专题60 以不变应万变--定点定直线问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题60 以不变应万变--定点定直线问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

‎ 考纲要求:‎ ‎1.圆锥曲线 ‎(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.‎ ‎(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎(4)了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎(5)理解数形结合的思想.‎ ‎2.曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．‎ 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；‎ Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；‎ Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．‎ ‎(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ ‎2.根与系数的关系：‎ 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．‎ 应用举例:‎ 类型一　圆锥曲线中的定点问题 ‎【例1】【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎【例2】【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上期中】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直与轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.‎ ‎ ①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；‎ ‎②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎（2）①设，则直线的方程为，‎ 令得，因为，因为，‎ 所以，因为在椭圆上，所以，‎ 所以为定值，‎ ‎②直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 则直线的方程为，‎ 所以直线过定点.‎ ‎【例3】【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且. ‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为： ，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ ‎∵‎ 点评：(1)定点的探索与证明问题：‎ ‎①探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．‎ ‎②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．‎ 类型二 圆锥曲线中的定直线问题 ‎【例4】【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 ‎ ‎【答案】(1) 。‎ ‎(2)证明略。‎ ‎【解析】‎ ‎（2）由题意知。设,则 ‎，‎ ‎。‎ 由得，又由（1）知，故 ‎。‎ 所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.‎ ‎【例5】【2018届“超级全能生”高考全国卷26省9月联考】已知椭圆过点，其离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）把代入的方程得，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 设的中点为，则 ‎，令，则，‎ 由题意可知， ‎ ‎，解得.符合，‎ 直线的方程为.‎ ‎【例6】【2018届河南省郑州市第一中学高三上第二次月考】已知椭圆： 的离心率与双曲线： 的离心率互为倒数，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点， 为坐标原点，求证： 三点共线．‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为双曲线： 的离心率，‎ 而椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为，‎ 设椭圆的半焦距为，则.①‎ 又椭圆经过点，所以.②‎ ‎，③‎ 联立①②③，解得.‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.解析几何中定点问题的常见解法 ‎(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎2.证明动点在定直线上，体现了点的变化轨迹，其实质是：求点的轨迹方程. ‎ 一般的求解策略是：引入参数或是利用熟悉的知识转化为求点的轨迹问题.‎ 实战演练:‎ ‎1.【2017届江西省高三下调研四】 过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，则以为直径的圆的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,的中点,由题知，直线的方程为,代入抛物线方程整理得,所以,所以,,所以以为直径的圆的方程为.‎ ‎2.经过点作椭圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 3．【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上新起点】已知是抛物线的焦点，过的直线与直线垂直，且直线与抛物线交于两点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是抛物线的焦点，∴，又过的直线与直线垂直 ‎∴直线的方程为：，带入抛物线，易得：‎ 设，，‎ ‎。‎ 故答案为： ‎ ‎4.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.‎ ‎ ‎ ‎5.【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）高考前模拟一】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.‎ ‎(1)求椭圆的方程：‎ ‎(2)设， 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设运用已知建立方程组求解；（2）先设定直线方程，再借助题设条 件，将直线方程与椭圆方程联立，借助坐标之间的关系进行推证：‎ 解:‎ ‎(1) ，即，‎ ‎ 又 ，既 故椭圆的方程为.‎ ‎ ‎ ‎6.【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】已知椭圆： 过点，且离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，又点，过三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 存在，定点为．‎ ‎【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证．‎ 试题解析：（Ⅰ）由，解得，故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设点，直线的斜率分别为，则．‎ 又：，令得，‎ ‎：，令得，‎ 则，过三点的圆的直径为,‎ 设圆过定点，则，解得或（舍）．‎ 故过三点的圆是以为直径的圆过轴上不同于点的定点．‎ ‎7.【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知椭圆 的离心率为，过点的椭圆的两条切线相互垂直.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在椭圆上是否存在这样的点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为，且直线过点？若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)满足条件的点有两个.‎ ‎ ‎ 综合①、②得，点，的坐标都满足方程.‎ ‎∵经过，两点的直线是唯一的，‎ ‎∴直线的方程为，‎ ‎∵点在直线上，∴，‎ ‎∴点的轨迹方程为.‎ 又∵点在椭圆上，又在直线上，‎ ‎∴直线经过椭圆内一点，‎ ‎∴直线与椭圆交于两点.‎ ‎∴满足条件的点有两个.‎ ‎8.【2018届山西省孝义市高三上学期入学】已知椭圆经过点， 的四个顶点构成的四边形面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上是否存在相异两点，使其满足:①直线与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在轴上，若存在，求出的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎ ‎ ‎(2)设直线的方程为，代入，得 ‎.(*)‎ 设， ，且是方程(*)的根，‎ ‎∴，‎ 用代替上式中的，可得，‎ ‎∵的中点在轴上，∴，‎ ‎∴，解得，‎ 因此满足条件的点， 存在.‎ 由平面几何知识可知的角平分线方程为.‎ ‎∴所求弦长为.‎ ‎9.【2017届吉林省实验中学高三下第八次模拟（期中】已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若且，已知直线与椭圆交于两点，过点且平行于直线的直线交椭圆于另一点，问：四边形能否程成为平行四边形？若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ） ‎ 设.‎ 由得， ，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 若四边形能成为平行四边形，则，‎ ‎，解得.‎ 符合条件的直线的方程为，即.‎ ‎10.【2017届湖北孝感市高三上第一次统考】双曲线的左、右焦点分别为，过作轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12,抛物线以双曲线的右顶点为焦点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，则 直线的方称为，代入抛物线的方程有：‎ 当时，，‎ ‎∴直线的方程为：，即 ‎∴此时直线过定点，‎ 当时，直线的方称为：，此时仍过点 即证直线过定点.‎ ‎11.【2018届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上期中联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.‎ ‎ x1+x2=，x1x2=， ‎ 又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），‎ 因此M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ），‎ 由，则+=0，‎ 化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，‎ 则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0， ‎ 当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.‎ ‎12.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知A、B是抛物线W： 上的两个动点，‎ F是抛物线W的焦点， 是坐标原点，且恒有.‎ ‎(1)若直线OA的倾斜角为时，求线段AB的中点C的坐标；‎ ‎(2)求证直线AB经过一定点，并求出此定点.‎ ‎【答案】（1）中点C（）（2）定点坐标 ‎ ‎ ‎ ‎