2015年高考试题——数学理（安徽卷）原卷版

2015年高考试题——数学理（安徽卷）原卷版

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意事项： 1． 答题前， 务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答 题卡上所粘 贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名 和座位号后两位. 2． 答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.[来源:Zxxk.Com] 3． 答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须 在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   . 标准差 2 2 2 12 1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn       ，其中 12 1 ()nx x x xn    . 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的. （1）设 i 是虚数单位，则复数 2 1 i i 在复平面内所对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限[来源:学科网 ZXXK] （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A） y cos x （B） y sin x （C） y ln x （D） 2 1yx [来源:学科网 ZXXK] （3）设 :1 2, : 2 1xp x q   ，则 p 是 q 成立的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 [来源:Zxxk.Com] （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 2yx 的是（ ） （A） 2 2 14 yx  （B） 2 2 14 x y （C） 2 2 14 y x （D） 2 2 14 xy  （5）已知 m ， n 是两条不同直线， ，  是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行 （B）若 ， 平行于同一平面，则 与 平行 （C）若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线 （D）若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面 （6）若样本数据 1x ， 2x ，， 10x 的标准差为8 ，则数据 121x  ， 221x  ， ， 1021x  的标准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32 （7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） 13 （B） 23 （C）1 2 2 （D） 22 （8） C 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ，b 满足 2a  ， C2ab   ，则下列结论正确 的是（ ） （A） 1b  （B） ab （C） 1ab （D） 4Cab   （9）函数    2 ax bfx xc   的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A） 0a  ， 0b  ， 0c  （B） 0a  ， ， 0c  （C） 0a  ， ， （D） 0a  ， 0b  ， （10）已知函数    sinf x x   （  ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 2 3x  时， 函数  fx取得 最小值，则下列结论正确的是（ ） （A）      2 2 0f f f   （B）      0 2 2f f f   （C）      2 0 2f f f   （D）      2 0 2f f f   第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. （11） 371()x x 的展开式中 5x 的系数是 .（用数字填写答案） （12）在极坐标中，圆 8sin 上的点到直线 ()3 R距离的最大值是 . （13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 n 为 . [来源:Z_xx_k.Com] （14）已知数列{}na 是递增的等比数列， 1 4 2 39, 8a a a a   ，则数列 的前 n 项和等于 . （15）设 3 0x ax b   ，其中 ,ab均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 . （写出所有正确条件的编号） ① 3, 3ab    ；② 3, 2ab   ； ③ 3, 2ab   ；④ 0, 2ab；⑤ 1, 2ab. 三.解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内. （16）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， 3 , 6, 3 24A AB AC   ,点 D 在 BC 边上， AD BD ，求 AD 的长. （17）（本小题满分 12 分） 已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放 回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望）. （18）（本小题满分 12 分） 设 *nN ， nx 是曲线 22 1nyx在点(1 2)， 处的切线与 x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列{}nx 的通项公式； （Ⅱ）记 2 2 2 1 3 2 1nnT x x x  ，证明 1 4nT n .[来源:学科网][来源:学科网 ZXXK] （19）（本小题满分 13 分） 如图所示，在多面体 1 1 1A B D DCBA ，四边形 11AA B B ， 11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为 11BD的中 点，过 1,,A D E 的平面交 1CD 于 F. （Ⅰ）证明： 1//EF B C ； （Ⅱ）求二面角 11E A D B余弦值. [来源:学科网 ZXXK][来源:Zxxk.Com] （20）（本小题满分 13 分） 设椭圆 E 的方程为   22 2210xy abab    ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 0a， ，点 B 的坐标为  0 b， ，点 M 在线段 AB 上，满足 2BM MA ，直线 OM 的斜率为 5 10 . （I）求 E 的 离心率 e； （II）设点 C 的坐标为 0 b， ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 7 2 ，求 E 的方程. （21）（本小题满分 13 分） 设函数 2()f x x ax b   .[来源:学_科_网] （Ⅰ）讨论函数 (sin )fx在( , )22  内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （Ⅱ）记 2 0 0 0()f x x a x b   ，求函数 0(sin ) (sin )f x f x 在[]22  , 上的最大值 D； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取 000ab，求 2 4 azb 满足 D1 时的最大值.