黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试数学（文）试题（含答案解析）

黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试数学（文）试题（含答案解析）

黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：结合数轴，根据，得的取值范围.‎ 详解：∵集合，集合，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ 点睛：集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2.已知复数，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，然后对进行化简，得到答案 ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查求复数的模及复数的四则运算，属于简单题.‎ ‎3.“且”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断且与互为条件和结论，看能否成立.‎ ‎【详解】当且时，成立，所以是充分条件，‎ 当时候，不一定能得到且，还有可能得到且，所以不是必要条件.‎ 因此“且”是“”的充分而不必要条件，故选A项 ‎【点睛】本题考查对数的性质，充分条件、必要条件，属于简单题.‎ ‎4.设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则的值是（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定义得到=2a得解.‎ 详解：设椭圆的右焦点为连接 因为OA=OB,OF=O,所以四边形是平行四边形.‎ 所以,‎ 所以=|AF|+=2a=4,‎ 故答案为:C 点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.‎ ‎5.从装有3双不同鞋子的柜子里，随机取出2只鞋子，则取出的2只鞋子不成对的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出满足所有的情况，找出符合题意的情况，由古典概型公式，得到答案.‎ ‎【详解】设三双鞋子分别为、、，则取出两只鞋子的情况有 其中，不成对的情况有 ‎ ‎ ‎ 共12种 由古典概型的公式可得，所求概率为,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查通过列举法求古典概型，属于简单题.‎ ‎6.实数，满足不等式组，若的最大值为5，则正数的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件中确定的两个不等式，可以确定出，所以第三个不等式 可以转化为，画出可行域，然后对目标函数进行化简，得到取最大值时的最优解，得到关于的方程，得到答案.‎ ‎【详解】先由画可行域，发现，所以可得到，且为正数.‎ 画出可行域为（含边界）区域.‎ ‎，转化为，是斜率为的一簇平行线，表示在轴的截距，‎ 由图可知在点时截距最大，‎ 解得，即，‎ 此时，解得 故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中已知目标函数最大值求参数，属于简单题.‎ ‎7.若，，则（ ）‎ A. -2 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，结合，可求出和，得到，再求出的值.‎ ‎【详解】，可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的正切值，属于简单题.‎ ‎8.运行下列程序框图，若输出的结果是，则判断框内的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环语句的特点以及输出结果，可得判断条件需满足时进行的运算，不能满足时的运算，根据选项，得到答案.‎ ‎【详解】因为输出的结果是 根据循环语句的特点，说明判断条件需满足时进行的运算，‎ 不能满足时的运算，‎ 四个选项中，只有B项满足要求，故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查根据框图输出结果，填写判断条件，属于简单题.‎ ‎9.在四个正方体中，均在所在棱的中点，过 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线与平面不垂直的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于选项D中图形，由于为，的中点，所以，故为异面直线所成的角且，即不为直角，故与平面不可能垂直，故选D.‎ ‎10.已知（，，）是定义域为的奇函数，且当时，取得最大值2，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 是奇函数，‎ 当时，取最大值 则 故选 点睛：由条件利用正弦函数奇偶性求得，再根据当时，取得最大值，求出，可得的解析式，再根据它的周期性，即可求得所给式子的值．‎ ‎11.已知函数与其导函数的图像如图，则函数的单调减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由图可知，先减后增的那条曲线为的图象，先增再减最后增的曲线为的图象，当时，，令，得，则，故的减区间为,故选C.