2018-2019学年河北省石家庄市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年河北省石家庄市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

石家庄市第一中学 ‎2018—2019 学年度第一学期期中考试高二年级数学(理)试题 命题人：胡海芳 审核人：刘春香 第 I 卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上．‎ ‎1．已知集合 M = {x 3 - x > 0} ， N = {1, 2, 3, 4, 5} ，则 M I N = （ ）‎ A．{1, 2, 3} ‎B．{3, 4, 5} ‎C．{1, 2} ‎D．{4, 5} ‎2．已知命题 p : -1 < x < 2, q : log 2 x < 1, 则 p 是 q 成立的 ( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 uuur 1 uuuur ‎3．已知两点 M (3, 2 ) ， N (-5, -5) ， MP = MN ，则 P 点坐标是 （ ）‎ ‎2‎ A． ( -8,1) ‎B． (-1,- 3 )‎ ‎2‎ ‎C． (1, 3 )‎ ‎2‎ ‎D． (8, -1) ‎4. 直线 3x - ‎3 y + 1 = 0 的倾斜角是 ( )‎ A．30° B．60° C．120° D．135°‎ ‎5.a是一个平面， m, n 是两条直线， A 是一个点．若 m Ë a，‎ n Ì a ，且 A Î m ‎A Îa，则 m, n 的位置关系不可能是( )‎ A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 ‎6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）‎ A． 2 B．1 C． 4 D． 8‎ ‎3 3 3‎ ‎7．函数 f ( x) = cos(wx +j)‎ ‎‎ ‎(w，j是常数，w> 0 ,‎ j < p )的部分图象如图所示，为得到函数 y = sinwx ‎2‎ 的图象,只需将函数 f ( x) 的图象 ( )‎ A．向右平移 ‎2p 个长度单位 B．向右平移 ‎3‎ ‎p 个长度单位 ‎3‎ C．向左平移 ‎p 个长度单位 D．向左平移 ‎6‎ ‎p 个长度单位 ‎3‎ ‎8．《九章算术》是中国古代的数学专著， 其中有“更相减损术”是用来求两个数的 最大公约数的，下图是实现该算法的程序 框图．执行该程序框图，若输入的 y = 168, x = 72 ，则输出的 2k d 为（ ）‎ A．12 B． 24 C． 36 D． 9‎ ‎9. 若不等式 x 2 + 2 x < a + 16b 对任意 b a a, b Î (0,+¥) 恒成立，则实数 x 的取值 范围是 （ ）‎ A. (-2,0)‎ ‎B. (-¥,-2) U (0,+¥)‎ C. (-4,2)‎ ‎D. (-¥,-4) U (2,+¥)‎ ‎10.在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 (a2 + c2 - b2 ) tan B = ‎3ac ,‎ 则角 B 的值为 （ ）‎ p p A. B．‎ ‎6 3‎ ‎p 5p C． 或 ‎6 6‎ ‎p 2p D． 或 ‎3 3‎ ‎11．在三棱锥 A - BCD 中，底面 BCD 为边长为 2 的正三角形，顶点 A 在底面 BCD 上 的射影为 DBCD 的中心，若 E 为 BC 的中点，且直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值 为 2 2 ，则三棱锥 A - BCD 外接球的表面积为 ( )‎ A． 8p B．12p C． 6p D． 4p ‎3‎ í ‎12.已知函数 f ( x ) = ïì1 - 1 - x , x Î (-¥, 2) ïî2 f ( x - 2) , x Î[2, +¥) ‎x -1‎ ‎，设方程 f ( x ) = 2 2‎ ‎‎ 的根从小到大依次为 x1 ， x2 ， × × × ， xn ， n Î Ν ，则数列{ f ( x ‎)} 的前 n 项和是 （ ）‎ n A． n2‎ ‎B． n2 + n ‎C． 2n - 1‎ ‎D． 2n +1 -1‎ 第 II 卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、填空题：本题共 4 小题，共 20 分.把正确答案填在答题卡上．‎ ì y £ 2，‎ í ‎13．若 x, y 满足约束条件 ï y ³ 2x - 1， ,则 z = x - y 的最大值为 ．‎ î ï x + y ³ -4．‎ ‎14． 函数 f ( x ) = sin x + cos æ x + pö 的值域为 .‎ ç 6 ÷ è ø ‎15．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的序号）．‎ ‎①已知 a, b Î R ，“ a > 1且b > 1 ”是“ ab > 1 ”的充要条件；‎ ‎②已知平面向量 a, b ,“ a > 1 且 b > 1 ”是“ a + b > 1 ”的必要不充分条件；‎ ‎③已知 a, b Î R ，“ a2 + b2 ³ 1 ”是“ a + b ³ 1 ”的充分不必要条件；‎ ‎0 0‎ ‎④命题 p：“ $x ‎Î R , e x0 ³ x ‎+ 1 ”的否定为 Øp ：“ "x Î R, e x < x + 1 ”．‎ x2 y2‎ ‎16．设 F1 , F2 分别是双曲线 a2 - b2‎ ‎= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点，若双曲线右支上 存在一点 P ，使 (OP + OF2 ) × F2 P = 0 （ O 为坐标原点），且| PF1 |= 则该双曲线的离心率为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．‎ ‎3 | PF2 | ，‎ ‎17．(本小题满分 10 分）‎ 已知圆 O : x 2 + y 2 = 9 及点 C (2,1) ，过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P, Q 两点， 当 DOPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程．‎ ‎18. (本小题满分 12 分）‎ 已知两个数列{an } ，{bn } ，其中数列{an } 是公差为 d 的等差数列，点 ( an , bn ) 在 函数 f ( x) = 2x 的图象上 (n Î N*) ．