江西省南昌市五校2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题 含解析

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高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 南昌五校2019-2020学年高一（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设集合M={-1，0，1}，N={-2，0，1}，则M∪N=（　　）‎ A. 0, B. C. 0, D. ‎ 2. 下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 函数f（x）=4+loga（x-1）（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 设a=50.8，b=0.67，c=log0.74，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 设f（x）=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（　　）‎ A. B. C. D. 不能确定 6. 函数f（x）=ax2+2（a-3）x+1在区间[-3，+∞）上递减，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（m2）与时间t（月）的关系：y=at，有以下叙述： ①这个指数函数的底数是2； ②第5个月时，浮萍的面积就会超过‎30m2‎； ③浮萍从‎4m2‎蔓延到‎12m2‎需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等； 其中正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 已知f（x）=x5-ax3+bx+4，且f（-5）=2，则f（5）+f（-5）的值为（　　）‎ A. 4 B. ‎1 ‎C. 0 D. 8‎ 9. 函数y=f（x）在区间（0，2）上是增函数，函数y=f （x+2）是偶函数，则结论正确（　　）‎ A. f    B. f    C. D. ‎ 10. 函数y=的图象大致是（　　）‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 A. B. C. D. ‎ 1. 设函数f（x）满足，则f（4）等于（　　）‎ A. B. ‎6 ‎C. D. 1‎ 2. 已知函数，且方程f（x）=a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. 函数f（x）=log3（1+x）+的定义域是______．‎ 4. 函数f（x）与g（x）互为反函数，且g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若函数f（x）的图象经过点（2，9），则函数f（x）的解析式为______‎ 5. 函数y=lo（2x2-5x-3）的单调递增区间为______ ．‎ 6. 给出定义：若M-＜x（其中M为整数），则M叫做离实数x最近的整数，记作{x}=M．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个结论： ①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]； ②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称； ③函数y=f（x）在[-，]上是增函数． ④函数y=f（x）是偶函数； 其中正确结论的是______（把正确的序号填在横线上）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 7. ‎（1）计算：； （2）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示log215； ‎ 8. 某商品近一个月内（30天）预计日销量y=f（t）（件）与时间t（天）的关系如图1所示，单价y=g（t）（万元/件）与时间t（天）的函数关系如图2所示，（t为整数） （1‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎）试写出f（t）与g（t）的解析式； （2）求此商品日销售额的最大值？ ‎ 1. ‎（1）求函数y=22x+2•2x-1在区间[-1，1]上的最大值． （2）已知函数y=a2x+2ax-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值为14，求a的值． ‎ 2. 已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0，a≠1，b，c∈R） （1）若b=0，且满足f（2）=1，f（4）=73，求函数f（x）的解析式； （2）当a=2时，若对任意x1，x2∈[-1，1]，恒有|f（x1）-f（x2）|≤4，求非负实数b的取值范围． ‎ 3. 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1． （1）求证：f（8）=3． （2）求不等式f（x）-f（x-2）＞3的解集． ‎ 1. 