‎ 考点：1、函数图象；2、函数的导数；3、函数的单调性.‎ ‎【方法点晴】本题考查函数的图象、函数的导数、函数的单调性，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先由图可知，先减后增的那条曲线为的图象，先增再减最后增的曲线为的图象，当时，，令，得，则，故的减区间为，.‎ ‎12.牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数，满足应用上述方法，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求在处的切线，得到切线与轴的交点横坐标，再求在处的切线，得到与轴的交点横坐标，再求在处的切线，得到与轴的交点横坐标 ‎【详解】，‎ ‎，切线斜率，切线方程，令，得 ‎，切线斜率，切线方程，令，得 ‎，切线斜率，切线方程，令，得，故选D项 ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数在某一点的斜率，有一定的计算量，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在中，角的对边分别为，且，，，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得到的值，再求出，利用三角形面积公式，得到答案.‎ ‎【详解】在中，有正弦定理得，得到，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，两角和的正弦公式，三角形面积公式，属于简单题.‎ ‎14.已知向量，向量在向量方向上的投影为，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可得，，而对两边平方便可得到，这样即可求出.‎ ‎【详解】由已知得，，‎ ‎，‎ 由得：，即，‎ ‎.‎ 故答案为5.‎ ‎【点睛】本题考查根据向量坐标求向量的长度，一个向量在另一个向量方向上投影的定义及计算公式，以及向量数量积的计算.‎ ‎15.已知双曲线，其渐近线与圆 相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到双曲线的一条渐近线为，与圆相交，弦长为，所以弦心距为，由圆心到渐近线的距离公式可得关系，再得到关系，求出离心率 ‎【详解】双曲线的一条渐近线为，与圆相交，弦长为，则弦心距为 即圆心到渐近线S的距离为 ‎，得 在双曲线中，，即 ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线的，点到直线的距离，弦心距与弦长之间的关系，双曲线离心率的求法，属于简单题.‎ ‎16.已知球的体积为，则球的内接圆锥的体积的最大值为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先根据题中所给球的体积求得球的半径的大小，之后利用对应几何体的轴截面，找出内接圆锥的底面圆的半径，圆锥的高和球的半径之间满足的等量关系式，将圆锥的体积转化为高的函数，借助于均值不等式求得最大值.‎ 详解：设球的半径为，则有，整理得，即，设给球的内接圆锥的底面圆的半径为，高为，则有，而该圆锥的体积，利用均值不等式可得当的时候，即时取得最大值，且最大值为.‎ 点睛：该题所考查的是有关几何体的内接问题，在解题的过程中，直角三角形中摄影定理在寻求的关系时起着关键性的作用，还有就是在求最大值的时候，也可以应用导数来完成.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知为等差数列，且，前4项的和为16，数列满足，，且数列为等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设的公差为，列出方程组，求得，得到数列的通项公式，再设的公比为，解得，进而得到数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，可采用分组求和的方法求的数列的前项和．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设的公差为，‎ 因为，前4项的和为16，‎ 所以，，‎ 解得，，所以.‎ 设的公比为，则，‎ 所以，得，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 所以 ‎ ‎.‎ ‎18.市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：‎ 某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换.（用频率估计概率）‎ ‎（Ⅰ）根据频率直方图估算型节能灯的平均使用寿命；‎ ‎（Ⅱ）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为，那么支灯管估计需要更换支.若该商家新店面全部安装了型节能灯，试估计一年内需更换的支数；‎ ‎（Ⅲ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）3440小时；（Ⅱ）4；（Ⅲ）应选择A型节能灯.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由频率直方图即可得到平均使用寿命；（Ⅱ）根据题意即可得到一年内需更换的支数；（Ⅲ）分别计算所花费用，即可作出判断.