的导函数.‎ ‎（1）令，，，求的表达式；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设，.‎ ‎（1）当时，，求的取值范围；‎ ‎（2）若对任意，恒成立，求实数的最小值.‎ 潮州市2017-2018学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5: CDADB 6-10: ABCDC 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 8 14. 15. 10 16. -14‎ 三、解答题 ‎17、解：（1）由题目条件可计算出，，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 故y关于x的线性回归方程为.‎ ‎（3）当时，，‎ 据此估计广告费用支出为10万元时销售收入为万元.‎ ‎18、解：展开式的通项为. ‎ 依题意，，得. ‎ ‎(1)令，则各项系数的和为. ‎ ‎(2)设展开式中的第项、第项、第项的系数分别为，，.若第项的系数最大，则 , 得. ‎ 于是系数最大的项是和.‎ ‎19、解：(1)由茎叶图可知，分数在[50，60)上的频数为4，频率为0.008×10＝0.08，‎ 故全班的学生人数为. ‎ 分数在[70，80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.‎ ‎(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.又[70，80)，[80，90)和[90，100]分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70，80)之间的有5人，分数在[80，90)之间的有2人，分数在[90，100]之间的有1人.‎ 从中任取3人，共有种不同的结果.‎ 被抽中的成绩位于[70，80)分数段的学生人数X的可能取值为0，1，2，3.对应的概率分别是：‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望为 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.‎ ‎20、解：(1)设数列的公差为，由题意得，即，‎ ‎.‎ ‎(2)由（1）得，，‎ 当时， 成立； ‎ 当时，，‎ 所以成立，‎ 所以对任意的正整数不等式成立． ‎ ‎21、解：由题设得，g(x)＝(x≥0)． ‎ ‎(1)由已知，g1(x)＝，‎ g2(x)＝g(g1(x))＝＝，‎ g3(x)＝，…，可得gn(x)＝. ‎ 下面用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．‎ ‎②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，‎ 即结论成立．‎ 由①②可知， 结论对n∈N＋成立．‎ 所以gn(x)＝. ‎ ‎(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．‎ 设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，‎ 则φ′(x)＝－＝， ‎ 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，‎ ‎∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)． ‎ 当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，‎ ‎∴φ(a－1)<φ(0)＝0，‎ 即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立． ‎ 综上可知，a的取值范围是(－∞，1]． ‎ ‎22.解析：（1）直线的普通方程为 ‎ ‎∵,,, ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎ 圆心到直线的距离； ‎ ‎∴直线与曲线的位置关系为相离.‎ ‎（2）设 ‎ 则 ‎ ‎23.解：（1）由题意：，即，‎ 所以，当时，恒成立，‎ 所以，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以可化为或，‎ 解得，‎ 的最小值为. ‎ 潮州市2017-2018学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A D B A B C D C C B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 8 14． 15. 16. ‎ 解析：‎ ‎1、，则，虚部为3，故选C ‎2、D答案中，由独立性检验知“判断“与有关系”的把握程度越大”正确，故选D ‎3、当时，为增函数；当时，为减函数，所以大前提错误.故选A.‎ ‎4、由正态分布的性质可得，从而，故选D.‎ ‎5、含项为，所以含项的系数为15，故选B.‎ ‎6、原积分式可化为，则，故选A.‎ ‎7、由题意得等比数列 ， ,求 ‎ ‎ ，选B.‎ ‎8、当时，，单调递增；当时，，单调递减．‎ 故选C.‎ ‎9、依题意可得，所求概率为. 故选D ‎10、，令，得或(舍去)，‎ 当时，；当时.‎ 所以当时，取得最大值为，. 故选C.‎ ‎11、由题意可知，解得(由于数列每项都是正数，‎ 故舍去)，又，所以，‎ 故.故选C ‎12、依题意可得，，设，则，‎ 令，则，所以在上单调递增，‎ 又，,故存在，使 从而在上单调递减，在上单调递增，即，故，即的最大值是3‎ 故选B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13、原式等价于，且，整理得.‎ ‎14、由于，故，所以所求切线方程为，‎ 即．‎ ‎15、将4个小球分2组：①种；②种.①中的这3种分组方法任意放均满足条件，∴有 (种)放法.②中的4种分组方法各只对应1种放法.故总的放球方法为6＋4＝10(种).‎ ‎16、由得，即数列是等差数列，首项为，公差为1，从而，即，由通项公式可知，前2项为正，第3、4、5项为负，第6项为0，第7项及以后都是正项，故的最小值是 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答要写出证明过程或解题步骤）‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 解： （1）由题目条件可计算出， …………2分 ‎， ………6分 ‎ ………7分 故y关于x的线性回归方程为 …………8分 ‎（3）当时， ……11分 据此估计广告费用支出为10万元时销售收入为万元 …………12分 ‎18、解：展开式的通项为. ……………2分 依题意，，得. …………………4分 ‎(1)令，则各项系数的和为. …………………5分 ‎(2)设展开式中的第项、第项、第项的系数分别为，，.若第项的系数最大，则 , 得. …………………10分 于是系数最大的项是和. …………………12分 ‎19、解：(1)由茎叶图可知，分数在[50，60)上的频数为4，频率为0.008×10＝0.08，故全班的学生人数为. ‎ 分数在[70，80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.‎ ‎(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.又[70，80)，[80，90)和[90，100]分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70，80)之间的有5人，分数在[80，90)之间的有2人，分数在[90，100]之间的有1人.‎ 从中任取3人，共有种不同的结果.‎ 被抽中的成绩位于[70，80)分数段的学生人数X的可能取值为0，1，2，3.对应的概率分别是：‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望为 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.‎ ‎20、解：‎ ‎(1)设数列的公差为，由题意得，即 …2分 ‎ ……4分 ‎(2)由（1）得， ………6分 当时， 成立； ‎ 当时，‎ 所以成立……11分 所以对任意的正整数不等式成立． ……12分 ‎21、解：由题设得，g(x)＝(x≥0)． ………1分 ‎(1)由已知，g1(x)＝，‎ g2(x)＝g(g1(x))＝＝，‎ g3(x)＝，…，可得gn(x)＝. ………3分 下面用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．‎ ‎②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，‎ 即结论成立．‎ 由①②可知， 结论对n∈N＋成立．‎ 所以gn(x)＝. ………6分 ‎ ‎(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．‎ 设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，‎ 则φ′(x)＝－＝， ………8分 ‎ 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，‎ ‎∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)． ………10分 ‎ 当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，‎ ‎∴φ(a－1)<φ(0)＝0，‎ 即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立． ………11分 ‎ 综上可知，a的取值范围是(－∞，1]． ………12分 ‎22.解析：（1）直线的普通方程为． ……………… 1分 ‎∵,,, ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为 ……………… 2分 ‎ 圆心到直线的距离； ……… 3分 ‎∴直线与曲线的位置关系为相离. ……… 5分 ‎（2）设 ………… 6分 则 ……………… 10分 ‎ ‎23.解：‎ ‎（1）由题意：，即………………………………………1分 所以，当时，恒成立 ………………………………2分 所以，所以 …………………………………5分 ‎（2）因为………7分 所以可化为 或 ‎ 解得 ………………………………………………9分 的最小值为 ………………………………………………10分