若 a = 1 ，则点 ( a , 2b ) 在函数 f ( x) = 2x 的图象上.‎ ‎1 8 7‎ ‎（Ⅰ）求数列{an } 和{bn } 的通项公式 an , bn ；‎ ì a ü ‎（Ⅱ）求数列 n 的前 n 项和T ．‎ í ý n î bn þ ‎19．(本小题满分 12 分）‎ 在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a = 2b cos B ‎‎ ‎( b ¹ c ).‎ ‎（Ⅰ）证明： A = 2B ;‎ ‎（Ⅱ）若 a 2 + c 2 = b 2 + 2ac sin C ，求角 A .‎ ‎20.(本小题满分 12 分）‎ 如图四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，‎ M 为 PC 的中点，已知 ÐDAB = 60° ， AB = 2 ，‎ PA = PD = MB = 2 ．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面 PAD ^ 平面 ABCD ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角 D - PC - B 的余弦值．‎ ‎21. (本小题满分 12 分）‎ 已知向量 a ‎= (cos 3x , sin 3x ), b ‎= (cos x ,- sin x ) ，函数 f ( x) = a × b - m a + b + 1 ，‎ ‎2 2 2 2‎ é p pù x Î ê- 3 , 4 ú, m Î R .‎ ë û p ‎(Ⅰ)当 m = 0 时，求 f (‎ ‎) 的值；‎ ‎6‎ ‎（Ⅱ）若 f ( x) 的最小值为 - 1 ，求实数 m 的值；‎ é p pù ‎（Ⅲ）是否存在实数 m ，使函数 g ( x) = ‎f ( x) + 24 m2 ， x Î ê- ‎, ú 有四个不同 ‎49‎ 的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎22．(本小题满分 12 分）‎ ‎2 2‎ ‎ë 3 4 û x y 已知椭圆 + a2 b2‎ ‎= 1(a > b > 0) 的离心率为 e = ‎3 ，连接椭圆的四个顶点得到的 ‎2‎ 菱形的面积为 4 ． (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ．已知点 A 的坐标为 (-a, 0) ，‎ 点 Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA × QB = 4 ．求 y0 的值．‎ 石家庄市第一中学 ‎2018—2019学年度第一学期期中考试高二年级数学(理)试题答案 一、 选择题：‎ C B B B D C B B C D C C 二、填空题：‎ ‎13．2 14． 15．③④ 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：当直线的斜率不存在时，的方程为，‎ 则，的坐标分别为，，‎ 所以. .......... 2分 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ 则圆心到直线的距离为， .......... 4分 且， .......... 6分 则 当且仅当，‎ 即时，取得最大值. .......... 8分 因为，所以的最大值为，‎ 此时，由，‎ 解得或， ‎ 则直线的方程为或. .......... 10分 ‎18. 解：(Ⅰ)由已知得，，，所以 ‎，解得，　　 　…………2分 所以. …………6分 ‎（Ⅱ）数列的通项公式为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 因此，.‎ 所以，. …………12分 ‎19．解:(Ⅰ)证明:中,,  由,得,  …………2分 ，, , ,  或,  若,则,这与“”矛盾,  ;  …………6分 (Ⅱ) 由余弦定理得, …………8分 ‎， ,或 ,  ①当时,则这与“”矛盾,;  ②当时,由(Ⅰ)得, ‎ ‎ …………12分 ‎20.解：(Ⅰ)取的中点连接，，由，故，‎ 又，，为的中点，所以，‎ 故，‎ 所以平面，得，又//,所以，……2分 在直角三角形中，斜边上的中线，‎ 所以斜边，‎ 在三角形中，,，‎ 即，又,所以平面，又平面，‎ 所以平面平面. ………4分 ‎（Ⅱ）‎ 由(Ⅰ)知，，两两垂直，故以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．‎ ‎，，，， .....… 8分 设为平面的一个法向量， ‎ 则，即，可取， ‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则，即，可取. ......… 10分 ‎∴． ‎ 所以二面角的余弦值为． ..........… 12分 ‎21. 解：(Ⅰ)‎ 当时，，‎ 则； ........4分 ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 令，则，则，对称轴，‎ ‎①当，即时，‎ 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍），‎ ‎②当，即时，‎ 当时，函数取得最小值此时最小值，得，‎ ‎③当，即时，‎ 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍），‎ 综上,若的最小值为，则实数． .........9分 ‎（Ⅲ）令，得或，‎ ‎∴方程或在上有四个不同的实根，‎ 则，得，则，‎ 即实数的取值范围是． ........12分 ‎22．解：(Ⅰ)由，得，再由，得，-----2分 ‎ 由题意可知，即．解方程组，得，，‎ 所以椭圆的方程为． ...............4分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，且直线的斜率必存在．设点的坐标为，直线的斜率为，‎ 则的方程为．‎ 于是，两点的坐标满足方程组 ‎ 由方程消去并整理，得． ‎ 由，得，从而．‎ 设线段的中点为， 则点的坐标为． ...........6分 以下分两种情况：‎ ‎①当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴，‎ 于是，． 由，得．....8分 ‎②当时，线段的垂直平分线方程为 ‎．令，解得． ‎ 由，，‎ ‎，‎ 整理得．故， ......10分 所以． ‎ 综上，或. .......12分