江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省南京市2019-2020学年度第一学期期中试卷高一数学试题 一、选择题（本大题共10小题）‎ 1. 已知集合A={x|x＞1}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. 1,‎ 2. 函数的定义域为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数，若a=f（20.2），b=f（2），c=f（log25），则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 下列函数中，值域为[0，+∞）的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数f（x）=loga（x+b）的图象如图所示，则ab=（　　） ‎ A. B. C. 6 D. 8 ‎ 6. 二次函数f（x）=-x2+2tx在[1，+∞）上最大值为3，则实数t=（　　）‎ A. B. C. 2 D. 2或 7. 已知函数满足f（a）=3，则a的值是（　　）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 10 D. 4或10‎ 8. 若偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，若，则x的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 若函数的单调递增区间为（0，‎2a]，则a=（　　）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ 10. 已知定义在R上的奇函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=|x-a|-a，若对任意实数x，有f（x-1）≤f（x）成立，则正数a的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共6小题）‎ 11. 计算：=______．‎ 12. 已知f（x-）=x2+，则f（2）=______．‎ 13. 已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，，则当x＞0时，f（x）=______．‎ 14. 正数x，y满足x2-y2=2xy，则的值为______．‎ 15. 已知函数，则不等式f（x）≤1的解集为______．‎ 16. 已知函数，若函数y=f（f（x））-m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 已知集合A={x|x2+a（a+2）≤2ax+2x}，． （1）若a=1，求集合A，B； （2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．‎ ‎ ‎ 1. 已知函数． （1）若m＞n＞0时，f（m）=f（n），求的值； （2）若m＞n＞0时，函数f（x）的定义域与值域均为[n，m]，求所有m，n值． ‎ 2. 已知函数为奇函数． （1）求a的值，并证明f（x）是R上的增函数； （2）若关于t的不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0的解集非空，求实数k的取值范围． ‎ 3. 设函数f（x）=t-x-tx（t＞0，t≠1），． （1）求t的值； （2）求函数g（x）=4-x+4x+2kf（x），x∈[0，1]的最大值h（k）． ‎ 4. 某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数．f（t）．随时刻t（时）变化的规律满足表达式，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）． （1）令，求x的取值范围； （2）若规定每天中f（t）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数a的取值范围． ‎ 1. 已知函数的最小值为0． （1）求实数m的值； （2）函数有6个不同零点，求实数k的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵集合A={x|x＞1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={2}． 故选：B． 利用交集定义直接求解． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：函数中， 令， 解得， 所以函数f（x）的定义域为（-∞，-4）∪（-4，1]． 故选：C． 根据函数的解析式列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数f（x）=（　　）x，则f（x）在R上为减函数， 又由20.2＜21＜2＜log25， 则a＞b＞c； 故选：B． 根据题意，由指数函数的性质分析可得f（x）在R上为减函数，又由20.2＜21＜2＜log25，分析可得答案． 本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及指数函数的单调性，属于基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由幂函数的性质可知，y=≥0；由指数函数的性质可知，y=3x＞0； y=log2（x-1）的值域为R；=1≠1 故选：A． 