四川省雅安市雨城区雅安中学2020届高三上学期开学摸底考试数学（文）试题

四川省雅安市雨城区雅安中学2020届高三上学期开学摸底考试数学（文）试题

雅安中学2020届高三9月考试数学试卷（文）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合， ，然后根据交集定义求出 ‎【详解】， ‎ 故选 ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题 ‎2.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数四则运算法则可将复数化简为，从而得到对应点的坐标，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 对应的点的坐标为：，位于第三象限 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查复数与复平面上的点的对应关系，关键是能够熟练应用复数的四则运算法则将复数化简为的形式，属于基础题.‎ ‎3.已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的a，b，c，焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求．‎ ‎【详解】双曲线的a=1，b=，c=，‎ 右焦点F为（，0），‎ 一条渐近线方程为，‎ 则F到渐近线的距离为d==．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，属于基础题．‎ ‎4.设函数，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3+e D. 3e ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，然后把代入即可.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数在某一点出的导数，属基础题.‎ ‎5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 A. 35 B. 20 C. 18 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：模拟算法：开始：输入成立；‎ ‎，成立；‎ ‎，成立；‎ ‎，不成立，输出.故选C.‎ 考点：1.数学文化；2.程序框图.‎ ‎6.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则 A. B. ‎ C. − D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．‎ ‎【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴， 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．‎ ‎7.如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连接，根据三角形中位线性质可知异面直线与所成角即为与所成角；利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求角为.‎ ‎【详解】取中点，连接 分别为的中点 分别为的中位线 ‎，‎ 异面直线与所成的角即为与所成角 又，，‎ ‎，即 与所成角为：‎ 即异面直线与所成的角为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，关键是能够通过平行关系将异面直线平移为相交直线，从而将所求角放到三角形中来进行求解.‎ ‎8.数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的 ‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由“{an}为等比数列”能推出“an2=an﹣1•an+1”，‎ 当数列为an=an﹣1=an+1=0时，尽管满足“an2=an﹣1•an+1”，但“{an}不为等比数列，‎ 故“对任意且都成立”是“是等比数列”的必要不充分条件，‎ 故选：A．‎ ‎9.定义域为R的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ）‎ A. 2018 B. 2020 C. 4034 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定义域为R的奇函数，且其图象关于直线对称，可得 的周期，结合，可求的值.‎ ‎【详解】由定义域为R的奇函数，且其图象关于直线对称，则 则即函数的周期为8，则 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性的应用，注意分析函数的奇偶性．‎ ‎10.函数的图象可能为 (　　)．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当时，，故排除C，D，当时，，，∴，故排除B，故选A.‎ 点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.‎ ‎11.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据勾股定理可知，从而求得；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大则可得点到平面的最大距离，在中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径，代入球的表面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】， ‎ 如下图所示：‎ 若三棱锥体积最大值为，则点到平面的最大距离：‎ 即：‎ 设球的半径为，则在中：，解得：‎ 球的表面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.‎ ‎12.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．‎ 考点：椭圆的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.‎ 二、填空题 ‎13.命题：“，”的否定是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含量词命题的否定直接写出结果.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以原命题的否定为：，‎ 本题正确结果：，‎ ‎【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎14.已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可.‎ 详解】解：由已知不等式组得到平面区域如图：‎ 目标函数变形为，‎ 此直线经过图中A时在轴截距最大，‎ 由得到，‎ 所以的最大值为；‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，其中数形结合的应用是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎15.函数的最小值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和差余弦公式可将原函数化为，利用辅助角公式可化为；根据余弦函数的最小值可求得所求函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数最值的求解问题，关键是能够熟练应用两角和差余弦公式、辅助角公式将所求函数化为余弦型函数的形式，根据余弦函数值域求得结果.‎ ‎16.已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 关于的方程有且只有一个实根与的图象只有一个交点，结合图象即可求得．