江西省新余市分宜中学2019-2020学年高二上学期段考数学试卷

江西省新余市分宜中学2019-2020学年高二上学期段考数学试卷

数学试卷 一、选择题 ‎1.已知数列，则数列的第4项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的通项公式，求得的值.‎ ‎【详解】依题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据数列的通项公式求某一项的值，属于基础题.‎ ‎2.已知中，，，，那么角等于 A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为<，，‎ 正弦定理可知，A=45°‎ 故选C.‎ ‎3.在中，已知，则的形状一定是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，∴‎ ‎∴的形状一定是等腰三角形.‎ 故选A ‎4.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)‎ A. b＝3，ac＝9 B. b＝－3，ac＝9‎ C. b＝3，ac＝－9 D. b＝－3，ac＝－9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为 ‎5.等差数列的前项和为，且，则= ( )‎ A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得的值.‎ ‎【详解】数列是等差数列，依题意，解得.所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.在中,角所对的边分别为,且,则此三角形中的最大角的大小( )‎ A. 60° B. 120° C. 135° D. 150°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三角形中大角对大边，故角最大，利用余弦定理求得的值，由此求得最大角的大小.‎ ‎【详解】在三角形中大角对大边，且，所以角最大.由余弦定理得 ‎，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形大角对大边，属于基础题.‎ ‎7.若函数在处取最小值，则等于（ ）‎ A. 3 B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.‎ ‎【详解】当时，，则 ‎ ，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.已知数列满足，则（ ）‎ A. －2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次求得，由此找到数列的周期，进而求得.‎ ‎【详解】依题意，所以数列是周期为的周期数列，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项的数值，考查数列的周期性，属于基础题.‎ ‎9.已知，且，则的最小值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过常数代换后，应用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】∵x＞0，y＞0，且9x+y=1，‎ ‎∴ ‎ 当且仅当时成立，即时取等号. ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.‎ ‎10.在中，若的面积为S，且，则的外接圆的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求得，由此利用正弦定理求得 外接圆的半径，进而求得外接圆的面积.‎ ‎【详解】由得，所以，由于是三角形的内角，所以.设三角形外接圆半径为，由正弦定理得，所以外接圆的面积为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎11.关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是( )‎ A. 或 B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的解集判断出的关系，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】由于x的不等式的解集是，所以且.所以不等式等价于，故解集为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎12.设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线（）,过直线与直线的交点时,目标函数（）取得最大12,即,即,而．‎ 二、填空题 ‎13.不等式的解集为________.‎ ‎【答案】（-4，1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】原不等式等价于，所以不等式的解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎14.若，满足约束条件，则的最大值为_____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先根据题中所给约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式 ‎，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.‎ ‎【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：‎ 由，可得，‎ 画出直线，将其上下移动，‎ 结合几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，‎ 由，解得，‎ 此时，故答案为6.‎ 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.‎ ‎15.已知函数,且)，若数列满足 ‎,且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的表达式，根据数列是递增数列，列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】依题意（）.注意到的对称轴为，所以当时，单调递增.由于数列是递增数列，所以，即，解得.所以的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查分段函数的性质，属于中档题.‎ ‎16.设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确的是________.‎ ‎（1） （2）190是数列中的项 ‎ ‎（3） （4）当时，取最小值 ‎【答案】(1)(3)(4)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据的定义求得，以此类推求得的通项公式，利用裂项求和法求得.由此对四个结论逐一分析，确定结论正确的选项.‎ ‎【详解】当时，，故.‎ 当时，，故.‎ 当时，，故，共有4个数，即，故（1）结论正确.‎ 以此类推，当时，‎ ‎，‎ 故可以取个数为，即，‎ 当时上式也符合，所以；‎ 令，得，没有整数解，故（2）错误.‎ ‎，‎ 所以，‎ 故，所以（3）判断正确.‎ ‎，，‎ 当时, ，‎ 当时, ，故当时取得最小值，故（4）正确 故答案为：(1)(3)(4)‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查分析、归纳的能力，考查裂项求和法，考查与数列最值有关问题的求解，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知等差数列中，，，求此数列的通项公式．‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据等差数列的性质，结合题意，求出、和的值，再求出公差和首项，即可写出通项公式．‎ 试题解析：，‎ ‎， ∴．‎ 又∵，∴．‎ 即，‎ ‎，．‎ 若，；‎ ‎，．‎ 考点：等差数列的通项公式．‎ ‎18.已知等差数列满足：，．的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得 解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，‎ 解得，所以，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即数列的前项和.‎ 考点：等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和 ‎19.在中，角，，的对边分别为，，，且，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先利用正弦定理将边角关系转化为边的关系：，再利用余弦定理求的值；（2）先确定三边的值，再利用同角三角函数关系求，最后根据三角形面积公式求面积.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以．‎ 所以．‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以．‎ ‎ 又因为，所以．‎ 所以．‎ ‎20.锐角的内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求的周长的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理和题设条件，整理得，得到，即可求解角的大小；‎ ‎ (2)由正弦定理，得到，得到周长，利用三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，因为，‎ 由正弦定理可得：，‎ 又由，‎ 代入整理得，‎ 又由，则，所以，即，‎ 又因为，所以.‎ ‎(2)因为,且由正弦定理，可得，‎ 即 所以周长 ‎，‎ 即 ‎ 又因为锐角三角形，且，‎ 所以，解得，‎ 所以，则有 即 ，‎ 即的周长取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．‎ ‎21.已知不等式的解集为或.‎ ‎（1）求；（2）解关于的不等式 ‎【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；‎ ‎（2）把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集．‎ ‎【详解】（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，‎ 所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；‎ 由根与系数的关系，得，‎ 解得a＝1，b＝2；‎ ‎（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，‎ 即（x﹣2）（x﹣c）＜0；‎ ‎①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；‎ ‎②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；‎ ‎③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．‎ ‎22.设数列的前项和，，且为等差数列的前三项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依据题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用错位相减法求解.‎ 试题解析:‎ ‎（1）解法1：∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，即，‎ 又，‎ ‎∴数列为以1为首项，公比为的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，整理得，得 ‎∴，‎ 解法2：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，整理得，得 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，即，‎ 又 ‎∴数列为以1为首项，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎（2）‎ ‎∴①‎ ‎∴②‎ ‎①②得 整理得：‎ 考点：等差数列等比数列的通项前项和等有关知识的运用．‎ ‎ ‎