江苏省无锡市2020届高三上学期期末考试 数学

江苏省无锡市2020届高三上学期期末考试 数学

‎2020届高三模拟考试试卷 数　　学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ ‎2020．1‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝________．‎ ‎2. 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且满足iz＝9＋i(其中i为虚数单位)，则a＋b＝________．‎ ‎3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4 人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学中午用餐平均用时为________分钟．‎ ‎4. 函数f(x)＝(a－1)x－3(a＞1，a≠2)过定点________．‎ ‎5. 已知等差数列{an}(公差不为0)，其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为________．‎ ‎6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道做答，小李会做其中的3道题，则抽到的2道题小李都会的概率为________．‎ ‎7. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，点E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是________．‎ ‎(第7题)‎ ‎　　　　　(第8题)‎ ‎8. 如图所示的流程图中，输出n的值为________．‎ ‎9. 圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4关于直线y＝2x－1对称的圆的方程为________________．‎ ‎10. 已知正方形ABCD的边长为2，圆O内切于正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点， 则·的取值范围是________．‎ ‎11. 双曲线C：－＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连结PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2.若k1＝λk2，则λ＝________．‎ ‎12. 若对于任意的正数a，b，不等式(2ab＋a2)k≤4b2＋4ab＋3a2恒成立，则k的最大值为________．‎ ‎13. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝ CB.若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为________．‎ ‎14. 已知函数f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx＋9在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是________．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a－b，c)，向量n＝(cos B，cos C)，且m∥n.‎ ‎(1) 求角C的大小；‎ ‎(2) 求y＝sin A＋sin(B－)的最大值．‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，点E为PD的中点，CD⊥DP.求证：‎ ‎(1) OE∥平面PAB；‎ ‎(2) CD⊥PA.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点(2，)，过点F2且不平行于坐标轴的直线l交椭圆于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M.‎ ‎(1) 求△PF1Q的周长；‎ ‎(2) 求△PF1M面积的最大值．‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示)，其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450 m3，深2 m．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65 400元．‎ ‎(1) 求发酵池AD边长的范围；‎ ‎(2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4 m和b m的走道(b为常数)．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知{an}，{bn}均为正项数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，Sn－1＝1－2an，bn＝－2Tn－1.‎ ‎(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2) 设cn＝，求数列{cn}的前n项和Pn.‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 设函数f(x)＝ln x－ax，a∈R，a≠0.‎ ‎(1) 求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2) 若函数f(x)＝0有两个零点x1，x2(x1＜x2)．