‎ ‎【详解】关于的方程有且只有一个实根与 的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当时，与的图象只有一个交点，即有，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象性质；但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.‎ ‎(1)证明：a＋b＝2c；‎ ‎(2)求cos C的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.‎ 试题解析：（1）由题意知，，‎ 化简得：‎ 即，因为，所以，‎ 从而，由正弦定理得.‎ ‎（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.‎ 考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.‎ ‎18.如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，O为DE的中点，，BC=4，将△ADE沿DE折起到的位置，使得平面⊥平面BCED，F为的中点，如图2：‎ ‎（1）求证：EF∥平面;‎ ‎（2）求点F到平面的距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）折叠前有，折叠后的中点为，则，从而，四边形为平行四边形，从而 ‎，可证平面．‎ ‎（Ⅱ）由平面平面可以得到到平面的距离，从而可得，也就得到了，故可求得到平面的距离．‎ 详解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，．‎ 因为在中， 分别为的中点，所以，．‎ 因为，分别为的中点，所以，， ‎ 所以，，四边形为平行四边形，故．‎ 因为平面,平面，所以平面． ‎ ‎（Ⅱ）因为为的中点，,所以．‎ 又因为平面平面，平面平面，故 平面.由图有，，则 ‎，故．‎ 点睛：线面平行的证明通常需要在面中找到与已知直线平行的直线，常见的找线的方法是平行投影和中心投影．立体几何中点到平面的距离可以利用面面垂直作出点到平面的距离，也可以利用等积法求点到平面的距离．‎ ‎19.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如下表所示（（吨）为该商品进货量，（天）为销售天数）：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（Ⅰ）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）在该商品进货量（吨）不超过（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量（吨）恰有一个值不超过（吨）的概率.‎ 参考公式和数据：，.，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据数据表可计算出和，代入公式可求得和，从而可得回归直线方程；（Ⅱ）根据数据表可知商品进货量不超过吨的共有个，可列举出任取两个所有情况总数种；从中挑选出符合题意的有种，根据古典概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由数据表可得：‎ 回归直线方程为：‎ ‎（Ⅱ）由题意知，该商品进货量不超过吨的共有个，设为编码号 任取两个有：，共种 该商品进货量不超过吨的有编号号，超过吨的是编号号，该商品进货量恰有一次不超过吨有：，共种 故该商品进货量恰有一次不超过吨的概率：‎ ‎【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线方程、列举法解决古典概型的概率问题；对于学生计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.‎ ‎20.已知抛物线的焦点为，为抛物线 上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据抛物线定义可利用构造关于的方程，从而求得抛物线方程；（Ⅱ）设，，根据可求得，从而得到，假设方程，与抛物线方程联立，利用可求得，从而利用表示出点坐标；分别在和两种情况下得到直线方程，从而得到所过定点.‎ 详解】（Ⅰ）由题意知：‎ 由抛物线的定义知：，解得：‎ 抛物线的方程为：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ 设，‎ ‎ ‎ 由得：，故 直线的斜率为 直线和直线平行 可设直线的方程为，代入抛物线方程得：‎ 由题意知：得：‎ 设，则，‎ 当时，‎ 可得直线的方程为：，‎ 由，整理可得： 直线恒过点 当时，直线的方程为：，过点 直线恒过定点 ‎【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、直线与抛物线中的定点问题的求解；求解定点问题的关键是能够利用一个变量表示出直线方程，从而得到所过定点；易错点是忽略直线斜率不存在的情况的讨论.‎ ‎21.设函数 ‎（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）0，；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用导数的几何意义可知；利用构造方程求得；（Ⅱ）令，求导可确定函数的单调性，从而得到函数的大致图象；将有两个零点转化为与有两个交点，通过数形结合得到所求范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ 又 ，解得：‎ ‎（Ⅱ） ‎ 令，则 令，解得：；令，解得：‎ 则函数在上单调递增，在上单调递减 ，‎ 当时，；当时，‎ 由此可得大致图象如下图所示：‎ 要使函数的图象与有两个不同的交点，则：‎ 即实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数零点个数求解参数范围问题；关键是能够将零点个数转化为函数与平行于轴直线的交点个数问题，通过数形结合的方式来求解.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ‎ 选修4—4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；‎ ‎（Ⅱ）设与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求四边形面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）,圆；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将参数方程化为普通方程，可知曲线是以为圆心，为半径的圆；根据直角坐标与极坐标互化原则可得到曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设，，联立与圆方程可得韦达定理的形式；则，整理可得，代入替换可求得；根据垂直关系可知所求面积为，根据三角函数知识可求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：‎ 将曲线的方程化成极坐标方程得：‎ 曲线是以为圆心，为半径的圆 ‎（Ⅱ）设，‎ 由与圆联立方程得：‎ ‎，‎ 三点共线 则 用代替可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、求解四边形面积的取值范围类的问题；求解面积取值范围的关键是灵活应用极坐标中的几何意义，结合韦达定理表示出四边形的两条对角线，利用三角函数的知识求得结果.‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23.设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得最小值，再解含绝对值不等式可得的取值范围.‎ 试题解析：（1）等价于或或，‎ 解得：或.故不等式的解集为或.‎ ‎（2）因为：‎ 所以，由题意得：，解得或.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎ ‎