高考数学一轮—26平面向量数量积及应用

高考数学一轮—26平面向量数量积及应用

‎ ‎ 第26讲 平面向量的数量积及应用 一．【课标要求】‎ ‎1．平面向量的数量积 ‎①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；‎ ‎②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；‎ ‎③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；‎ ‎④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。‎ ‎2．向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。‎ 二．【命题走向】‎ 本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。‎ 平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主 预测2010年高考：‎ ‎（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目 ‎（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；‎ 三．【要点精讲】‎ ‎1．向量的数量积 ‎（1）两个非零向量的夹角 已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；‎ 说明：（1）当θ＝０时，与同向；‎ ‎（2）当θ＝π时，与反向；‎ ‎（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；‎ ‎（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。‎ C ‎（2）数量积的概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ 向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；‎ ‎（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 ‎（4）向量数量积的性质 ‎①向量的模与平方的关系：。‎ ‎②乘法公式成立 ‎；‎ ‎；‎ ‎③平面向量数量积的运算律 交换律成立：；‎ 对实数的结合律成立：；‎ 分配律成立：。‎ ‎④向量的夹角：cos==。‎ 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ‎（5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量，则·=。‎ ‎（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。‎ 两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。‎ ‎（7）平面内两点间的距离公式 设，则或。‎ 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) ‎ ‎2．向量的应用 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎（1）向量在几何中的应用；‎ ‎（2）向量在物理中的应用。‎ 四．【典例解析】‎ 题型1：数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）若，则；‎ ‎（4）若，则当且仅当时成立；‎ ‎（5）对任意向量都成立；‎ ‎（6）对任意向量，有。‎ 解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。‎ 点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零 例2． 已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则（ⅰ） （ⅱ）的取值范围是 .‎ ‎【解析】设，，，，因为是△的重心，故 ‎，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.‎ ‎（ⅰ），故；‎ ‎（ⅱ），那么 ‎ ‎，当与重合时，，当位于中点时，‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎，故，故但因为与不能重合，故 ‎（2）设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ‎①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直 ‎④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）‎ A.①② B.②③ C.③④ D.②④‎ 解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向 ‎（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。‎ 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。‎ 题型2：向量的夹角 例3．（1）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（ ）‎ ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）1‎ 解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．‎ 评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．‎ ‎（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。‎ ‎（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。‎ ‎（4）| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为 （ ）‎ ‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ 解析：（2）；‎ ‎（3）由题意，，且与的夹角为，‎ 所以，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同理可得。‎ 而，‎ 设为与的夹角，‎ 则。‎ ‎（4）C；设所求两向量的夹角为 ‎ 　　　‎ ‎ 　　即：‎ 所以 点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握 例4．（1）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）‎ A．－++= B．-+=‎ C．+-= D．++=‎ ‎（2）（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值． ‎ 解 （1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，∴，‎ 则，‎ ‎2、（山东临沂2009年模拟）如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。‎ （1） 求关于θ的表达式;‎ （2） 求的值域。‎ 解：（1）由正弦定理，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎（2）由，得 ‎ ‎ ‎∴，即的值域为.‎ ‎3. 已知,,,。‎ ‎ （1）求；‎ ‎ （2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，，求sinx 解：（1）由已知 ‎ ∴‎ ‎ ∵ ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2, ‎ ‎ 又CD2=AC2－AD2, 所以BC2=BD2+AC2－AD2=49， ……4分 所以 ……6分 ‎（2）在△ABC中， ∴ ……8分 ‎ ‎ ‎ 而 如果，‎ 则 ∴ ……10分 ‎ ‎ 点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题 题型3：向量的模 例5．（1）已知向量与的夹角为，则等于（ ）‎ ‎ A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1‎ ‎（2）（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于 （ ）‎ A. B.2 C.4 D.12‎ 解析 由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12‎ ‎∴‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ 解析：（1）B；（2）B 点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。‎ 例6．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。‎ 解析：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；‎ 又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；‎ 即25x+24y＝０ ①；‎ 又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１；‎ ‎（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１；‎ 整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②；‎ 由①②有24xy+25y２＝１ ③；‎ 将①变形代入③可得：y=±；‎ 再代回①得：。