数学文卷·2018届安徽省舒城一中高三寒假模拟（二）（2018

数学文卷·2018届安徽省舒城一中高三寒假模拟（二）（2018

‎ 2018届寒假模拟（二）‎ 高三数学（文科）‎ ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要 求的.‎ ‎1.设集合，则下列结论正确的是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在 ( )‎ ‎ A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知数列的前项和为，若，则 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题: ( )‎ ‎ ①若，则；‎ ‎ ②若，则；‎ ‎ ③若，则且；‎ ‎ ④若，则；‎ 其中真命题的个数是 ( )【来源：全,品…中&高*考+网】A. 0 B. 1 ‎ ‎ C. 2 D. 3‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为 ( )‎ ‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎7.已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则m的值是 ( )‎ ‎ A. B. 1 C. 2 D. 5‎ ‎8.若，且函数在处有极值，若，则t的最大值为 ( )‎ ‎ A. 2 B. 3 C. 6 D. 9‎ ‎9.如图，圆C内切于扇形AOB, ,若向扇形AOB内随机投掷600个 ‎ 点，则落入圆内的点的个数估计值为 ( )‎ ‎ A. 100 B. 200 C. 400 D. 450‎ ‎10.一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为 ( )‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎11.设,且满足，则的取值范围 为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A,B两点，M为抛物线C的准线与 轴的交点，若，则 ( )‎ ‎ A. 4 B. 8 C. D. 10‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为： 1,2,3，，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 .‎ ‎14.已知数列满足，且，则的值为 .‎ ‎15.在球O的内接四面体中，且四面体体积的最大值为200，则球O的半径为 .‎ ‎16.设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 中，角A,B,C的对边分别为，且 ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎7.0‎ ‎6.5‎ ‎5.5‎ ‎3.8‎ ‎2.2‎ ‎（Ⅰ）求关于的线性回归方程；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）‎ 参考公式：‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面ABCD为边长为的正方形， ‎ ‎（Ⅰ）求证：‎ ‎（Ⅱ）若E,F分别为PC,AB的中点，平面求三棱锥的体积.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆C与A,B两点，且当直线垂直于轴时，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求弦长的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分） 已知函数，其中为自然对数的底数. ‎ ‎（Ⅰ）当时，判断函数极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，设证明：随着的增大而增大.‎ 请考生在22～23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）【选修4-4，坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4-5，不等式选讲】‎ 设 ‎（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若存在，使得不等式成立，‎ ‎ 求实数m的取值范围.‎ 参考答案（二）‎ 一、选择题 ‎1. 【答案】B.‎ 试题分析：∵，∴，‎ 又∵，∴可知C正确，A，B，D错误，故选C．‎ ‎【考点】本题主要考查集合的关系与解不等式．‎ ‎2. 【答案】C.‎ 试题分析：由题意得，‎ ‎，故对应的点在第三象限，故选C．‎ ‎【考点】本题主要考查复数的计算以及复平面的概念．‎ ‎3. 【答案】B.‎ 试题分析： A：偶函数与在上单调递增均不满足，故A错误；B：均满足，B正确；C：不满足偶函数，故C错误；D：不满足在上单调递增，故选B．‎ ‎【考点】本题主要考查函数的性质．‎ ‎4.【答案】A.‎ 试题分析：，再令，‎ ‎∴，∴数列是以4为首项，2为公比是等比数列，‎ ‎∴，故选A.‎ ‎【考点】本题主要考查数列的通项公式.‎ ‎5. 【答案】B.‎ 试题分析：①：或，异面，故①错误；②：根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③：或，故③错误；④：根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误，∴真命题的个数为1，故选B．‎ ‎【考点】本题主要考查空间中线面的位置关系判定及其性质．‎ ‎6. 【答案】C.‎ 试题分析：分析框图可知输出的应为满足的最小正整数解的后一个整数，故选C．‎ ‎【考点】本题主要考查程序框图．‎ ‎7. 【答案】B.‎ 试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线：，，‎ 则可知当，时，，故选B．‎ ‎【考点】本题主要考查线性规划．‎ ‎8. 【答案】D.‎ 试题分析：∵，∴，‎ 又∵在取得极值，∴，‎ ‎∴，∴当且仅当时，，故选D.‎ ‎【考点】本题考查导数的运用与函数最值.‎ ‎9. 【答案】C.‎ 试题分析：如下图所示，设扇形半径为，圆半径为，‎ ‎∴，‎ ‎∴落入圆内的点的个数估计值为，故选C.‎ ‎【考点】本题考查几何概型.‎ ‎10. 【答案】D.‎ 试题分析：分析三视图可知，该几何体如下图所示三棱锥，期中平面平面，故选D．‎ ‎【考点】本题主要考查三视图．‎ ‎11. 【答案】A.‎ ‎【考点】本题主要考查三角恒等变形．‎ ‎12. 【答案】B.‎ 试题分析：根据对称性，如下图所示，设：，，，‎ 由，∴，，，‎ ‎，又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ 故选B.‎ ‎【考点】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质．