‎ ‎(Ⅰ) 求a的取值范围；‎ ‎(Ⅱ) 求证：x1·x2随着的增大而增大．‎ ‎2020届高三模拟考试试卷 数学附加题 ‎(满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21. (本小题满分10分)‎ 已知a，b∈R，矩阵A＝.若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P(－2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(－1，2)，求矩阵A.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 已知曲线C1：(其中θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ－)＝2.设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ 如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，点O为AB的中点， ∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝2，AD＝3.‎ ‎(1) 求异面直线OC与DE所成角的余弦值；‎ ‎(2) 求二面角ADEC的正弦值．‎ ‎24.(本小题满分10分)‎ 对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：ex－1>.‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(无锡)‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1. {1，3}　2. －8　3. 　4. (0，－2)　5. 4　6. 　7. 　8. 4　9. (x－3)2＋y2＝4　10. [0，1]‎ ‎11. －　12. 2　13. 3　14. (－，－8)‎ ‎15. 解：(1) ∵ m∥n，‎ ‎∴ (2a－b)cos C－ccos B＝0.(2分)‎ 由正弦定理可得2sin Acos C－sin Bcos C－sin Ccos B＝0，(4分)‎ 即2sin Acos C＝sin(B＋C)＝sin A．(6分)‎ 又A为△ABC的内角，∴ sin A≠0，∴ cos C＝.‎ 又C为△ABC的内角，故C＝.(8分)‎ ‎(2) y＝sin A＋sin(B－)＝sin(B＋)＋sin(B－)(10分)‎ ‎＝cos B＋sin B＋sin B－cos B＝sin B－cos B＝2sin(B－)，(12分)‎ 当B＝时，y的最大值为2.(14分)‎ ‎16. 证明：(1) 连结BD，因为底面是平行四边形，故BD经过O点，且点O为BD的中点．‎ 又点E为PD的中点，所以OE∥PB.(4分)‎ 因为OE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ 所以OE∥平面PAB.(6分)‎ ‎(2) 在平面PAD内作PH⊥AD，由于△PAD为锐角三角形，‎ 设PH∩AD＝H.‎ 因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面PAD，‎ 所以PH⊥平面ABCD.(8分)‎ 又CD⊂平面ABCD，所以PH⊥CD.(10分)‎ 而CD⊥DP，PH∩PD＝P，PH，PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.(12分)‎ 而PA⊂平面PAD，则CD⊥PA.(14分)‎ ‎17. 解：(1) 由椭圆的焦距为4，则c＝2，从而a2－b2＝4.‎ 又椭圆过点(2，)，所以＋＝1，即36b2＋25a2＝9a2b2，‎ 消去b，得9a4－97a2＋144＝0，解得a2＝9或a2＝(舍去)，‎ 所以a＝3.(4分)‎ 则△PF1Q的周长为4a＝12.(6分)‎ ‎(2) 由(1)得椭圆方程为＋＝1，F2(2，0)．‎ 设直线l的方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m，0)，则R(x2，－y2)，‎ 直线PR的方程为y－y1＝(x－x1)，‎ 令y＝0，则－y1＝(x－x1)，x＝＋x1，‎ 所以m＝＋x1＝＝.(8分)‎ 将直线l的方程与椭圆方程联立，并消去y，得(5＋9k2)x2－36k2x＋36k2－45＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，(10分)‎ 从而m＝＝＝，(12分)‎ S△PF1M＝F1M·|y1|＝×·|y1|＝|y1|≤，‎ 所以△PF1M面积的最大值为.(14分)‎ ‎18. 解：设发酵池AD边长为x m，则另一边长为 m，且x≥，即x≥15.(2分)‎ ‎(1) 225×200＋4(x＋)×150≤65 400，(4分)‎ 化简得x2－34x＋225≤0，解得9≤x≤25，(6分)‎ 所以发酵池AD边长的范围是[15，25]．(8分)‎ ‎(2) 发酵馆占地面积S＝(x＋8)(＋2b)＝225＋16b＋2bx＋，15≤x≤25，(10分)‎ 令S′＝2b－＝＝0，解得x＝，‎ ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ S′‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ S 递减 递增 当＜15，即b＞4时，AD边为15 m，S最小；(12分)‎ 当15≤≤25，即≤b≤4时，AD边长为 m，S最小；(14分)‎ 当＞25时，即0＜b＜时，AD边长为25 m，S最小．(16分)‎ 答：(1) 发酵池AD边长的范围是[15，25]．‎ ‎(2) 当b＞4时，AD边长为15 m，S最小；当≤b≤4时，AD边长为 m，S最小；‎ 当0＜b＜时，AD边长为25 m，S最小．