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 已知幂函数（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数． （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在区间（2，3）上为增函数，求实数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：集合M={-1，0，1}，N={-2，0，1}， 则M∪N={-2，-1，0，1}． 故选：A． 根据并集的定义写出M∪N即可． 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：对于A．为指数函数，没有奇偶性，则A错； 对于B．f（-x）=-f（x），则为奇函数，在x＜0，x＞0上均为减函数，则B错； 对于C．f（-x）=-f（x），则为奇函数，且y′=-6x2≤0，即有减函数，则C对； 对于D．定义域为（-∞，0），不关于原点对称，则不为奇函数，则D错． 故选C． 运用定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可判断是奇函数，又在定义域内为减函数的函数． 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义和常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题和易错题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由于函数y=logax经过定点（1，0）， 故函数f（x）=4+loga（x-1）（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点（2，4）， 故选：C． 根据函数y=logax经过定点（1，0），函数f（x）=4+loga（x-1）（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点（2，4）． 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，利用了函数y=logax经过定点（1，0），属于基础题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：a=50.8＞50=1，0＜b=0.67＜0.60=‎1 c=log0.74＜log0.71=0， 所以，c＜b＜a． 故选D． 对于a和b，运用指数函数的性质与0，1比较，可知a＞1，0＜b＜1，利用对数函数的单调性得到c＜0，从而得到a，b，c的大小． 本题考查了有理指数幂的化简求值和对数值的大小比较，考查了指数函数和对数函数的单调性，该类大小比较问题，有时利用0和1当媒介，往往能起到事半功倍的效果，此题是基础题 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0， 由零点存在定理，得， ∴方程的根落在区间（1.25，1.5）． 故选：B． 由已知“方程3x+3x-8=0在x∈（1，2‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号． 二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理： 一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线， 且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：当a=0时，f（x）=-6x+1，满足在区间[-3，+∞）上递减． 当a≠0时，由于函数f（x）=ax2+2（a-3）x+1的图象的对称轴方程为x=，且函数在区间[-3，+∞）上递减， ∴，求得-≤a＜0． 综上可得，-≤a≤0， 故选：C． 当a=0时，f（x）=-6x+1，满足条件．当a≠0时，由条件利用二次函数的性质可得，由此求得a的范围，综合可得结论． 本题主要考查二次函数的性质的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属基础题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵点（1，2）在函数图象上， ∴2=a1∴a=2，故①正确； ∴函数y=2t在R上是增函数，且当t=5时，y=32故②正确， 4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确； 如图所示，1-2月增加‎2m2‎，2-3月增加‎4m2‎，故④不正确． 故选：D． 函数已定型，根据函数上的点来求底数，根据函数的单调性来估计以后的变化． 数形结合法是解决函数问题的有效方法之一． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵f（x）=x5-ax3+bx+4，∴f（x）-4=x5-ax3+bx是奇函数， 则f（-5）-4=-[f（5）-4]=-f（5）+4， 则f（5）+f（-5）=4+4=8， 故选：D． 根据条件求出f（x）-4是奇函数，利用奇函数的性质进行求解即可． 本题主要考查函数值的计算，结合条件构造函数f（x）-4，利用函数f（x）-4是奇函数是解决本题的关键．比较基础． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵函数y=f（x+2）为偶函数， ∴f（-x+2）=f（x+2）， 所以f（）=f（+2）=f（-+2）=f（），f（）=f（+2）=f（-+2）=f（）， 又f（x）在区间（0，2）上是增函数，＜1＜， 所以f（）＜f（1）＜f（），即f（）＜f（1）＜f（）， 故选：D． ∵函数y=f（x+2）为偶函数，∴f（-x+2）=f（x+2），由该式可把f（），f（1），f（）转化为区间（0，2）上的函数值，借助函数f（x）在区间（0，2）上的单调性即可作出比； 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属中档题，解决本题的关键是借助y=f （x+2）的奇偶性把问题转化到区间（0，2）上解决． ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A． 当x→-∞时，y→+∞，排除B， 当x→+∞时，x3＜3x-1，此时y→0，排除D， 故选：C． 根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可． 本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵函数f（x）满足， ∴f（）=3+f（）log2=3-f（）， ∴f（）=， ∴f（4）=3+f（）log24=3+=6． 故选：B． 由函数f（x）满足，先求出f（）=，由此能求出f（4）的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：作出函数f（x）的图象，方程f（x）=a有三个不同的实数根 即等价于函数y=f（x）的图象与直线y=a有三个交点A，B，C，故有-2＜a≤2， 不妨设x1＜x2＜x3，因为点A，B关于直线x=-2对称，所以x1+x2=-4， -2＜log2x3≤2，即＜x3≤4，故-＜x1+x2+x3≤0． 故选：A． 根据题意可知，方程f（x）=a有三个不同的实数根即等价于函数y=f（x）的图象与直线y=a 有三个交点A，B，C，故有-2＜a≤2，即可求出x1+x2=-4以及＜x3≤4，因而求出x1+x2+x3的取值范围． 本题主要考查方程的根与函数图象交点的横坐标之间的关系，属于中档题． 13.【答案】{x|-1＜x≤} ‎ ‎【解析】解：依题意，，解得-1， 故f（x）的定义域为{x|-1}． 故答案为：{x|-1}． 根据真数大于0和偶次根式被开方数非负列不等式求解即可． 本题考查了函数的定义域的求法，考查分析解决问题的能力，属于基础题． 14.【答案】f（x）=3x ‎ ‎【解析】解：函数f（x）与g（x）互为反函数，且g（x）=logax（a＞0，且a≠1）， ∴f（x）=ax（a＞0，且a≠1）， 若函数f（x）的图象经过点（2，9），则9=a2，解得a=3． 函数f（x）的解析式为：f（x）=3x． 故答案为：f（x）=3x． 函数f（x）与g（x）互为反函数，且g（x）=logax（a＞0，且a≠1），可得f（x）=ax（a＞0，且a≠1），根据函数f（x）的图象经过点（2，9），代入9=a2，解得a，即可得出函数f（x）的解析式． 本题考查了互为反函数、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 ‎15.【答案】（-∞，-） ‎ ‎【解析】解：令t=2x2-5x-3＞0，求得x＜-，或 x＞3，故函数的定义域为{x|x＜-，或 x＞3}，且y=lot， 故本题即求函数t在定义域内的减区间． 再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（-∞，-）， 故答案为：（-∞，-）． 令t=2x2-5x-3＞0，求得函数的定义域，根据y=lot，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论． 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 16.【答案】①②④ ‎ ‎【解析】解：①，令x=m+a，a∈（-，]， ∴f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，]，故①正确； ②，∵f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（x）， ∴函数y=f（x）的图象关于x=对称，故②正确； ③，x=-时，m=-1，f（-）=，x=时，m=0，f（）=， ∴f（-）=f（），故③错误； ④，∵f（-x）=|（-x）-{-x}|=|x-{x}|=f（x）， ∴f（x）为偶函数，故④正确． ∴正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 由题意，令x=m+a，a∈（-，]，求得函数的值域判断①；由函数解析式计算可得f（k-x）=f（x），得到函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；求解f（）与f（）的值，由两函数值相等说明③错误；利用偶函数的定义说明④正确． 本题考查命题的真假判断与应用，正确理解题意是关键，属中档题． 17.【答案】解：（1）原式==． （2）原式==． ‎ ‎【解析】（1）根据指数的运算性质即可化简计算． （2）利用换底公式，换成已知对数即可化简求值． 本题考查指数的运算性质．考查换底公式和对数的运算性质． 18.【答案】解：（1）f（t）是一次函数，过两个点（30，5），（0，35） ∴f（t）=35-t （0≤t≤30，t∈Z），…（2分）， g（t）是分段函数，当0≤t≤20时，是一次函数，过两个点（20，8），（0，3），此时g（t）= 当20＜t≤30时，是一次函数，过两个点（20，8），（30，2），此时g（t）= ∴g（t）=（6分） （2）设日销售额L（t）是天数t的函数，则有 L（t）=f（t）•g（t）=                 …（9分） 当0≤t≤20时，L（t）=， 当t=11或12时，L（t）最大值为138万元． 当20＜t≤30时，L（t）=在（20，30]是减函数， 故L（t）＜L（20）=120万元， ∵138＞120 ∴0≤t≤30时，当t=11或12时，L（t）最大值为138万元．                 …（13‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 分） 答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元．               …（14分） ‎ ‎【解析】（1）f（t）是一次函数，g（t）是分段函数，根据图象中点的坐标，可得函数解析式； （2）f（t）•g（t）即为日销售额，建立销售额的函数模型，分段研究函数的最大值，从而确定商品日销售额的最大值． 本题以函数图象为载体，考查函数模型的构建，考查分段函数的最值，解题的关键是构建分段函数模型． 19.【答案】解：（1）∵y=22x+2•2x-1=（2x+1）2-2，令t=2x，y=（t+1）2-2， 当x∈[-1，1]，t，函数递增，所以． （2）∵y=f（x）=a2x+2ax-1=（ax+1）2-2，x∈[-1，1]，令t=ax，y=（t+1）2-2， 当a＞1时，t，ymax=f（a）=（a+1）2-2=14，∴a+1=4∴a=3或a=-5（舍去）， 当0＜a＜1时，t∈，则．∴．∴（舍去）∴， 综上所述：a=3或者a=． ‎ ‎【解析】（1）对y=22x+2•2x-1=（2x+1）2-2配方，令t=2x，根据函数递增，求出最大值； （2）对y=f（x）=a2x+2ax-1=（ax+1）2-2，令t=ax，分a＞1，0＜a＜1分别讨论，求出a． 考查指数型复合的二次函数最值，利用了换元法，函数的单调性，分类讨论思想，中档题． 20.【答案】解：（Ⅰ）依题意得：，----------------------------（1分） ∴a4-a2-72=0，----------------------------（2分） 则（a2-9）（a2+8）=0，----------------------------（3分） 则a2=9，得a=3，---------------------------（4分） ∴c=-8，则f（x）=3x-8．----------------------------（5分） （Ⅱ）任取-1≤x1＜x2≤1， 则f（x1）-f（x2）=+bx1+c-（+bx2+c）=（-）+b（x1-x2）----------------------------（6分） 又∵＜，b≥0，x1-x2＜0------------------------------------------（7分） ∴（-）+b（x1-x2）＜0---------------------------， 即f（x1）-f（x2）＜0， ∴f（x1）＜f（x2）， 函数f（x）在[-1，1]上单调递增，-------------------（8分） 则函数的最大值f（1）=2+b+c，最小值f（-1）=-b+c，---------------（9分） 若对任意x1，x2∈[-1，1]，恒有|f（x1）-f（x2）|≤4，则需满足|f（1）-f（-1）|≤4------------------------（10分） ∴|2b+|≤4，得-4≤2b+≤4，得-≤b≤，-----------------------（11分） 又b≥0，则0≤b≤．----------------------------（12分） ‎ ‎【解析】（1）根据条件建立方程组进行求解即可． （2）根据不等式的关系，先判断函数f（x）的单调性，转化为最值恒成立即可得到结论． 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式恒成立问题，利用待定系数法是解决本题的关键．考查学生的计算能力． 21.【答案】证明：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=‎3f（2）=3 解：（2）原不等式可化为f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f（8x-16） ∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数 ∴ ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 解得： ‎ ‎【解析】（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8） （2）原不等式可化为f（x）＞f（8x-16），结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数可求 本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质 22.【答案】解：（1）∵在（0，+∞）上单调递增，∴‎-2m2‎+m+3＞0，∴． 又m∈Z，m=0或m=1． 再根据f（x）为偶函数，可得‎-2m2‎+m+3为正偶数，故m=1，f（x）=x2． （2）g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在（2，3）上为增函数， 而由y=logau和u=x2-ax复合而成， 当0＜a＜1时，y=logau减函数，故u=x2-ax 在（2，3）为增函数，故不满足条件． ∴，求得1＜a≤2． ‎ ‎【解析】（1）由题意可得‎-2m2‎+m+3＞0，且‎-2m2‎+m+3＞0为正偶数，由此求得m的值，可得函数f（x）的解析式． （2）由条件利用对数函数的定义域和单调性、二次函数的单调性，从而求得a的范围． 本题主要考查函数的单调性、奇偶性，复函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． ‎ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com