根据幂函数，指数函数，对数函数及反比例函数的性质对选项进行判断即可． 本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意a＞0，由图可得，即即解得或（舍）， ab=8， 故选：D． 由题意a＞0，由图可得进而求解． 考查识图能力，对数函数的理解． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：f（x）=-x2+2tx对称轴x=t，开口向下， ①t≤1，则f（1）=-1+2t=3，无解， ②t＞1，则f（t）=-t2+2t2=3，解得t=‎ ‎． 故选：B． f（x）=-x2+2tx对称轴x=t，开口向下，比较对称轴与区间端点的关系，进而求解． 考查二次函数图象的理解，在特定区间的最值． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵满足f（a）=3， 当a≤3时，f（a）=‎2a-3+1=3，解可得，a=4（舍）， 当a＞3时，f（a）==3，解可得a=10， 综上可得，a=10． 故选：C． 由已知，对a进行分类讨论，分别代入可求f（a），然后解方程即可求解． 本题主要考查了利用分段函数求解函数的值，体现了分类讨论思想的应用． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数， ∴f（x）在（-∞，0）上是增函数， 若，则||＞1， 解可得，x＞2或0＜x＜． 故选：D． 偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，可知f（x）在（-∞，0）上是增函数，由已知可得||＞1，解不等式可求． 本题主要考查了偶函数对称性质及单调性的应用及利用单调性求解不等式，不要漏掉对数真数大于0 的要求，属于中档试题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵函数的单调递增区间为（0，‎2a]， 而y=x+在（0，‎2a]上只能是减函数，在[‎2a，+∞）上是增函数， ∴0＜a＜1 且‎2a=，求得a=， 故选：A． 由题意利用复合函数的单调性，对数函数、y=x+型函数的性质，可得 0＜a＜1 且‎2a=，由此求得a的值． 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、y=x+型函数的性质，属于中档题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵a＞0，∴x≥0时，，且f（x）是R上的奇函数， ∴画出f（x）的图象如下： ‎ ‎∵对任意的实数x，有f（x-1）≤f（x）成立， ∴a-（‎-3a）≤1，解得， ∴正数a的取值范围为． 故选：C． 根据a＞0，从而取绝对值号得出x≥0时，，再根据f（x）是R上的奇函数即可画出f（x）的图象，结合图象即可得出a-（‎-3a）≤1，解出a的范围即可． 考查奇函数的定义，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及数形结合解题的方法． 11.【答案】0 ‎ ‎【解析】解：原式=． 故答案为：0． 进行分数指数幂和对数的运算即可． 考查分数指数幂和对数的运算． 12.【答案】6 ‎ ‎【解析】解：∵f（x-）=x2+， ∴f（x-）=x2+=（x-）2+2， 把x-整体换成x，可得，f（x）=x2+2， ∴f（2）=22+2=6． 故答案为：6． 利用配凑法，把x-看成一个整体，将等式右边表示成x-的形式，然后把x-整体换成x，即可得f（x），令x=2，即可得f（2）的值． 本题考查了函数的解析式，求函数解析式一般应用配凑法和换元法，属于基础题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵y=f（x）是R上的奇函数，且x＜0时，， ∴设x＞0，-x＜0，则：， ∴． 故答案为：． 根据y=f（x）是奇函数，并且x＜0时，，可设x＞0，从而得出，从而得出x＞0时f（x）的解析式． 考查奇函数的定义，求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法和过程． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：令t=，因为x，y为正数，所以t＞0， 因为x2-y2=2xy，所以1-=2，即1-t2=2t， 解得t=-1或t=--1（舍）， 所以====-1， 故答案为：-1． 令t=，则t＞0，由x2-y2=2xy，得1-t2=2t，解得t=-1，所以==，将t值代入即可． 本题主要考查了转化与化归思想的运用．把已知等式转化为一元二次方程问题来解决，时解题的关键． 15.【答案】[-1，2] ‎ ‎【解析】解：函数， 不等式f（x）≤1化为，或， ⇒0＜x≤2或-1≤x≤0， ‎ ‎⇒x∈[-1，2]， 故答案为：[-1，2] 利用分段函数结合不等式转化求解即可． 本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 16.【答案】（1，2] ‎ ‎【解析】解：∵， ∴f（f（x））=，作出图象可知 当1＜k≤2时，函数有3个不同的零点． 故答案为（1，2]． 本题化简函数的解析式为分段函数的形式，画出函数的图象，然后判断k的范围． 本题考查了分段函数解析式以及数形结合思想，难度较低，属于基础题． 17.