‎ ‎(注：答不写扣2分)‎ ‎19. 解：(1) 因为当n≥2，n∈N*时Sn－1＝1－2an，所以Sn＝1－2an＋1，‎ 两式相减得an＝2an－2an＋1，即an＝2an＋1，所以＝.(2分)‎ 当n＝2时，a1＝1－2a2，所以a2＝，所以＝，‎ 所以数列{an}为等比数列，其通项公式为an＝.(4分)‎ 当n≥2，n∈N*，bn＝－2Tn－1，所以(bn＋2Tn－1)(bn＋1＋bn－1)＝2(T－T)，‎ 所以(Tn＋Tn－1)(bn＋1＋bn－1)＝2(T－T)．‎ 因为Tn＋Tn－1＞0，所以bn＋1＋bn－1＝2(Tn－Tn－1)＝2bn，(6分)‎ 所以数列{bn}为等差数列，且b1＝1，b2＝2，所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.(8分)‎ ‎(2) 因为cn＝an＝＝－，(12分)‎ 所以Pn＝(－)＋(－)＋…＋＝1－，‎ 即Pn＝1－.(16分)‎ ‎20. (1) 解：因为f′(x)＝－a＝，x＞0，‎ 当a＜0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2分)‎ 当a＞0时，x∈(0，)，f′(x)＞0，x∈(，＋∞)，f′(x)＜0，‎ 所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．‎ 综上，当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间；‎ 当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，＋∞)．(4分)‎ ‎(2) (Ⅰ) 解：由(1)可知：‎ 当a＜0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)至多有一个零点，不符合；(5分)‎ 当a＞0时，f()＝－ln a－1，‎ ‎① 若f()＝－ln a－1＜0，即a＞时，f(x)＜0恒成立，所以函数f(x)无零点，不符合；‎ ‎② 若f()＝－ln a－1＝0，即a＝时，f(x)只有一个零点，不符合；‎ ‎③ 若f()＝－ln a－1＞0，即0＜a＜时，此时＞e.‎ f(1)＝－a＜0，所以f(x)在(0，)上只有一个零点，(8分)‎ f()＝2ln －，设＝t＞e，则g(t)＝2ln t－t，‎ 因为g′(t)＝－1＝＜0，g(t)在(e，＋∞)上单调递减，g(t)＜g(e)＝2－e＜0，即f()＜0，‎ 所以f(x)在(，)上只有一个零点，(9分)‎ 即0＜a＜时，f(x)有两个零点，函数有两个零点．‎ 综上，0＜a＜时，函数有两个零点．(10分)‎ ‎(Ⅱ) 证明： 因为函数f(x)有两个零点x1，x2，‎ 所以⇒ 两式相比可得ln(x1x2)＝.(12分)‎ 令＝t(t＞1)，则设ln(x1x2)＝＝m(t)，m′(t)＝.‎ 设φ(t)＝t－－2ln t，φ′(t)＝1＋－＝＞0，‎ 所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，φ(t)＞φ(1)＝0，(14分)‎ 即m′(t)＞0，m(t)随着t的增大而增大，‎ 所以ln(x1x2)随着的增大而增大．‎ 又e＞1，即x1·x2随着的增大而增大．(16分)‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(无锡)‎ 数学附加题参考答案及评分标准 ‎21. 解：由题意得＝5，可得(2分)‎ 又＝，可得(4分)‎ 解得a＝2，b＝3，c＝1，d＝4，(8分)‎ ‎∴ A＝.(10分)‎ ‎22. 解：由ρcos(θ－)＝2可得ρ(cos θcos ＋sin θsin )＝2，‎ 即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0；(4分)‎ 曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，(6分)‎ 所以圆心到直线的距离为d＝＝2，(8分)‎ 所以AB＝2＝4.(10分)‎ ‎23. 解：∵ AB＝2，∠EAB＝30°，∠AEB＝90°，‎ ‎∴ EB＝，AE＝3.‎ 以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，‎ 则E(0，0，0)，A(0，3，0)，B(，0，0)，C(，0，3)，D(0，3，3)，O(，，0)，‎ ‎(1) ＝(，－，3)，＝(0，－3，－3)，‎ ‎∴ ||＝2，||＝3，‎ ‎∴ ·＝－9＝－，‎ ‎∴ cos〈，〉＝＝＝－，(2分)‎ ‎∴ 异面直线OC与DE所成角的余弦值.(4分)‎ ‎(2) 设平面DCE的一个法向量为m＝(x，y，z)，＝(－，0，－3)，‎ 则 取x＝，得m＝(，1，－1)．(6分)‎ 平面EAD的一个法向量n＝(1，0，0)，(8分)‎ ‎∴ cos〈m，n〉＝＝＝，‎ ‎∴ sin〈m，n〉＝，‎ ‎∴ 二面角ADEC的正弦值为.(10分)‎ ‎24. 证明：① 当n＝1时，只需证ex－1＞x，设f(x)＝ex－1－x(x＞1)，则f(1)＝0.‎ 而x＞1时，f′(x)＝ex－1－1＞0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2分)‎ 因此x＞1时，f(x)＞0，即ex－1＞x.(4分)‎ ‎② 假设n＝k时不等式成立，即ex－1＞，‎ 则当n＝k＋1时，设h(x)＝ex－1－，(6分)‎ 所以h′(x)＝ex－1－＝ex－1－＞0，‎ 故h(x)＝ex－1－在(1，＋∞)上单调递增．‎ 又h(1)＝1－＞0，‎ 则h(x)＝ex－1－＞0，即ex－1＞，n＝k＋1时也成立．‎ 综上，对任意的x＞1，n∈N*，都有ex－1＞.(10分)‎