‎ 二、填空题 ‎13. 【答案】15.‎ 试题分析：根据系统抽样的特点可知抽取的4名学生的编号依次成等差数列，故穷举可知剩余一名学生的编号是15，故填：.‎ ‎【考点】本题主要考查系统抽样．‎ ‎14.【答案】.‎ 试题分析：由题意得，，，，，，∴数列是周期为6的周期数列，‎ 而，∴，故填：.‎ ‎【考点】本题主要考查数列求和.‎ ‎15. 【答案】.‎ 试题分析：由题意得，设球半径为，，‎ ‎∴，故填：.‎ ‎【考点】本题主要考查球的性质．‎ ‎16. 【答案】.‎ 试题分析：设，∴当时，，‎ 即在上单调递增，又∵，∴的解为，‎ 故填：.‎ ‎【考点】本题主要考查导数的运用．‎ 三、解答题 ‎17. 【答案】（1）；（2）.‎ 试题分析：本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用正弦定理先将边转化为角，再由内角和将A转化为，解出，再结合角的取值范围，确定角的值；第二问，利用平方关系先得到，再结合第一问中的结论，用两角和的正弦公式以及诱导公式计算，最后用正弦定理将边转化为角的正弦值求解. ‎ 试题解析：(Ⅰ) ,‎ 由正弦定理，得,------------2分 ‎…………………4分 因为，所以，‎ 所以,‎ 因为，所以.------------6分 ‎(Ⅱ)三角形中，，，‎ 所以-------------8分 ‎…………………10分 ‎ .------------12分 考点：本题主要考查：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质 ‎18. 【答案】（1）；（2）.‎ 试题分析：本题主要考查线性回归分析、函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用已知数据结合参考公式计算和，从而得到线性回归方程；第二问，结合第一问，先列出的表达式，利用配方法求最值.‎ 试题解析：(Ⅰ)， 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，…………………2分 ‎ ，，‎ ‎ 错误！未找到引用源。，‎ 解得：错误！未找到引用源。 ………………4分 所以：错误！未找到引用源。.…………………6分 ‎(Ⅱ)年利润 …………………8分 ‎…………………10分错误！未找到引用源。‎ 所以时，年利润错误！未找到引用源。最大.…………………12分 考点：本题主要考查：1.线性回归分析；2.函数最值.‎ ‎19. 【答案】（1）证明详见解析；（2）.‎ 试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、锥体的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定定理，先证出平面，利用线面垂直的性质定理得，在中再证明；第二问， 用体积转化法，将转化为，证明出是锥体的高，再利用锥体的个数求解.‎ 试题解析：(Ⅰ)连接交于点，‎ 因为底面是正方形，‎ 所以且为的中点. ‎ 又 所以平面， -------------2分 由于平面,故.‎ 又,故. ---------------4分 ‎(Ⅱ)设的中点为,连接,,‎ 所以为平行四边形，∥，‎ 因为平面， ‎ 所以平面，所以,的中点为,‎ 所以. ---------------6分 由平面，又可得，‎ 又，又 所以平面 所以,又,‎ 所以平面 ---------------8分 ‎（注意：没有证明出平面，直接运用这一结论的，后续过程不给分）‎ ‎ ‎ ‎………………………10分 故三棱锥D-ACE的体积为.……………………12分 考点：本题主要考查：1.线面垂直的判定与性质；2.空间几何体体积求解.‎ ‎20. 【答案】（1）；（2）.‎ 试题分析：圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．‎ 试题解析：(Ⅰ)由已知：，，……………2分 又当直线垂直于轴时， ，所以椭圆过点，‎ 代入椭圆：，‎ 在椭圆中知：,联立方程组可得：，‎ 所以椭圆的方程为：.……………………4分 ‎(Ⅱ)当过点直线斜率为0时,点、 分别为椭圆长轴的端点,‎ 或,不合题意.‎ 所以直线的斜率不能为0.…………………………（没有此步骤，可扣1分）‎ 可设直线方程为： ，‎ 将直线方程代入椭圆得:‎ ‎，由韦达定理可得：‎ ‎ ，……………………6分 将（1）式平方除以（2）式可得：‎ 由已知可知，， ‎ ‎， ‎ 所以，……………………8分 又知，，‎ ‎，解得：.……………………10分 ‎ ‎ ‎，，‎ ‎.…………………12分 考点：本题主要考查：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的最值问题.‎ ‎21. 【答案】（1）是函数的一个极小值点，无极大值点；（2）证明详见解析.‎ 试题分析：利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：1.已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；2.已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为(或)恒成立的问题；3.已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图 像，数形结合求解．‎ 试题解析：(Ⅰ)当时，，‎ 令，则 …………………2分 则，单调递减 ‎ ‎，单调递增 所以是函数的一个极小值点，无极大值点。…………………4分 ‎(Ⅱ)令则 因为函数有两个零点 所以，，可得，.‎ 故. …………………6分设，则，且解得，.‎ 所以：. ① …………………8分 令，，‎ 则. …………………10分 令，得.‎ 当时，.因此，在上单调递增，‎ 故对于任意的，，‎ 由此可得，故在上单调递增.‎ 因此，由①可得随着的增大而增大. …………………12分 考点：本题主要考查导数的运用.‎ ‎22. 【答案】（1）；；（2）3.‎ 试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用，，转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之积得到结论.‎ 考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.‎ ‎23. 【答案】（1）；（2）.‎ 试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先解不等式，得到的不等式的解集和已知解集相同，对应系数相等，求出a的值；第二问，先将存在，使得不等式成立，转化为，再求m的取值范围.‎ 试题解析：(Ⅰ)显然，…………………1分 当时，解集为， ，无解；……………………3分 当时，解集为，令，， ‎ 综上所述，.……………………5分 ‎ (Ⅱ) 当时，令 ‎………………7分 由此可知，在单调减，在单调增，在单调增，则当时，取到最小值 ，………………8分 由题意知，，则实数的取值范围是……………10分 考点：本题主要考查：1.绝对值不等式；2.恒成立问题.‎