‎ 点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。‎ 题型4：向量垂直、平行的判定 例7．已知向量，，且，则 。‎ 解析：∵，∴，∴，∴。‎ 例8．已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。‎ 解析：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎。‎ 点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算 题型5：平面向量在代数中的应用 例9．已知。‎ ‎ 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。‎ ‎ 证明：设 ‎ 则。‎ 点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。‎ 例10．已知，其中。‎ ‎ （1）求证：与互相垂直；‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎ （2）若与（）的长度相等，求。‎ ‎ 解析：（1）因为 ‎ ‎ ‎ 所以与互相垂直。‎ ‎ （2），‎ ‎ ，‎ ‎ 所以，‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 有，‎ ‎ 因为，故，‎ ‎ 又因为，‎ 所以。‎ 点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。‎ 题型6：平面向量在几何图形中的应用 例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。‎ 已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ 证明：联结OP，设向量，则且，‎ ‎，即∠APB＝90°。‎ 点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。‎ 题型7：平面向量在物理中的应用 例13．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力 解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。‎ 由正六边形的性质还可求得 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。‎ 课后训练：‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( )‎ ‎ A．且c与d同向 B．且c与d反向 ‎ C．且c与d同向 D．且c与d反向 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查.‎ ‎ 取a，b，若，则cab，dab，‎ ‎ 显然，a与b不平行，排除A、B. ‎ ‎ 若，则cab，dab，‎ 即cd且c与d反向，排除C，故选D.‎ ‎2、江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题 已知O为坐标原点, 集合,且 .46‎ ‎3、(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）‎ A. B. C. D.‎ 答案 B 解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。‎ ‎【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.‎ ‎4、（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( )‎ A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 ‎ C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 答案 C ‎（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）‎ 解析 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎5. 江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学(文科)试题 ‎ 若向量a=，b=，且a，b的夹角为钝角，‎ 则x的取值范围是 . ‎ ‎6. （2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 答案 D ‎ 解析 不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有 ‎【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．‎ ‎7. 对于个向量，若存在个不全为零的实数使得 成立，则称向量是线性相关的.按此规定，能使向量是线性相关的实数的值依次为 .（只需写出一组值即可）根据线性相关的定义得，令则，，∴的一组值为－4，2，1‎ ‎8. 已知向量i=(1,0),j=(0,1),A,B,若，则△OCD的面积为：A。 B。 C。 D。1+2‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎9. 设向量与的夹角为，，，‎ 则　　　　　．‎ ‎.解：设向量与的夹角为且∴，则=.‎ ‎10. 已知向量的夹角的大小为 .‎ ‎ 解析：．‎ ‎11. 已知△ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则点△BCP与△ABP的面积分别为s1,s2,则s1:s2=_________‎ ‎12. 设定义域为[x1，x2]的函数y＝f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），＝（x，y），满足x＝λx1＋（1－λ）x2（0＜λ＜1），又有向量＝λ＋（1－λ），现定义“函数y＝f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立，其中k＞0，k为常数。根据上面的表述，给出下列结论：①A、B、N三点共线；②直线MN的方向向量可以为＝（0，1）；③“函数y＝5x2在[0，1]上可在标准下线性近似”．④“函数y＝5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”； 其中所有正确结论的序号为_______________．、、 ‎13. P为ΔABC所在平面上的点，且满足=+，则ΔABP与ΔABC的面积之比是_______．1∶2 ‎ ‎14. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C是抛物线上不同三点，若=0，则= .‎ 设A、B、C的横坐标分别为x1,x2,x3则x1+x2+x3=3，又=1+x1+1+x2+1+x3=6‎ ‎15. 若向量的夹角为　　　　．‎ ‎16. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，‎ AH⊥BC，垂足为H，M为AH的中点，‎ 若的值等于 ‎ ‎ 。‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎17. 在中，，若，‎ ‎ 则 ‎ ‎18. 若正方形边长为1，点在线段上运动，则的取值范围是　　　 　　．[-2，]‎ ‎19. 已知是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数,的最小值是　　 　.‎ ‎20. 在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若（），则 1‎ 五．【思维总结】‎ ‎1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ‎（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；‎ ‎（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；‎ ‎（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；‎ ‎（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；‎ 如右图：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但 ¹；‎ ‎ (5)在实数中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。‎ ‎2．平面向量数量积的运算律 特别注意：‎ 第 17 页 共 17 页 ‎ ‎ ‎（1）结合律不成立：；‎ ‎（2）消去律不成立不能得到；‎ ‎（3）=0不能得到=或=。‎ ‎3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；‎ ‎4．注重数学思想方法的教学 ‎①．数形结合的思想方法。‎ 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。‎ ‎②．化归转化的思想方法。‎ 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。‎ ‎③．分类讨论的思想方法。‎ 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。‎ ‎5．突出向量与其它数学知识的交汇 ‎“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平 第 17 页 共 17 页