【答案】解：（1）a=1时，集合A={x|x2+a（a+2）≤2ax+2x} ={x|x2+3≤4x}={x|1≤x≤3}， ={x|0≤x≤3}． （2）A={x|x2+a（a+2）≤2ax+2x} ={x|x2-（‎2a+2）x+a（a+2）≤0} ={x|（x-a）[x-（a+2）]≤0}=[a，a+2]， ={x|0≤x≤3}． ‎ ‎∵A∩B=A，∴A⊆B， ∴，解得0≤a≤1． 故实数a的取值范围是[0，1]． ‎ ‎【解析】（1）a=1时，求出利用一元二次不等式的性质和函数性质能求出集合A，B． （2）求出A=[a，a-2]，B={x|0≤x≤3}．由A∩B=A，得A⊆B，由此能求出实数a的取值范围． 本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查集合定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：（1）∵m＞n＞0时，f（m）=f（n）， ∴，∴（）+（）=0 ∴+=2； （2）由题意f（x）=，∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增， ①0＜n＜m≤1，则f（n）=m，f（m）=n，∴解得m=n=（舍） ②n＜1＜m，则f（x）min=f（1）==n，f（x）max=m=max{f（n），f（m）}=max{，f（m）}，∴m=， ③1≤n＜m，则f（n）=n，f（m）=m，无解． 综上，． ‎ ‎【解析】（1）∵m＞n＞0时，f（m）=f（n），∴，∴（）+（）=0，进而求解； （2）由题意f（x）=，∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增，继而分类讨论，进而求解． 考查含有绝对值等式的理解，分段函数的处理，分类讨论的思想，函数的最值． 19.【答案】解：（1）由题意f（0）=1+=0，解得a=-2，经验证a=-2符合题意， 设x1，x2为函数定义域内任意两值，且x1＞x‎2 f（x1）-f（x2）=-=2[] ∵y=2x为定义域上的增函数，∴2-2＞0 ∴f（x1）＞f（x2） 即f（x）为R上的增函数； （2）f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0⇒f（t2-2t）＜-f（2t2-k）⇒f（t2-2t）＜f（k-2t2） ∵f（x）为R上的单调递增函数， ∴t2-2t＜k-2t2， ∴k＞3t2-2t有解， ∴k＞（3t2-2t）min=-， 即k∈（，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）由题意f（0）=1+=0，解得a=-2，进而求解； （2）（t2-2t）+f（2t2-k）＜0⇒f（t2-2t）＜f（k-2t2），即k＞3t2-2t有解，进而求解； 考查奇函数的性质，函数的单调性，集合的性质，转化思想． 20.【答案】解：（1）因为f（x）=t-x-tx（t＞0，t≠1），， 所以； 所以2t2-3t-2=0， 所以（t-2）（2t+1）=0， 因为t＞0，t≠1，所以t=2． （2）函数g（x）=4-x+4x+2kf（x）， ∴g（x）=（2x-2-x）2-2（2x-2-x）k+2， ∵x∈[0，1]‎ ‎， 记2x-2-x=， 则g（x）=φ（u）=u2-2ku+2=（u-k）2+2-k2， 开口向上，其对称轴为u=k， 当时，=， 当时，g（x）max=u（0）=2， 综上所述： ‎ ‎【解析】（1）根据即可求t的值； （2）转换二为次函数问题讨论k与对称轴的关系，即可求解最大值h（k）． 本题主要考查运用指数函数求值，以及一元二次函数的性质求最值的讨论，属于中档题． 21.【答案】解：（1）由题意，0≤t≤24，则1≤t+1≤10， ∴0=lg1≤lg（t+1）≤lg10=1． 故x的取值范围为：[0，1]． （2）由（1），知：f（t）=|lg（t+1）-a|+‎3a+2=|x-a|+‎3a+2， 可设h（x）=|x-a|+‎3a+2，x∈[0，1]．a∈（0，1）． 则h（x）=． 根据一次函数的单调性，很明显h（x）在[0，a）上单调递减，在[a，1]上单调递增． ∴h（x）max=max{h（0），h（1）}． ∵h（x）max≤5， ∴，即， 解得0＜a≤． ∴a的取值范围为：（0，]． ‎ ‎【解析】本题第（1）题根据t的取值范围，及复合函数同增的单调性可得x的取值范围； 第（2）题根据第（1）题的提示构造一个函数h（x）=|x-a|+‎3a+2，然后将绝对值函数转化成分段函数，考虑单调性及最大值的取值，再与5比较，即可得到调节参数a的取值范围． 本题主要考查复合函数的单调性，根据定义域及解析式求值域，构造函数法的应用，绝对值函数转化为分段函数的方法，不等式的计算能力．本题属综合性较强的中档题． 22.【答案】解：（1）如果m≤0，则f（x）在（0，+∞）上递增，无最小值，不合题意， ∴m＞0，易证f（x）在是单调减函数， 在是单调增函数， ⇒， ⇒m=1$end{array}$． （2）令t=|x2-2x|，t＞0，函数有6个不同零点， 就是关于x有6个解， ∴t2+1-2t+2k-kt=0关于t有2个解， h（t）=t2-（2+k）t+1+2k，开口向上， 则，解得-＜k＜0． 所以实数k的取值范围为（-，0）． ‎ ‎【解析】（1）利用m与0的大小关系，讨论函数的单调性求解函数的最小值，推出结果． （2）函数有6个不同零点，转化为方程的根，利用换元t=|x2-2x|，结合函数的图象，判断t的根的个数与范围，二次函数的实根分布即可求解k 的范围． 本题主要考查了函数与方程的综合应用，二次函数的单调性的应用，不等式中的存在性问题与最值的相互转化，二次函数的实根分布问题等知识的综合应用，是难题． ‎