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由图可知，各组中值依次为，对应的频率依次为，故型节能灯的平均使用寿命为小时.‎ ‎（Ⅱ）由图可知，使用寿命不超过小时的频率为，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为，故估计一年内支型节能灯需更换的支数为.‎ ‎（Ⅲ）若选择型节能灯，一年共需花费元；‎ 若选择型节能灯，一年共需花费元.‎ 因为，所以该商家应选择A型节能灯.‎ ‎【点睛】本题考查该商家应选择哪种型号的节能灯的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）已知，的面积为，为线段上一点，且三棱锥的体积为，求.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）取的中点，连接，，可推出为的中点，从而推出四边形为平行四边形，即可证明平面；（2）过作于，连接，可推出平面，从而推出，设，表示出，，根据的面积为，可求得得值，设到平面的距离为，根据，即可求得，从而求得.‎ 试题解析：（1）证明：取的中点，连接，.‎ ‎∵侧面为平行四边形 ‎∴为的中点，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴‎ ‎∴四边形为平行四边形，则.‎ ‎∵平面，平面 ‎∴平面.‎ ‎（2）解：过作于，连接，‎ ‎∵平面 ‎∴.‎ 又 ‎∴平面 ‎∴.‎ 设，则，，，‎ ‎∴面积为，∴.‎ 设到平面的距离为，则.‎ ‎∴‎ ‎∴与重合，.‎ ‎20.已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设点，点（与不重合）在直线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，求证：.‎ ‎【答案】（I）;(Ⅱ) 见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程，，从而得到结果；（2）求出两条切线方程，再抽出方程，其两根为切点的横坐标，,通过韦达定理得到结果即可.‎ ‎【详解】（1）∵圆与抛物线准线相切，‎ ‎∴.‎ 又圆过和原点，‎ ‎∴.‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）设，，方程为.‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线在点处切线的斜率，‎ ‎∴切线的方程为，‎ 即，‎ 化简得：，‎ 又因过点，故可得，‎ 即.‎ 同理可得：.‎ ‎∴为方程的两根，‎ ‎∴，.‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题．‎ ‎21.已知函数的定义域为.‎ ‎（1）判断函数的零点个数，并给出证明；‎ ‎（2）若函数在上为增函数，求整数的最大值.‎ ‎（参考数据：，，）‎ ‎【答案】（Ⅰ）个；（Ⅱ）；‎ ‎【解析】‎ 试题分析: （1）对函数求导,由在恒成立,则在上为增函数，由，可判断出函数有唯一零点; （2）对函数求导,分离参变量,在上恒成立，构造新函数求导,由（1）可知,a小于等于在区间上的最小值,根据函数的单调性,求得函数最小值的取值范围,即可取得整数a的最大值.‎ 试题解析:解：（Ⅰ）在上为增函数，‎ 且，故在上为增函数，‎ 又，，‎ 则函数在上有唯一零点.‎ ‎（Ⅱ）在上恒成立，‎ 当时显然成立,‎ 当时，可得在上恒成立， ‎ 令，则，，‎ ‎，‎ 由（Ⅰ）可知：在上为增函数，故在上有唯一零点，‎ 则在区间上为减函数，‎ 在区间上为增函数，‎ 故时，有最小值， . ‎ 又，‎ ‎，‎ 则，‎ 有，‎ 所以，，‎ 令，则最小值 ‎，‎ 因，则的最小值大约在之间，‎ 故整数的最大值为6.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）,（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用参数方程、普通方程与极坐标方程的转化方法，求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）先将曲线的方程转化为标准参数方程，然后将其代入曲线的直角坐标方程中，因曲线和曲线有两个交点，所以整理后的关于的二次方程，初步确定的范围，再根据参数方程的几何意义可知，，引入已知，分类讨论，求实数的值.‎ ‎【详解】（1）的参数方程，消参得普通方程为，‎ 的极坐标方程化为即；‎ ‎（2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，）‎ 代入曲线得，由，‎ 得 ‎ 设，对应的参数为，，由题意得即或，‎ 当时，，解得 ，‎ 当时，解得，‎ 综上：或.‎ 点睛：过点倾斜角为的直线标准参数方程为 （为参数），通过如下方式辨别标准直线参数方程：（1）系数平方和，（2）纵坐标系数为正.‎ ‎23.已知，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；‎ ‎(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,‎ ‎,的取值范围是. ‎ ‎(Ⅱ)由柯西不等式得.‎ 若不等式对一切实数恒成立,‎ 则,其解集为,‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎ ‎